2022年第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 .pdf

《2022年第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 .pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 / 6 第十六届北京市数学竞赛试卷答案（甲、乙组）一、 填空（20分）1 1)0(,) 1(2yeyxyxyx， 且axxxyx20)(l i m， 则_a. 解由axxxyx20)(lim，得0)0(y，利用方程，得2)0(y，得1a. 2)()(bxaxbexfx，ex为无穷间断点，1x为可去间断点，则_b.e解)(1()(bxxbexfx3.,), 0(,)0 ,(,),(22yyfxxfyxyxzyxfz则_),(yxf. 解_),(yxfyxxyyx2222. 4.,)2()2()2(222dzxyzdyxzydxyzxdu则_),(zyxu. 解Cxyzzyxzyxu23_),

2、(3335.,)(13)(1022dxxfxxxf则_)(xf. 解,13)(2xkxxf其中1022)13(dxxkxk,得kkkdxxkxxkdxxkxk2329)16)9()13(22102221022,得,2992kk得23,3439472819k. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6 6.22222._)cos(1lim20ryxyxrdxdyyxer解. 7. ,4)cos1)(1ln(121lim0 xxfxx则._)(lim30 xxfx解2ln28.,)1(,)()(afxxfxf则._)

3、2(f解.2)2(,)(,) 1(,)(,1)(/ )(afaxxfafcxxfxxfxf9.14:22yxL,周长为l,则._)2(2dsyxL解l 410.设,0 x或,1x则级数1) 1(21)(1()21)()1(1(lnnxnnxnxxn的和为 _. 解1) 1(21)(1()21)()1(1(lnnxnnxnxxn= .2ln211lim)21 ()1(ln)1(21()1(1 (ln1nxnxnxnxxnxnnn. 二、)(xf存在，且,cos6sin4cos)(23Cxxxxxdxxfx求)(xf. 解xxxxxxxxxfxsin6sin4cos4sincos2)(23问题：可

4、能是设)(xf连续，积分才有意义。.cossin)(2Cxxxxxf三、21111xxy，作图形并指出去单调区间，最值，极值，拐点 . 解,03111,3111,022xxyxxyxy单调增加。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 / 6 03212,033xxyx，,0321233xxy1,03111,3111,2022xxxyxxyx，,03212,2033xxyx002,00yy，极小值 =1.1y,01111,1111, ,222xxyxxyxy单调减少。01212, ,233xxyx没有拐点 .340,34

5、2yy为极大值，并且34为最大值。四、xdttxfxfRcxfx40sin)()(),()(0，求0)(1dxxf. 解,sin)()(40 xdttxfxfx,sin)()(40 xdxxfxfx164sin22sin43sin)(0420 xxxxdxdxxfxx, 得23)(0dxxf. 0)(1dxxf=23. 注 意 : 上 面x d xdxxfxx0420sin)(表 示 必 须0 x. 所 以 题 设)()(0Rcxf有一点问题 . 五、求常数cba,的值，使函数232),(zcxbyzaxyzyxf在点)1,2, 1(处在z轴正向的方向导数有最大值64. 解 即在) 1,2,

6、1 (，有1 ,0 ,0ff.得8,24,6cba. 六、是原点到1:222222czbyax上点),(zyx处的切平面的距离，计算dS. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 / 6 七、)(xf在1 ,0上连续且单调增加，证明不等式1010)(2)(dxxxfdxxf. 证方法 1 自变量变换（利用定积分定义或在1 ,21上作变量变换tx1.）方法 2 函数变换0)2/1()()(21 (fxfx. 方法 3 1010)(2)(dxxxfdxxf与1010)(2)(dxcxfxdxcxf等价 ,不仿设021f,得

7、0)()21 (xfx. 方法 4 设1cf, 1010)(2)(dxxxfdxxf1021020)()()()(xdfxxxxdxf. 当1cf,可以用逼近或用定积分定义证明1021020)()()()(xdfxxxxdxf. 方法 5 .1,0:,0)()(yxDdxdyyfxfyxD八、证明方程122xx有且仅有三个实根 . 证 记yyyyxyxx,00,22ln2,1222. 00,022ln2yxyx, 所 以 存 在 至 少 三 个 零 点 ，02ln23xy，不可能有三个以上零点。九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2). 举例说明存在收敛的正项级数0nna,但)1

8、(noan. 解 （1）)1)1(1nnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 / 6 (2) 1: ) 1(4nnn)1)1(4nnnnn=)1)1(1(4nnnnnnn, 2211nnnnnn,得213, 11nnn2:)102(222)102(22212100991211110921丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、7.! 5!100,11105efexxfx8.cossin114sin02022xxduudtdxdtx七、设生产某产品必须投入三种要素，zyx,分别是三种要素的投入量，Q为产量，,.z

9、yxQ为正数，.1.三种要素的价格分别是321,PPP，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用P最小。证明最小投入总费用P与产量Q比为常数，并且求此常数 . 解 利用 Lagrange 方法，求zPyPxPP321在条件zyxQ下的最小值。得111PPPQP. 八、, 2/1, 110aa当,2n有1)1(21nnanna，证 明当1x时，级数nnnxa1收敛，并求和函数 . 注意:2/11a可去掉 . 解, 1lim1nnnaa当1x时，级数nnnxa1收敛。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 / 6 ,)1(21111nnnnxanxna21)(1nnnxaxxannn0)(111nnnxa.记nnnxay0,得, 10,2yyxyy得, 10,21yyyx得.11xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页