2022年线性代数期末试卷B .pdf

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1、浙江理工大学2009 2010 学年第二学期线性代数A 期末试卷（ B）卷班级：学号：姓名：一、选择题 （每题 4 分，共 20 分）1. 设 n阶行列式D=nija，jiA是D中元素jia的代数余子式，则下列各式中正确的是(A) 01niijijAa； (B) 01njijijAa；(C) DAanjijij1； (D) DAaniii1212 已 知1212,为3维 列 向 量 组 ， 行 列 式121| |,|4A,212| |,| 1B, 则行列式121212|, 2,2|（A）. 6；（B）6；（C）18；（D）18。3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， B 为 n 阶不可逆矩阵，则（A

2、）A+B 为可逆矩阵；（B）A+B 为不可逆矩阵；（C）AB 为可逆矩阵；（D）AB 为不可逆矩阵；4、设 A 为 n 阶矩阵，下列关于矩阵乘积的说法中正确的有( ) （A）若 A2=A，则有 A=E 或 A=0；（B）若 A2=A，且|A| 0，则有 A=E；（C）若 AX=AY ，且 A0，则 X=Y ； （D）若 A2=0，则 A=0。5、设矩阵 A 的秩为 r，则下列说法中不正确的是( ) （A）A 中所有的 r+1 阶子式都等于零；（B）A 中可能有等于零的r 阶子式；（C）A 中存在着不等于零的r 阶子式；（D）A 中所有的 r-1 阶子式都等于零；二、填空题 （每题 4 分，共

3、20分）1阶方阵满足，则。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2二次型323121232221321444),(xxxxxxxxxxxxf的秩为。3 设为3 维 列 向 量 ，T是的 转 置 ， 若111111111T， 则T。4已知(3,5,7,9) ,( 3,5,2,0)TT，x满足x32，则 x。5 非齐次线性方程组 AX=B的解向量是t,21,若ttkkk2211也是 AX=B的解，则tkkk21= 。三、计算题 (48 分) 1、 （8 分）计算行列式43214321432143211111aaaaaaaaa

4、aaaaaaaD2. （8分）设100010021A，求的特征值及对应的特征向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3（ 8 分 ）.设1100213401100213,0011002100010002BC， 且 矩 阵满 足 关 系 式(),TX CBE求。4、a，b 取何值时，方程组bxaxxxxxxxx32132132132234123有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8

5、页5.(12分) 求一个正交变换PYX, 将二次型232231212642xxxxxf化为标准形(要求：写出正交变换和标准形). 四、证明题(12 分)1、设向量组321,线性无关，且3233212211,2,44，证明：321,线性相关2若 A，B均为 n 阶方矩，且 A可逆，证明： BA与 AB相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页浙江理工大学2009 2010 学年第二 学期 线性代数A 期末试卷（ B）卷标准答案和评分标准一、选择题1、C; 2、A;3、D;4、B;5、D. 二、填空题1、3AE；2、3; 3

6、、3 ；4、(3,5,4,6)T；5、1. 三、计算题1、解：1234234234123423423411111111ccccaaaaaaDaaaaaaaaaa 3 分1*123410001100110101001jjcacaaaa 6 分12341aaaa 8 分2. 解： 3 分特征值， 6 分对于 11，特征向量为 8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页3. 解：8 分4、解：该方程的增广矩阵为：2)6(3123122160111012313223411231rarrrrrbabaABbaa450011101

7、2311）当05a，即5a，b 任意取值时，()( )3R AR B，方程组有唯一解； 3 分2）当0405baa时)(32)(BRAR，即1,5 ba时，方程组无解； 6 分3）当0405baa时32)()(BRAR，即1,5 ba时，方程组有无穷多解 9 分当1,5 ba时，代入得135223411231AB000011101231000011102101231rr，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页同解方程组为123231xxxx，通解为123121110 xxcx（其中 c 为任意常数） 12 分5、解：二次

8、型 f 的矩阵为202060202A 2 分2020600202AE由可得特征值分别为=0,4,6 5 分11101P101当=0时,A010 , 特征向量为0002312310114010000011000600110000,P P P23当时,A-4E, 特征向量为P当时,A-6E特征向量为P两两正交 单位化可得所求正交变换为： 8 分3213210212110002121yyyxxx， （P形式不唯一） 11 分且标准形为：232264yyf 12 分四、证明1证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页11012

9、4014,2,44,3213232121321=A),(321 2 分而 A =0110124014，所以3)(AR， 4 分从而3)(),(321ARR，所以321,线性相关 6 分法三： （基本方法）设332211xxx 2 分只要证明有不全为零的数321,xxx使（1）式成立即可。式（1）整理得到：3322321121)()24()4(xxxxxxx 4 分由已知条件，向量组321,线性无关，推出0024043232121xxxxxxx齐次线性方程组（ 3）的系数矩阵为110124014A易知3)(AR，所以（ 3）有非零解。即有不全为零的数321,xxx使（1）式成立。所以321,线性相关 6 分2、证明：因为 A可逆，即1A存在，又ABAAABABAA)()(11， 4 分由相似矩阵定义可得：AB与BA相似。 6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页