2022年简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载 7.4 简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设),(yxR表示关于变量yx,的有理函数。1ndcxbaxxR,型函数的不定积分。其中0bcad解法：作变量替换ndcxbaxt，即dttdxtctabdtxnn)(, )(,于是dttttRdxdcxbaxxRn)(),(,，转化为有理函数的不定积分。例 1求dxxxxx1415782171分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。214

2、771xxx，71421xxx，16147878xxx，15141415xx作变量替换14xt，即dttdxtx131414,，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。解：作变量替换14xt，即dttdxtx131414,，则dtttdttttttdxxxxx1114145131516721415782171例 2求dxxxx23)2(122解：设,223txx则33122ttx，dtttdx232)1 (12，所以dttdttttttdxxxx323223323143)1(1212221)2(1222cbxaxxR2,型函数的不定积分，其中042acb（即方程02cbxax无重根）分两种情

3、况讨论：（1）042acb时，方程02cbxax有两个不等的实数根、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习好资料欢迎下载这时，设)()(2xtxxcbxax，即22ttx，从而有,)()(222dtttdx22)(ttcbxax于是，dtttttttRdxcbxaxxR22222)(2)(,这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例 3求22)1(xxxdx解：方程022xx有两个根：11x，22x，设) 1(22xtxx，则xxt12，即2212ttx，于是dtttdx22)1(6，22132ttxxCxx

4、Ctdtdtttttttxxxdx1232323213121)1(62)1 (222222（2）042acb时，方程02cbxax没有有实数根。 此时，a、c同号（否则042acb） ，且0c（否则0 x时，cbxax2没有意义），从而0a设ctxcbxax2，则xccbxaxt2，或)(22tatt cbx，此时dttdx)(，从而dttctttRdxcbxaxxR)()(),(,2这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例 4求dxxxx112解：设112txxx，或xxxt112，即1122ttx有dttttdx222)1()1(2，111222tttxx，112ttxxx精选学

5、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习好资料欢迎下载dttttttdxxxx2222) 1(11211（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。例 5求dxxx26111例 6求dxxxx54222例 7求dxxxx14)2(2二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分，即dxxxR)sin,(cos型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法万能代换。令2xtgt，就有.2arctgtx，,122tdtdx且22122sec222cos2sin2sint

6、txxtgxxx，,11cos22ttx212tttgx于是dttttttRdxxxR22221212,11)sin,(cos化为了有理函数的不定积分。讲解课本例8、例 9。补充例子：求xdxIcos1解： ( 用万能代换 ) cxtgctdtdttttIxtgt2111122222还可以用其它的解法。解法 2：( 用初等化简 ) cxtgxdxxdxI2)2(2sec2cos2122. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习好资料欢迎下载解法 3：( 用初等化简 , 并凑微 ) xxdxdxdxxxI222sins

7、incsccos1cos1.2cscsin1cxtgcctgxxcxctgx可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。1如果)sin,(cos)sin,cos(xxRxxR，那么可设xtsin即可例 10求dxxxx46sincostan解：)(sinsin)sin1 (sincossincostan3223546xdxxdxxxdxxxx可见，在解题时不一定要“设”，懂得“凑”就行了。2如果)sin,(cos)sin,(cosxxRxxR，那么设xtcos即可例 11

8、求dxxx45cossin解：)(coscos)cos1(cossin42245xdxxdxxx3如果)sin,(cos)sin,cos(xxRxxR，那么设xttan即可例 12求dxxx42cos1sin解：xdxxxdxxdxxxtantan1tantancos1sincos1sin2222424被积函数是形如xxmncossin的三角函数，分两种情况：（1）如果 n 与 m至少有一个是奇数，那么n 是奇数时设xtcos；m是奇数时设xtsin。例 13求dxxxcostan3解：xdxxxdxxdxxxdxxxcoscoscos1coscossincossincostan2727272

9、233（2）如果 n 与 m都是偶数，则通过三角公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习好资料欢迎下载22cos1sin2xx，22c o s1c o s2xx，xxx2s i n21c o ss i n将被积函数降幂、化简。例 14求xdxx42cossin解：dxxxxdxxxxdxx2cos2cos2cos1812cos12cos181cossin32242dxxxx2cos24cos12cos18135如果被积函数是形如nxmxsinsin、nxmxcossin、nxmxcoscos的函数，那么就用积化和差

10、公式将被积函数化简。1sinsincos()cos()2mxnxmn xmn x1sincossin()sin()2mxnxmn xmn x1coscoscos()cos()2mxnxmn xmn x例 15求dxxx32cos15cos上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如dxxxsin，dxxex，dxxln1，dxex2这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页