2022年第四节三角函数的最值与综合应用 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第四节三角函数的最值与综合应用高考试题考点一三角函数的最值1.(20XX 年天津卷 , 文 6) 函数 f(x)=sin（2x-4）在区间 0,2 上的最小值为 ( )(A)-1 (B)-22(C)22(D)0解析 : 由 x0,2 得 2x-4-4,34,所以 sin(2x-4) -22,1.即 f(x)在0,2 上最小值为 -22.故选 B. 答案 :B2.(20XX 年山东卷 , 文 8) 函数 y=2sin(6x-3)(0 x9) 的最大值与最小值之和为( )(A)2-3(B)0 (C)-1 (D)-1-3解析 : 当 0 x9 时,-36x-376,所以 -32sin

2、(6x-3) 2,所以最大值与最小值之和为2-3. 故选 A.答案 :A3.(20XX 年天津卷 , 文 7) 已知函数 f(x)=2sin(x+),x R,其中 0,- . 若 f(x) 的最小正周期为 6, 且当 x=2时,f(x)取得最大值 , 则( )(A)f(x)在区间 -2 ,0 上是增函数(B)f(x)在区间 -3 ,- 上是增函数(C)f(x)在区间 3 ,5 上是减函数(D)f(x)在区间 4 ,6 上是减函数解析 : T=6,=2T=26=13,132+=2k+2(k Z),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页

3、，共 16 页学习必备欢迎下载=2k+3 (k Z).- ,令 k=0 得=3.f(x)=2sin(3x+3).增区间为 2k-23x+32k+2,k Z,2k-563x2k+6,k Z,6k-56x6k+2,k Z,当 k=0 时,-52x2.f(x) 在-2 ,0 上是增函数 . 故选 A.答案 :A4.(20XX 年江西卷 , 文 6) 函数 y=sin2x+sin x-1的值域为 ( )(A)-1,1 (B)-54,-1(C)-54,1 (D)-1,54解析 : 令 sin x=t,则 t -1,1,可得 y=t2+t-1=(t+12)2-54,故 y-54,1.故选 C.答案 :C5

4、.(20XX 年新课标全国卷, 文 16)设当 x=时, 函数 f(x)=sin x-2cos x取得最大值 , 则 cos = . 解析 :f(x)=sin x-2cos x=5(55sin x-2 55cos x)=5sin(x-),其中 sin =2 55,cos =55,当 x-=2k+2(k Z),即 x=2k +2+时函数 f(x) 取到最大值 ,即=2k+2+,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载所以 cos =-sin =-2 55.答案 :-2 556.(20XX 年大纲全国卷 ,

5、文 15)当函数 y=sin x-3cos x(0 x0,0,- ) 在 x=6处取得最大值2, 其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为2.(1) 求 f(x) 的解析式 ;(2) 求函数 g(x)=426cossin16xxfx的值域 .解:(1) 由题设条件知f(x)的周期 T=,即2=, 解得 =2.因为 f(x) 在 x=6处取得最大值2, 所以 A=2,从而 sin(2 6+)=1,所以 26+=2+2k,k Z.又由 - , 得=6.故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6).(2)g(x)=426cossin12sin 22xxx=426coscos22cos 2xx

6、x=2222cos13cos22 2cos1xxx=32cos2x+1(cos2x12).因为 cos2x0,1,且 cos2x12,故 g(x) 的值域为 1,74 (74,52.考点二三角函数的综合应用1.(20XX 年陕西卷 , 文 6) 方程|x|=cos x在(- ,+ ) 内( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载(A) 没有根(B) 有且仅有一个根(C) 有且仅有两个根(D) 有无穷多个根解析 :|x|=cos x的根的个数即y=|x| 与 y=cos x 函数图象的交点个数. 令 y

7、1=|x|,y2=cos x, 则它们的图象如图所示 . 故选 C.答案 :C2.(20XX 年安徽卷 , 文 15)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x, 其中 a,b R,ab0. 若 f(x)6f对一切 xR恒成立 , 则f1112=0; f7100 时, 递增区间为 k -3,k +6(k Z).又|b|0), 且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1) 求的值 ;(2) 求 f(x) 在区间 ,32 上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=32-3sin2x-sin xcos x=32-31cos22x-12sin 2 x=32cos 2 x-12si

8、n 2 x=-sin(2x-3).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又0,所以22=44,因此 =1.(2) 由(1) 知 f(x)=-sin(2x-3).当x32时,532x-383.所以 -32sin(2x-3) 1.因此 -1f(x) 32.故 f(x)在区间 ,32 上的最大值和最小值分别为32,-1.6.(20XX 年四川卷 , 文 17)在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)

9、sin(A+C) =-35.(1) 求 sin A的值 ;(2) 若 a=42,b=5, 求向量BA在BC方向上的投影 .解:(1) 由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.则 cos(A-B+B)=-35,即 cos A=-35.又 0Ab, 则 AB,故 B=4.根据余弦定理 , 有(42)2=52+c2-25c35, 解得 c=1 或 c=-7( 负值舍去 ).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下

10、载故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=22.7.(20XX 年湖南卷 , 文 16)已知函数 f(x)=cos xcos(x-3).(1) 求 f23的值 ;(2) 求使 f(x)14成立的 x 的取值集合 .解:(1)f23=cos23cos3=-cos3cos3=-122=-14.(2)f(x)=cos xcos(x-3)=cos x (12cos x+32sin x)=12cos2x+32sin xcos x=14(1+cos 2x)+34sin 2x=12cos(2x-3)+14.f(x)14等价于12cos(2x-3)+1414,即 cos(2x-3)0.于是 2k+2

11、2x-32k+32,k Z.解得 k+512xk+1112,k Z.故使 f(x)14成立的 x 的取值集合为x k+512x0), 若存在 x1,x20,4, 使得 f(x1)=g(x2) 成立, 则实数 m的取值范围是. 解析 :f(x)=sin 2x+23cos2x-3=sin 2x+3(cos 2x+1)-3=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+3)0 x14,32x1+356.1f(x1) 2.又-62x2-63,12cos(2x2-6) 1,-32m+3g(x2)-m+3.又存在 x1,x20,4, 使得 f(x1)=g(x2),1-32m+3 2 或 1-m+32,23

12、m 43或 1m 2,23m 2.答案 :23,2考点二三角函数与其他知识的综合1.(2013 安徽蚌埠高三第一次质检)函数 f(x)=sin(cos x) 在区间 0,2 上的零点个数是 ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析 :f(x)=sin(cos x)=0,则cos x=k (k Z),cos x=k(kZ),cos x= 1 或 cos x=0,又 x0,2 ,则 x=0 或 x=或 x=2或 x=2或 x=32,即有 5 个零点 . 故选 C.答案 :C2.(2013 广东深圳高三第一次调研)函数 y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos x(-2 x4) 的图象所

13、有交点的横坐标之和等于( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析 : 作出 y=ln|x-1|与 y=-2cos x(-2 x4)的图象知 ,两函数图象有3 对交点 , 且每对交点关于x=1 对称 ,横坐标之和为23=6. 故选 B.答案 :B3.(2013 重庆第一中学高三月考) 设平面向量a=(cos x,sin x),b=(cos x+23,sin x),xR.(1) 若 x(0,2), 证明 :a 和 b 不平行 ;(2) 若 c=(0,1),求函数

14、 f(x)=a (b-2c) 的最大值 , 并求出相应的x 值.(1) 证明 : 假设 a 与 b 平行 ,则 cos xsin x-sin x(cos x+23)=0,即 sin x=0,与 x(0,2) 时,sin x0,矛盾 .故 a 与 b 不平行 .(2) 解:f(x)=ab-2a c=cos2x+23cos x+sin2x-2sin x=1-2sin x+23cos x=1-4sin （x-3）.所以 f(x)max=5,x=2k -6(k Z).综合检测1.(2012 浙江金华十校期末)M、N是曲线 y=sin x与曲线 y=cos x 的两个不同的交点, 则|MN|的最小值为(

15、 )(A) (B)2 (C)3(D)2 解析 : 两函数的图象如图所示, 则图中 |MN|最小 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4,x2=54,|x1-x2|= ,|y1-y2|=| sin x1- cos x2|=22+22=2,|MN|=222=3.故选 C.答案 :C2.(2013 安徽望江四中高三月考) 已知定义域为R 的函数 f(x) 既是奇函数 , 又是周期为3 的周期函数 , 当 x（ 0,32）时 ,f(x)=sin x,f32

16、=0, 则函数 f(x) 在区间 0,6上的零点个数是( )(A)3 (B)5 (C)7 (D)9解析 : f(x) 是定义域为R的奇函数 ,f(0)=0.又周期为 3,f(3)=f(6)=f(0)=0,又 f(1)=sin =0,f(4)=f(1)=0,又 f(1)=f(-1)=f(2)=f(5)=0,f32=f92=0,零点为 0,1,32,2,3,4,92,5,6,共 9 个. 故选 D.答案 :D3.(2011 吉林质检 ) 已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是x=53, 则函数 g(x)=asin x+cos x的最大值是 ( )(A)2 23(B)2

17、33 (C)43(D)2 63精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载解析 :f(x)=sin x+acos x=21asin(x+) （ cos =211a）,x=53为函数 f(x)图象的一条对称轴,53+=k+2(k Z),又 cos 0,取=-6,则 cos6=211a,21a=2 33.g(x)=21asin(x+ ) （cos =21aa）,g(x)max=21a=2 33. 故选 B.答案 :B4.(2012 江南十校联考 ) 函数 y=222sin3sin2sin3xxx的值域为. 解析

18、 : 令 t=2sin x+31,5,则 sin x=32t,所以 y=2233922ttt=229182ttt=91t2-921t+12,又1t15,1,所以 y-116,5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载答案 : -116,55.(2013 重庆一中高三第四次月考)已知向量 a=(sin ,cos ),b=(3,1), 其中 (0,2).(1) 若 ab, 求 sin 和 cos 的值 ;(2) 若 f( )=(a+b)2, 求 f( ) 的值域 .解:(1) ab,sin -3cos =0,求得 tan =3.又 (0,2),=3,sin =32,cos =12.(2)f()=(sin +3)2+(cos +1)2=23sin +2cos +5=4sin( +6)+5.又 (0,2),+6(6,23),12sin( +6) 1,7f( ) 9,即函数 f( ) 的值域为 (7,9.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页