2022年函数不等式恒成立问题解法2 .pdf

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1、学习必备欢迎下载函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf， （ 1）Rxxf在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型 3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()(

2、)()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒 成一、用一次函数的性质对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm， ；令)12()1()(2xxmmf， 则22m时 ，0)(mf恒 成 立 ， 所 以 只 需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x 的范围是)231,271(x。精

3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求 m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0) 1(8) 1(012mmm，所以，)9 ,

4、1m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x 都成立max)(xfm。简单计作： “大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m的范围。解析：由 1 ,0(sin,0, 1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf， 3, 1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3, 1(m例 4： （1）求使不等式,0,cossinxx

5、xa恒成立的实数a 的范围。解 析 ： 由 于 函43,44),4sin(2cossinxxxxa， 显 然 函 数 有 最 大 值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放

6、在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 5：已知恒成立有时当21)(,) 1 , 1(,)(, 1,02xfxaxxfaax，求实数 a 的取值范围。解析： 由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1 和 x=1 处相交， 则由12221)1(211aa及得到 a 分别等于2 和 0.5 ，并作出函数xxyy)21(2 及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1 , 1(x中恒成立，只须xy2在区

7、间)1 , 1(x对应的图象在212xy在区间) 1 , 1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以2, 1()1 ,21a。例 6：若当 P(m,n) 为圆1)1(22yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则c 的取值范围是（）A、1221c B、1212cC、12c D、12c解 析 ： 由0cnm， 可 以 看 作 是 点P(m,n) 在 直 线0cyx的 右 侧 ， 而 点 P(m,n) 在 圆1)1(22yx上 ， 实 质 相 当 于 是1)1(22yx在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切 。12111|10|0102

8、2ccc，故选 D。同步练习1、设124( )lg,3xxafx其中 aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围。分析：如果(.1)x时，( )fx恒有意义，则可转化为1240 xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义1240 xxa，对(,1)x恒成立 . 212(22)4xxxxa(.1)x恒成立。令2xt，2( )()g ttt又(.1)x则1(,)2t( )ag t对1(,)2t恒成立，又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

9、- - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载( )g t在1,)2t上为减函数，max13( )( )24tgg，34a。2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212axxa对于任意0,1x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：( )f x是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立212axxa对于任意0,1x恒成立210 xaxa对于任意0,1x恒成立，令2( )1g xxaxa，0,1x，所以原问题min( )0g x， 又min(

10、0 ) ,0()() ,2022 ,2gaag xgaa即2min1,0( )1, 2042,2aaag xaaa易求得1a。3、已知当 xR时，不等式 a+cos2x5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及 x，本题必须由 x 的范围（ xR）来求另一变量 a 的范围，故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当 xR时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2x则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx

11、+1=-2(sinx-1)+3 3 -a+53a2方法二）题目中出现了sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x, 故若采用换元法把sinx 换元成 t, 则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式 a+cos2x5-4sinx 可化为a+1-2sin2x5-4sinx, 令 sinx=t,则 t-1,1, 不等式 a+cos2x0,t-1,1恒成立。设 f(t)= 2t2-4t+4-a ，显然 f(x) 在-1 ，1 内单调递减， f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2 4、设 f(x)=x2-2ax+2, 当 x-1,+)

12、时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：在 f(x)a 不等式中，若把a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. )当=（-2a）2-4(2-a)=4 （a-1)(a+2)0时，即-2a1 时，对一切 x-1,+)，F(x) 0 恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载, 1220)1(0af即, 1030)2)(1(aaaa得-3a-2; 综上所述：

13、a 的取值范围为 -3 ，1 。5、 、当 x(1,2) 时，不等式 (x-1)2logax 恒成立，求 a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。解：设 T1:( )f x=2(1)x,T2:( )logag xx, 则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), ( )f x1,并且必须也只需(2)(2)gf故 loga21,a1,10, 若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20 x 与一次函数 y=8x-6a-3 ，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯

14、一交点即可。解：令 T1：y1= x2+20 x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3, 则如图所示， T1的图象为一抛物线， T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。 （包括 l1但不包括 l2) 当 直 线 为 l1时 ， 直 线 过 点 （ -20 ， 0） 此 时 纵 截 距 为-6a-3=160,a=6163; 当直线为 l2时，直线过点（0，0） ，纵截距为 -6a-3=0 ，a=21a 的范围为 6163，21） 。7、对于满足 |p|2 的所有实数 p, 求使不等式 x2+px+1

15、2p+x恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量， x 看成参变量，则上述问题即可转化为在 -2 ，2 内关于 p 的一次函数函数值大于0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10, 令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, 则原问题等价于f(p)0在 p-2,2上恒成立，故有：-1 o x y x y o 1 2 y1=(x-1)2y2=logax x y l1 l2 l-20 o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载方法一：10(2)0 xf或10( 2)0 xfx3. 方法二：( 2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. o y 2 -2 x y -2 2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页