2022年初中数学竞赛辅导资料反证法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学辅导资料反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：ABAB例如原命题：对顶角相等(真命题 ) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题 ) 又如原命题：同位角相等，两直线平行(真命题 ) 逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题 ) 3.用反证法证明命题，一般有三个步骤：反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。

2、用反证法证明时假设这两直线不平行；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。乙例题例 1 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图1 2A1B求证： ABCD证明：设AB 与 CD 不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时， 1 是 GHM 的外角A1MB 1 2G这与已知条件相矛盾2 AB 与 CD 不平行的假设不能成立H ABCDC 例 2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上

3、两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例 3.已知： m2是 3 的倍数，求证：m 也是 3 的倍数证明：设m 不是 3 的倍数，那么有两种情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载m=3k+1 或 m= 3k+2 (k 是整数 ) 当m=3k+1 时，m2（ 3k+1 ）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2 时，m2（ 3k+2 ）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是 3 的倍数，这和

4、已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是 3 的倍数时， m 也是 3 的倍数例 4.求证：2不是有理数证明：假设2是有理数，那么2ba（a,b 是互质的整数） ，ba=2,（ba）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数，a也是偶数，设 a=2k（k 是整数） ,a2=4k2, 由 a2=2b2, 得 b2=21a2=2k2, b2是偶数，b 也是偶数那么 a、b 都是偶数，这和“a,b 是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立2不是有理数例 5.若 n 是正整数， 则分数314421nn是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设314421nn不是既约分数，那么它的分子、分

5、母有公约数，设公约数为 k（k1）, 且 k,a,b 都是正整数，即143214314421bknaknbknakn214ak143bk，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1 整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1 时，积才能等于 13b-2a=1,k=1 分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数314421nn是既约分数丙练习 34 1.写出下列各命题结论的反面：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载2.已知：平面内三个点A，B，C 满足 AB BCAC，求证： A，B，C 三点在同

6、一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4.求证：一个圆的圆心只有一个5.求证：三角形至少有一个内角大于或等于60 度6.如果 a2奇数，那么a也是奇数（仿例 3）7.求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例 4) 8.已知 a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即 a,b,c 是勾股数 ) 求证 a,b,c 至少有一个偶数a,b,c 中至少有一个能被3 整除9.求证二元一次方程8x+15y=50 没有正整数解10.求证方程 x2+y2=1991 没有整数解11.把 1600 粒花生分给100 只猴子，至少有4 只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD 中， AB+BD AC+C

7、D 求证： ABn 或 m0, n=1,2,3 但这时 m 都不是整数，7.设有整数解x=a, y=b 按奇数、偶数分类讨论右边 1991 是奇数，显然，a,b 不能同偶数，也不能同奇数，设 a,b 一奇一偶， a=2m, b=2n+1 (m,n都是整数 ) 那么左边（2m）2+(2n+1)2 4(m2+n2+n)+1 即左边是除以4 余 1，而右边是除以4 余 3，11.反设：最多只有3 只猴子分得一样多，15设点 A 和其他 6 个点 B，C，D，E，F，G 的距离都小于这6 个点彼此这间的距离（如图）在 ABC 中， BCAB 且 BCAC ， BAC 60同理 CAD 60 这与 1 周角 360 相矛盾ABCDEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页