2022年线性代数完美总结版 .pdf
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1、线性代数及其应用一、行列式1、余子式,代数余子式2、几个定理 ( 定理 2.2 ,2.3 ,2.4) 按行展开:1122,1,2,ALLiiiiinina Aa Aa Ain按列展开:1122,1,2,ALLjjjjnjnja Aa Aa Ajn定理 2.4 11220,Lijijinjna Aa Aa Aij;11220,Lijijninja Aa Aa Aij. 3、行列式的性质(1) T| |AA. (2) 若行列式的某一列(行 ) 可以拆成两列( 行) 之和,则行列式可以拆成两个行列式之和,即111,jjnjnjnLLLLLL. (2) 若行列式有两列( 行) 成比例,则行列式等于零.
2、 (3) 初等变换性质1;.iiijjiijijkk+l+lk或或或rcrrccrrccABABABABABAB4、行列式计算:三角化法( 性质 );降阶法 ( 性质 +展开定理 ) ;范德蒙德、三对角行列式的结论. 5、分块矩阵的行列式AOACAOA BOBOBDB( 1)OACAOAA BBOBOBDmmnn二、矩阵1、矩阵及其运算( 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的 结合律(2) 方阵的幂的求解3.75.9二项式定理 - 例矩阵列行- 例3.8 、例 3.38可对角化例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
3、- -第 1 页,共 6 页(3) 转置的性质:TTTTTTTTTT()()()()AAABABAAABB Akk(4) 方阵的行列式:T| |;|;| |.n| kkAAAAABAB(5) 分块运算 (转置、乘法 - 例 3.13 、3.14) 2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列 ( 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示) ( );( ); ( );( );.rrrrrcccccABEABABEABABEABACAECACAECACAEC初等行变换初等列变换iijijijiijkm+lmmkn+lnni kij li, ji kij li, j(2) 初等矩阵都是可逆的,且初等矩阵的逆仍是初
4、等矩阵,即1111( )( ) ;( )() ;,.EEEEEEki kiij lijli ji j3、可逆矩阵(1) 定义、性质1111T11T111111()()()()AAAAAAAAABBA| |()kk(2) 伴随矩阵1| |()()()nrrA AAAAEAAAA与的关系 书111页38题(3) 判定:A可逆|0A(4) 逆矩阵的求法11(3.7),行伴随矩阵法 :及运算律命题初等变换法 :AAAABEA EE A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页(5) 分块矩阵的逆111111,.AOOAAOOBOBB
5、OOBAO (6) 矩阵方程的求解:AXC,其中A可逆 . 法 1 1XA C. 法 2 1 ,A CEXXA C初等行变换n. 4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101 页, 105-107 页) 0()min, rm nA; 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩;()(),0;r krkAAT()()rrAA;( )()rrrAOABOB;()()()rrrABAB;()()()()(ABABArrnrr或()Br;若ABO,则()()r+rnAB,其中m nPA,n sPB. 设m nRA,则TT()()().rr= rAAA AA(2) 求矩阵的秩 ( 理论依据:矩阵的初等变换不
6、改变矩阵的秩) AR初等变换( 行阶梯形矩阵),则()()rrARR的非零行的个数.(3) 矩阵的相抵 ( 等价 ) ()(),.ABABP QPAQB可逆使得rr()()()()rrrrPAQPAAQA,其中,P Q可逆 . ()rrrEOAPAQOO或rEOAPQOO.三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断( 命题 4.2 、4.3 、4.4 、4.5 、定理 4.1 、4.2 、4.4) (1) 证明方法 -,-定义转化为齐次线性方程组的求解秩矩阵、向量组的秩 ( 定理4.1 定理4.4 命题4.5-4.6)坐标化方法定理4.14基本结论精选学习资料 - - - - - - - - -
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