2022年第二轮数学专题三函数与导数 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思数学(第 二 轮 )专 题 训 练第三讲 : 函数与导数数学(第 二 轮 )专 题 训 练( 一) 典型例题讲解: 例 1已知：三次函数cbxaxxxf23)(，在),2(),1,(上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4x时，.54)(2xxxf（1）求函数f (x)的解析式；（2 理）若函数)ln() 1()2(3)()(mxmxxfxh，求)(xh的单调区间 . （2 文）若函数my与函数)(xf、)(xg的图象共有3 个交点，求m 的取值范围 . 解： （1）)(xf在),2(),1,(上单增，（-1，2）上单减023)(2baxxxf有两根

2、1，2 cxxxxfbaba623)(623321322123令522554)()(232cxxxxxxfxH)2)(13(253)(2xxxxxH),2(),31,()(在xH单调增，)2,31(单调减故110)31(0)4(cHH11623)(23xxxxf故.11623)(23xxxxf（2 理）633)(2xxxf, )2)(ln()1(1)(xmxmxmxxh且mxxmxmxh111)(当 m 2 时， m 2 ，定义域：),( m, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精

3、思0)(xh恒成立，),()(mxh在上单增；当12m时，12m，定义域：),2()2,( m0)(xh恒成立，), 2(),2,()(mxh在上单增当 m 1 时， m 1，由0)(xh得 x 1 时，在（ 1，2） ， （2，+ ）上单增；在（m，1）单减（2 文）因11623)(23xxxxf.21511)1(6)1(23)1()1(23f同理 f(2) =21 当21521m时，直线my与函数)(xf的图象有3 个交点 . 10 分又.11)2()(2xxg故当 m1 时，直线my与)(xg的图象共有2 个交点， 与)(xf的图象有1 个交点， 又 f(4) = g (4)故当51m、

4、5m时与)(xf、)(xg共有 3 个交点 12 分故 m 的取值范围：).,5()5, 1()215,21(例 2已知函数bxxf)(的图像与函数23)(2xxxg的图象相切，记).()()(xgxfxF（1）求实数b 的值及函数F（x）的极值；（2）若关于x 的方程 F（x）=k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围 . 解： （1）依题意，令),( )( xgxf，得1, 321xx故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思351, 0)( )35)(1(3583)( 2

5、54)22)(1()() 1,0)2(42022),()(:(1)()0, 1()()(2223222xxxFxxxxxFxxxxxxxFbbbxxxgxfbbxxfxgxf或解得令故即故有唯一实数解即依题意方程或可得将切点坐标代入函数的图象的切点为的图像与函数函数列表如下：x)35,(35)1,35(1 ), 1()( xF+ 0 0 + )(xF极大值274极小值 0 从上表可知1,27435)(xxxF在处取得极大值在处取得极小值 .（2）由（ 1）可知涵数.)(大致图象如下图所示xFy作函数ky的图象，当)(xFy的图象与函数ky的图象有三个交点时，关于x 的方程恰有三个kxF)()2

6、74,0(:.k结合图形可知不等的实数根例 3函数tmRxmtxxxf和,(3)(3为常数）是奇函数. （1）求实数m 的值和函数)(xf的图象与横轴的交点坐标. （2）设),1 , 1( |)(|)(xxfxg求)(xg的最大值F（t） ；（3）求 F（t）的最小值 . 解： （1）由于)(xf为奇函数，易得0m设0)3(3)(23txxtxxxf当03t时，上述方程只有一个实数根0 x，所以xxf与)(轴的交点坐标为（0，0）当03t时，上述方程有三个相等实数根0 x，所以xxf与)(轴的交点坐标为（0， 0）当03t时，上述方程的解为txx3, 03,21，所以)(xf与横轴的交点坐标分

7、别为：)0,3(),0 ,3(),0 ,0(tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）显然)1 , 0( |3|)(3xxtxxg是偶函数，所以只要求出)1 ,0( |3|)(3xxtxxg的最大值即可 . )(3)(2txxf又0)0()(,)( 1 ,0,0fxfxft为增函数上则在时tftFxgxf31) 1()(),()(故)(3)( 1 ,0,0txtxxft上则在时（ i）)( 1 , 0,11xftt上则在时即为减函数),()(, 0)0()(xfxgfxf故1

8、3) 1()(tftF（ ii）)(3)( 1 ,0,10txtxxft上则在时x 0 ),0(tt（t，1）1 )(xf0 + )(xf0 极小值tt 2t31所以可以画出)(xg的草图如下，并且由图可知：（10）当tttftFxgttt2)()()(,14121的最大值时即（20）当tftFxgtt31)1()()(,41021的最大值时即综上所述：) 1( 13)141(2)41(31)(ttttttttF（3）显然,)41,()(上为减函数在tF为增函数即在上为增函数在),41,), 1)1 ,41.41)41()(FtF的最小值例 4.已知函数 f(x)= cosx,g(x)=ax。

9、(1)求函数 h(x)=g(x) f(x)(x 2,2)的单调区间；(2)证明：对任意的xR，都有 |f/(x)| |x|；(3)若 a=2,x1=(43,4),g(xn+1)=f(xn), 求证：|2|1x+|2|2x+|2|nx2(nN) 解（ 1）( )cos ,( )sinh xaxxh xax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 a1时， h/(x) 0, h(x)在上单调递增；当 a 1 时， h/(x) 0, h(x)在上单调递减；当1a1 时，(,arcsin)

10、,( )0, ( )2xa h xh x上单调递增；arcsin,( )0, ( )2xah xh x单调递减；(2)( )cos ,( )sinf xxfxx设 F1（x）=sinxx,则1( )cos1F xx 0, 所以 F1（x）在 R 上是减函数。故当 x0 时， F1(x) F1(0)=0,即 sinx x=|x|设 F2（x）=sinx+x, 则2( )cos1Fxx 0, 所以 F2（x）在 R 上是增函数。故当 x0 时， F2(x) F2(0)=0,即 sinx x = |x| x0 时， |x| sinx |x|，即有 |f (x)|=|sinx| |x|;同理可证，当0

11、 x时， |f/(x)|=|sinx| |x|，故结论成立；（3）由 g(xn+1)=f(xn),得 2xn+1cosnx，根据（ 2） ，有*1111|cos|sin()|()222222nnnnxxxxnN|2nx21121111| () |( )|222222nnnxxx( 二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 设)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如图所示， 则)(xfy的图象最有可能的是( C )2.若 a3, 则方程 x3 ax2+1=0 在(0, 2)上恰有（B ）A、0 个根B、1 个根C、2 个根D、3 个根,22,2 22112111| 1()( ) |22

12、2222211( )32|2|(,)12224 412nnnxxxaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3.已知222lim2xxcxax，且函数lnbyaxcx在(1,)e上具有单调性，则b 的取值范围是( A ) A、(,1 ,)eB、(, 0 ,)eC、(, eD、1, e4 （理）若函数在dcxxxxf2321)(在1，2上为减函数，则c 的取值范围是（A ）A c 8 Bc 3 Cc0 Dc1 （文）已知mxxxf2362)(（m 为常数）在 2，2上有最大值3，

13、那么此函数在2，2上有最小值为（ A ）A 37 B 29 C 5 D 11 5.（理）已知函数f(x)=xsinx+cosx，则 f(3)与 f(2)的大小关系是（ A ）A f(3)f(2) Cf(3)=f(2) D不能确定（文 7）已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（C ）A 1a2 B 3a6 Ca6 Da2 二. 填空题6.过 函 数xxxxfsin3co s)(图 象 上 一 点 的 切 线 的 倾 斜 角 是 ， 则 的 取 值 范 围),433arctan,07.与抛物线322xxy相切且与直线012yx垂直的直线方程为0

14、57168yx. 8.（1）函数1032)(23xxxf的单调递减区间为(0,1) （2）若2( )2 (2)112010f xfxxx，则(1)f3 9. 关于函数）（）（01202)(xaxxexfx， （ a是常数且a0） 。对于下列命题：函数)(xf的最小值是 -1 ；函数)(xf在每一点处都连续；函数)(xf在 R 上存在反函数；函数)(xf在0 x处可导；对任意0,021xx且21xx，恒有2)()()2(2121xfxfxxf。其中正确命题的序号是 . 三. 解答题10. 已知函数f( x) ax3+bx2经过点 M(1,4) ，在点 M 处的切线恰与直线x+9y 0 垂直（）求

15、a, b 的值（）若函数f( x)在区间 m, m+1 上单调递增，求实数m 的取值范围解： (1) f(x)=ax3+bx2, f/(x)=3ax2+2bx 由已知9)1 (4)1 (/ff9234baba a=1,b= 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）由（ 1）知f( x) =x3+3x2f/(x)=3x ( x+ 2) 令 f（） 0 得 x 2 或 x0 f(x)在区间 ( ,2 和0,+ ) 上单调递增若 f(x) 在 m, m+1 上单调递增则 m, m

16、+1( , 2 或 m, m+1 0,+ ) m+1 2 或 m0 m 3 或 m0 所以 m 的取值范围是m 3 或 m0 11. 定义在R 上的函数32( )( ,),1f xxaxbx a bx为常数在处取得极值，且( )f x的图像在(1,(1)Pf处的切线平行直线y=8x，求函数( )f x的解析式及极值；求不等式( )f xkx的解集；对任意,R，求证：121(sin)(cos)27ff解：由题设知：( 1)03202(1)83201fabafabb3222( )2( )3411( )0,13f xxxxfxxxfxxx则令解得当 x 变化时，( ),( )f xfx得变化情况如下

17、表：x (, 1)-1 1( 1,)3131(,)2( )fx+ 0 - 0 + ( )f x0 42714( )( 1)0;( )327f xff的极大值为极小值为3222(21)0 xxxkxx xxk考虑方程2(21)0 xxk x根得情况：若 k0，则方程2(21)0 xxk x得根为1230,1,1xxkxk当 k1 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思101,kk110 x xkkx不等式的解集为或-ii)k=1 时，不等式得解集为 2;x xiii ）0k1 时

18、，不等式的解集为011;x xkxk或若 k0，不等式的解集为 01;x xx或若 k0，不等式的姐姐为 0 x x,1sin1, 1cos1aRa, 知：( ) 1,1f x 在上的最大值，最小值分别是4，4274121(sin)(cos)4()2727faf12. 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在 x= 1 有极值 0，若不等式f(x)mf(1)-2f(0) 在区间 a-6,b-6 上恒成立，求实数m 的取值范围。.解：因为 f(x)=3x2+6ax+b,由题设得06303101012babba,ff即解得：,baba9231或当31ba时， f(x)=3x2+6x+3=3(

19、x+1)20,于是 f(x)不存在极值；当92ba时， f(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合条件。且 f(1)=20, f(0)=4，于是由题设得：3x2+12x+920m-8 在区间 -4，3上恒成立，又 f(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3 在区间-4，3上的最大值为72. 4m,即实数 m 的取值范围是4m. 13已知函数axxgxxf11)(),1ln()(22（1）求)(xfy的值域；（2）设 m 为方程;)()(xxfmxxxf时，的根，求证：当（3）若方程)()(xgxf有 4 个不同的根，求a的取值范围 . 解： （1）12)(),1ln()(

20、22xxxfxxf, 由1|12|2122xxxx)(xf的值域为 1，1 （ 2） m 为方程 f（x）=x 的根， f（m）m= 0令01)()(,)()(xfxFxxfxF则, F（x）为单调减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 xm 时， F（x）F（m）即当 xm 时，0)()(mmfxxf当 xm 时， f（x）x （ 3）令axxxgxfxh11) 1ln()()()(22)1(1112)1(212)(222222xxxxxxxxh当0)(0, 1() 1,

21、(,0)(), 1 () 1 ,0 xhxxhx时，当时)0, 1()1,(11)1ln()(22单调减，在在axxxh单调减在（ 0， 1）和（ 1，+）单调增当 x（ 1，1）时，aahxh11011ln)0()(minx 1时，)(,;)(,1;)(xhxxhxxh时时由 h（x）为偶函数得，x 1时， h（x）， x1+，时， f（x）， x+时，h（x） +101)()(aaxgxf有四个不同的根时14 (理) 已知函数nxxemxxf2)()(，m、n是大于 0 的常数（）当1m，5n时，讨论函数)(xf的单调性；（）若4)0()(lim0 xfxfx，228mn，且)(xf在 R

22、上单调递增，求n的值(文）已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图像经过原点O，且在 x=1 处取得极值， 曲线 y= f(x)在原点处的切线l 与直线 y=2x 的夹角为45，且直线l 的倾斜角为钝角。 （1）求 f(x) 的表达式；（2）对于任意的x1,x2-a,a，不等式 | f(x1)- f(x2)| 4 恒成立，求a 的最大值。(理)解：因为 f (x) =nxxemx2)(，所以 f (x) =nxxe2+nxxemx2)( 2x + n ) = 2x2 +（2m + n）x + mn + 1 nxxe2（）当 m = 1，n = 5时，f (x) =（2x2 + 7x +

23、 6）xxe52，注意到xxe520，则由 f (x)0，解得 x2 或 x23；由 f (x)0，解得 2x23因此函数 f (x) 在（ ，2）与（23，+）上递增； f (x) 在（ 2，23）上递减（）由已知有f （0）= mn + 1，所以xfxfx)0()(lim0=0)0()(lim0 xfxfx= f （0）= 4，即 mn + 1 = 4，得 mn = 3要使函数 f (x) =nxxemx2)(在 R 上单调递增，只须f (x) 0在 R 上恒成立， 只须 （2m + n）24 2 （mn + 1）0 ，即（ 2mn）28精选学习资料 - - - - - - - - - 名

24、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又228mn, 228mn把nm3代入上式，得（n6n）2 =8，解得 n=2 (文)解： 、(1) 由条件可得d=0,3+2b+c=0,c0 当 a2 时， | f(x1)- f(x2)|4, 当 0a2 时| f(x1)- f(x2)| 4a 的最大值为2。足条件的 存在 . 15.(理) 已知函数|121)(xexxf为自然对数的底数）（其中 e（）判断)(xf的奇偶性；（）在)0 ,(上求函数)(xf的极值；（）用数学归纳法证明：当0 x时，对任意正整数n都有nxnxf2!)1(文) 设

25、12,x x是321( )( ,32abfxxxx a bR,0)a的两个极值点 . (1)如果1224xx，求证：( 2)3f；(2)如果1212,2xxx，求b的取值范围；(3)如果2a，且212xx，12(,)xx x时，函数2( )( )2()g xfxxx的最大值为( )h a，求( )h a的最小值 . (理)解： （）)(1)(1)(|12|12xfexexxfxx是偶函数)(xf。()当0 x时，xexxf121)()12(1)1(12)(1421213xexxexexxfxxx，令0)(xf有5.0 x，当21x时)(xf取极大值24e. ()当0 x时xxexxfexxf2

26、12)1(,1)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思考虑到：0 x时，不等式nxnxf2!)1(等价于xnnxenxxnex!22（ 1）所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切Nn都成立即可（ i）当1n时，设)0( ,)(xxexgx是增函数时，)(,01)(0 xgexgxx，故01)0()(gxg，即)0( , xxex所以，当1n时，不等式（1）都成立（ ii）假设)(Nkkn时，不等式（ 1）都成立，即xkekx!当1kn时设) 0( ,)!1()(1xxekx

27、hkx有0)!)(1()1()!1()(kxkxxekkxkekxh故)0( ,)!1()(1xxekxhkx为增函数，所以，0)!1()0()(khxh，即xkekx)!1(1，这说明当1kn时不等式（ 1）也都成立，根据 (i)(ii) 可知不等式（1）对一切Nn都成立，故原不等式对一切Nn都成立 . (文)解： 对( )f x求导，得2( )(1)1.fxaxbx由题意，12,x x是方程( )0fx的两根 .（ 1） 由1224xx，且0a，得(2)0(4)0ff，即421016430abab()()AB（A）式乘以-3 ，并与（B）式相加，得420.( 2)42(1)14233.ab

28、fabab（2）方程2(1 )1 0axbx的两根为12,x x，由根与系数的关系，得121211bxxax xa，由于120 x x，两式相除，得12121211(1)xxbx xxx，即12111.bxx（）当102x时，1222110 ,0 ,2,x xxxxa212,xx11111,2bxx1(0,2).x令11( )1,(0,).2xxxx对( )x求导，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2211( )0,( )(2)xxxx在(0,)内是增函数，当1(0,2)x

29、时，1111()( 2 )1244bx，即1.4b（） 当120 x时，212210,2,2,xxxxx111112bxx，1( 2,0).x令11( )1,(,0)2xxxx，同理可证它是增函数，当1( 2,0)x时，1117()( 2)1244bx，即7.4b综上所述，b的取值范围是17(,)(,).44（3）( )0fx的两根是12,x x，可设12( )()(),fxa xxxx2( )( )2()g xfxxx122212()()2()()().a xxxxxxa xxxxa12(,),xx x210,0.xxxx又122,0,axxa212( )()()g xa xxxxa2122122()()2xxaa xxxxaa211(1)2aaaa.当且仅当212xxxxa，即1211112xxxxaa时取等号，1( )2,2,)h aaaa.当(2,)a时，21( )10,( )h ah aa在(2,)内是增函数 .又( )h a在2,)上连续，( )h a在2,)上是增函数，min9( )(2)2h ah. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页