2022年线性代数知识点集锦 .pdf

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1、学习必备欢迎下载课时授课计划课次序号： 8 一、课 题：矩阵的初等变换与初等矩阵二、课 型：课堂讲授三、目的要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法。五、教学方法及手段：采用课堂讲授的方法，并以多媒体课件辅助。六、参考资料：线性代数学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版社线性代数学习与考试指导，赵树源编，中国人民大学出版社工程数学例题与习题，工程数学课程教学指导委员会本科组编，高等教育出版社七、作业：

2、 P791(1)(3),4 八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等）1、复习回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组， 求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序；以不等于零的数乘某个方程；一个方程加上另一个

3、方程的k 倍。由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的。在上述变换过程中， 实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并没有参与运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即,BAb ，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。 3 、教学内容定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调, i j 两行，记作ijrr）（2）以数0k乘某一行中的所有元素（第i 行乘 k，记作irk）（3）把某一行中所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的倍加到

4、第 i 行上，记作ijrkr）把定义中的行换成列， 即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。显然，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵 A和 B是等价的， 记作 AB。矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性AA；（2）对称性若,AB 则 BA；（3）传递性若,AB BC 则 AC 。定义：矩阵 A称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B 称为行最简形矩

5、阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型rm nEOFOO。例 1：设021302 ,230A把(,)A E化成行最简形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载021100(,)302010230001302010302010021100021100094023001946A E解：30018912100634020846010423001946001946上式最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简

6、形。矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它有着广泛的应用。 下面我们进一步介绍一些有关知识。定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。 1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第, i j 两行（列）对调，得初等矩阵11011( , )11011E i j用m阶初等矩阵( , )mEi j左乘矩阵(),ijm nAa得11121121212( , )njjjnmiiinmmmnaaaaaaEi j Aaaaaaa其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第 i 行与第 j 行对调。类似的，以n阶初等矩阵( , )nEi j右乘矩阵 A

7、，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换。 2.以数0k乘某行或某列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载以数0k乘单位阵的第 i 行（或第列）11( ( )11E i kk第 i 行可以验知： 以( ( )mEi k左乘矩阵 A，其结果相当于以数 k 乘 A的第 i 行；以( ( )nEi k右乘矩阵 A，其结果相当于以数k 乘 A的第 j 列。 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E的第 i 列加到第 j 列上，得初等矩阵11( (

8、 )11kE ij k可以验知：以( ( )mEij k左乘矩阵 A ，其结果相当于把A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上，以( ( )nEij k右乘矩阵 A，其结果相当于把A的第 i 列乘加到第 j 列上。综上所述，可得下述定理。定理 1 设 A是一个mn矩阵，对 A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。因为初等变换是可逆的，所以其对应的初等矩阵也是可逆的，并且1111( , )( , ),( ( )( ( ),( ( )( ()kE i jE i jE i kE iE ij kE ijk定理 2 方阵

9、 A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12.lAPPP（证明略）推论 1 方阵A可逆的充要条件是AE。推论 2 mn矩阵 A与 B 等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵 P 及n阶可逆矩阵Q，使PAQB. 设有n阶矩阵 A及ns矩阵 B，求矩阵 X 使 AXB 。如果 A可逆，则1XA B 。而当 A可逆时，根据定理 2，有初等矩阵12,lP PP，使12lAPPP，从而1111lAPP。于是1111111,llPP AEPP BA B上式表明 A经一系列初等行变换化为E ， B 经同一系列初等行变换化成1A B ，即1111( ,)(,)lPPA BE AB精选学习资料 -

10、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 2：求解矩阵方程,AXAX 其中220213010A解：把所给方程变形为()AE XA120220(,)203213011010AE A120220120220011010011010043233001213100226010203001213可见,AEE 因此 AE 可逆，且1226()203213XAEA. 4、课堂总结矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算，在后面几章中都需要用到这种运算。5、布置作业 P791(1)(3),4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页