2022年函数的奇偶性及周期性 .pdf

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1、精品资料欢迎下载第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(x) f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期课前检测

2、1下列函数为偶函数的是() Aysin xByx3CyexD yln x21 解析： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3也为奇函数 指数函数yex为非奇非偶函数令 f(x)ln x21，得 f(x)ln x21ln x21f(x)所以 ylnx21为偶函数2已知 f(x) ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是 () A13B.13C.12D12解析： 选 B f(x)ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，a12a 0， a13.又 f(x)f(x)，b0， ab13. 3已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足 f(x4)f(

3、x)，则 f(8)的值为 () A 1 B0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载C1 D2 解析： 选 B f(x)为奇函数且f(x4) f(x)，f(0)0，T4. f(8)f(0)0. 4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_. 解析： 法一： f(x)f(x)对于 x R 恒成立，|xa|xa|对于 x R 恒成立，两边平方整理得ax0，对于 x R 恒成立，故a 0. 法二： 由 f(1)f(1)，得|a1| |a 1|，故 a0. 答案： 0 5设函数f(x)x3cos x1.若

4、f(a)11，则 f(a)_. 解析： 观察可知， yx3cos x 为奇函数，且f(a)a3cos a111，故 a3cos a10.则 f(a) a3cos a1 101 9. 答案： 9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在 x0 处有定义，则f(0) 0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同； 利用偶函数的图象关于y 轴对称可知， 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x

5、)，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注意 nT(nZ 且 n0)也是函数的周期一、函数奇偶性的判断例 1设 Q 为有理数集，函数f(x)1，xQ，1，x?RQ，g(x)ex1ex1，则函数h(x)f(x) g(x)() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 x Q 时， x Q， f(x)f(x)1；当 x ?RQ 时， x ?RQ， f(x)f(x) 1.综上，对任意x R，都有 f

6、(x)f(x)，故函数 f(x)为偶函数g(x)ex1ex11ex1exex11ex g(x)， 函数g(x)为奇函数 h(x)f(x) g(x)f(x) g(x) f(x)g(x) h(x)，函数 h(x)f(x)g(x)是奇函数 h(1) f(1) g(1)e1e1，h(1)f(1) g( 1)1e11e111e1e，h(1)h(1)，函数 h(x)不是偶函数答案 A 由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x) f(x)或 f( x) f(x)是否对定义域内的每一

7、个x 恒成立 (恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2x21；(2)f(x) 3x3x；(3)f(x)4x2|x 3| 3；(4)f(x)x22，x0，0，x0，x2 2，x0 时， f(x) ( x)22 (x22) f(x)；当 x0 的解集为() A(2,0)(2， )B(， 2)(0,2) C(， 2) (2， ) D(2,0)(0,2) 自主解答 (1) yf(x)x2是奇函数，且x1 时， y2，当x 1 时， y 2

8、，即f(1)(1)2 2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载得 f(1) 3，所以 g( 1) f(1) 2 1. (2) f(x)为偶函数，f x f xx2f xx0. xf(x)0. x0，f x 0或x0，f x 0.又 f(2)f(2)0，f(x)在(0， )上为减函数，故 x (0,2)或 x ( ， 2)答案 (1)1(2)B 本例 (2)的条件不变， 若 n2 且 nN*，试比较 f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解： f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n

9、)f(n 1)又函数 y f(x)在(0， )为减函数，且0n1nn1， f(n 1)f(n)f(n1) f(n 1)f(n)0为奇函数，则a b_. (2)已知定义在R 上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若 f(3a2)f(2a)，则实数a 的取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载值范围是 _解析： (1)当 x0，所以f(x)x2x， f(x)ax2bx，而 f(x) f(x)，即 x2 xax2bx，所以 a 1，b1，故 ab0. (2)因为 f(x)x22x 在0，)上是增函数， 又因

10、为 f(x)是 R 上的奇函数， 所以函数f(x)是 R 上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需 3a22a，解得 3a1. 答案： (1)0(2)(3,1) 三、函数的周期性及其应用例 3设函数 f(x)是定义在R 上的周期为2 的偶函数， 当 x0,1时，f(x)x1，则 f32_. 自主解答 依题意得， f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则 f32f 12f1212132. 答案 32由题悟法1周期性常用的结论：对 f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若 f(xa) f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)1f x，则 T2a；(3)若 f(xa)1f x，则 T2a.

11、2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用以题试法3设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2xx2. (1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式解： (1)证明：f(x2) f(x)， f(x 4) f(x2)f(x) f(x)是周期为4 的周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载(2) x 2,4，x 4， 2， 4x 0,2， f(4 x)2(4x)(

12、4 x)2 x26x8. 又 f(4x)f(x) f(x)， f(x) x26x 8，即 f(x)x26x8，x 2,4课堂练习1下列函数中，既是奇函数又是减函数的是() Ay x3Bysin xCyxDy12x答案： A 2设 f(x)是周期为2 的奇函数，当0 x 1 时， f(x) 2x(1x)，则 f52() A12B14C.14D.12解析： 选 A由题意得f 52 f52 f522 f12212 11212. 3已知函数f(x)x|x| 2x，则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数，递增区间是(0， ) Bf(x)是偶函数，递减区间是(， 1) Cf(x)是奇函数，递减区间是(

13、1,1) Df(x)是奇函数，递增区间是(， 0) 解 析 ： 选C将 函 数f(x) x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得f(x) x22x，x0，x22x，x0，x2x，x 0，则 f(x)，h(x)的奇偶性依次为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载A偶函数，奇函数B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数解析： 选 Df(x)|xa|xa|xa|xa| f(x)，故 f(x)为奇函数画出 h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x0 时，x0，则 h(x)x2x (x2x) h(

14、x)，当 x0，则 h(x) x2x (x2x) h(x)x0 时， h(0)0，故 h(x)为奇函数5已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x0 时， f(x)2x2xm(m 为常数 )，则f(1)的值为 () A 3 B 1 C1 D 3 解析： 选 A函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则 f(0)0，即 f(0)20m0，解得 m 1. 则 f(x)2x2x1，f(1)212113， f(1) f(1) 3. 6若函数f(x)x2x1 xa为奇函数，则a() A.12B.23C.34D1 解析： 选 A f(x)x2x1 xa是奇函数， f(1) f(1)，12 1 1a121

15、 1a， a13(1a)，解得 a12. 7已知 f(x)是偶函数，当x0 时， f(x)_. 解析： x0， x0 时， f(x)x2x. 答案： x2x8.定义在 2,2上的奇函数f(x)在(0,2上的图象如图所示，则不等式f(x)x 的解集为 _解析：依题意，画出y f(x)与 yx 的图象，如图所示，注意到yf(x)的图象与直线yx 的交点坐标是23，23和 23，23，结合图象可知，f(x)x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载的解集为2，23 0，23. 答案：2，23 0，239已知函数

16、f(x)是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且 x32，0 时， f(x)log2(3x1)，则 f(2 011)_. 解析： f(2 011)f(36701) f(1) f( 1) log2(31) 2. 答案： 2 10已知函数f(x)x2ax(x0，常数 aR)(1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若 f(1)2，试判断f(x)在2， )上的单调性解： (1)当 a0 时， f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当 a0 时， f(x)x2ax(x0，常数 a R)，取 x 1，得 f(1)f(1)20；f(1)f(1) 2a0，即 f(1)f(1)，f(1)f(1

17、)故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若 f(1)2，即 1a2，解得 a1，这时 f(x)x21x. 任取 x1，x2 2， )，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) x211x1 x221x2(x1x2)(x1x2)x2x1x1x2(x1x2) x1x21x1x2. 由于 x12，x22，且 x1x2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载故 x1x21x1x2，所以 f(x1)0，0，x0，x2mx， x0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间 1，a 2上单调

18、递增，求实数a 的取值范围解： (1)设 x0，所以 f(x) (x)22(x) x2 2x. 又 f(x)为奇函数，所以f(x) f(x)，于是 x1，a21，所以 1a 3，故实数a 的取值范围是(1,312已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x1 对称(1)求证： f(x)是周期为4 的周期函数；(2)若 f(x)x(0 x1)，求 x5， 4时，函数f(x)的解析式解： (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1 对称，得f(x1)f(1 x)，即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在R 上的奇函数，故有 f(x) f(x)故 f(x2) f(x)从而

19、f(x 4) f(x2)f(x)，即 f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数 f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载x 1,0)时， x (0,1，f(x) f(x)x，又 f(0)0，故 x 1,0时，f(x) x. x 5， 4，x4 1,0，f(x)f(x4)x4. 从而， x 5， 4时，函数 f(x)x4. 课后练习1 设 f(x)是奇函数， 且在 (0，)内是增函数， 又 f(3)0， 则 x f(x)0 的解集是 () Ax|3x3 B

20、x|x3，或 0 x3 C x|x3 Dx|3x0，或 0 x3 解析： 选 D由 x f(x)0，得x0或x0，f x 0，而 f(3)0，f(3)0，即xf 3或x0，f x f 3 ，所以 x f(x)0 的解集是 x|3x0，或 0 x3 2 设f(x) 是 定 义 在R上 且 周 期 为2的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 ， f(x) ax1， 1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f12f32，则 a3b 的值为 _解析： 因为 f(x)是定义在R 上且周期为2 的函数，所以f32f 12，且 f(1)f(1)，故 f12f 12，从而12b 212112a1,3

21、a2b 2.由 f(1)f(1)，得 a1b22，故 b 2a.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载由得 a2，b 4，从而 a3b 10. 答案： 10 3 已知函数 f(x)的定义域是 (0， )， 且满足 f(xy)f(x)f(y)， f121， 如果对于0 xf(y)，(1)求 f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x) 2. 解： (1)令 xy1，则 f(1)f(1)f(1)， f(1)0. (2)f(x)f(3x)2f12，f(x)f12f(3x)f120f(1)， f x2f3x2f

22、(1)，fx23x2f(1)，则x0，3x0，x23x2 1，解得 1xg(0)g(1)答案： f(1)g(0)g(1) 2关于 y f(x)，给出下列五个命题：若 f(1x)f(1x)，则 yf(x)是周期函数；若 f(1 x) f(1x)，则 yf(x)为奇函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载若函数 yf(x1)的图象关于x1 对称，则yf(x)为偶函数；函数 yf(1x)与函数 yf(1x)的图象关于直线x1 对称；若 f(1 x) f(1x)，则 yf(x)的图象关于点(1,0)对称填

23、写所有正确命题的序号_解析： 由 f(1x)f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x) f(1 x)可知，yf(x)的对称中心为 (1,0)，错； yf(x1)向左平移1 个单位得yf(x)，故 yf(x)关于 y轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x 得 x0，故应关于y 轴对称，错；由f(1x)f(1x)得 yf(x)关于 x1 对称，错，故正确的应是. 答案： 3 已知 f(x)是偶函数， 且 f(x)在0， )上是增函数， 如果 f(ax1)f(x2)在 x12， 1上恒成立，求实数a 的取值范围解： 由于 f(x)为偶函数，且在0， )上为增函数，则在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则 |ax 1| |x2|，又 x12，1 ，故 |x2|2x，即 x2ax 12x.故 x3ax1x,13xa1x1，在12，1 上恒成立由于1x1min 0， 13xmax 2，故 2a 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页