2022年第二讲椭圆双曲线抛物线 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线1椭圆的定义平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件(1)到两个定点 F1，F2的距离的 和等于常数 2a. (2)2a|F1F2|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载1双曲线的定义平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点 F1，F2的距离的 差的绝对值 等于常数 2a. (2)2a|F1F2|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢

2、迎下载3.等轴双曲线实轴和虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线， 其标准方程为 x2y2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载 ( 0)，离心率 e2，渐近线方程为y x1抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载若二元方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程，或曲

3、线C 是方程 f(x，y)0 的曲线，则必须满足以下两个条件：1曲线上点的坐标都是 二元方程 f(x，y)0 的解(纯粹性)2以这个方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点 (完备性 )判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 () (2)椭圆上一点P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c为椭圆的半焦距 )() (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必

4、备欢迎下载(4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同 () (5)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 () 1平面内到点 A(0，1)、B(1，0)距离之和为 2 的点的轨迹为 (A) A椭圆B一条射线C两条射线D一条线段解析： 因为点到两定点AB 距离之和为 2|AB|2，所以该点的轨迹为椭圆故选A.2以知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点， A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则 |PF|PA|的最小值为 9解析： 注意到 A 点在双曲线的两支之间， 且双曲线右焦点为F(4 ，0)，于是由双曲线性质 |PF|PF|2a4，而|

5、PA|PF|AF|5，两式相加得 |PF|PA|9，当且仅当A、P、F 三点共线时等号成立3(2015 新课标 卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点， 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(x32)2y2254解析： 由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为 (4，0)由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点设圆的标准方程为 (xm)2y2r2(0m4，r0)，则m24r2，

6、（4m）2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为(x32)2y2254. 4 (2015 北京卷 )已知双曲线x2a2y21(a0)的一条渐近线为3xy0，则 a_解析：双曲线x2a2y21 的渐近线为 yxa， 已知一条渐近线为3xy0，即 y3x，因为 a0，所以1a3，所以 a33. 答案：33一、选择题1若椭圆x22y2m1 的离心率为12，则实数 m 等于(A) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载A.32或83B.32C.83D.38或23解析： 若 m2，则m2m14，解得 m

7、83.若 0m2，则2m214，解得 m32.2. (2015 新课标 卷)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 |MN|(C) A2 6 B8 C4 6 D10 解析： 设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y22 6或 y22 6，M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN|4 6，故选 C. 3(2015 福建卷 )若双曲线E：x29y2161 的左、右焦点分别为F1，F2，

8、点 P 在双曲线 E 上，且 |PF1|3，则|PF2|等于 (B) A11 B9 C5 D3 4已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 (A) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载A.14，1B.14，1C(1，2) D(1，2) 解析： 如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程 l：x1，点 P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知 |PF|PD|，显然 D，P，Q 共线时，|PD|PQ|最小，即 |P

9、F|PQ|最小此时 yP1，代入抛物线方程知xp14， P14，1 .5. (2014 江西卷 )过双曲线 C：x2a2y2b21 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 (A) A.x24y2121 B.x27y291 C.x28y281 D.x212y241 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载解析： 因为 C：x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，所以 A(a，b)或A(a，

10、 b) 因此 OAc4， 从而三角形 OAC 为正三角形，即 tan 60ba，a2，b2 3，双曲线 C 的方程为x24y2121.6(2014 全国大纲卷 )双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则 C 的焦距等于 (C) A2 B2 2 C4 D4 2 解析： 由已知可知渐近线的斜率kba3c23且ca2，即b2a23c23且 1b2a24 解得 c231，所以 c2，2c4.故选 C.二、填空题7(2015 北京卷 )已知(2，0)是双曲线x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b3解析： 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且 c2.根据双曲线

11、的标准方程，可知 a21.又 c2a2b2， 所以 b23.又 b0， 所以 b3. 8在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60，则 OAF 的面积为3解析：由 y24x， 可求得焦点坐标为F(1， 0)，因为倾斜角为 60，所以直线的斜率为ktan 60 3，利用点斜式，直线的方程为y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载3x3，将直线和曲线方程联立，y3x3，y24x? A(3，2

12、3)，B13，2 33，因此 SOAF12OFyA1212 33. 三、解答题9已知圆 O 过定点 A(0，p)(p0)，圆心 O 在抛物线 C：x22py 上运动， MN 为圆 O 在 x 轴上所截得的弦(1)当点 O 运动时， |MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM| 与|ON|的等差中项且 M， N 在原点 O 的右侧时，试判断抛物线 C 的准线与圆 O 是相交、相切还是相离， 并说明理由解析： (1)设 O (x0，y0)，则 x202py0(y00)，则O 的半径 |OA|x20（y0p）2，O的方程为 (xx0)2(yy0)2x20(y0p)2.令 y0，并把

13、 x202py0代入得 x22x0 xx20p20.解得 x1x0p，x2x0p， |MN|x1x2|2p， |MN|不变化，为定值2p.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载(2)设 MN 的中点为 B，则|OM|ON|2|OB|且 O BMN.又|OA|是|OM|与|ON|的等差中项， |OM| |ON|2|OA|，可得 B(p，0)，O p，p2. |O A|p2p2p252p.即圆 O 的半径为52p.又点 O 到抛物线 C 的准线的距离为p2 p2p52p.圆O 与抛物线 C 的准线相交10

14、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1，0)，且点 P(0，1)在 C1上(1)求椭圆 C1的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2：y24x 相切，求直线 l的方程解析： (1)因为椭圆 C1的左焦点为 F1(1，0)，所以 c1.将点 P(0，1)代入椭圆方程x2a2y2b21，得1b21，即 b1，所以a2b2c22.所以椭圆 C1的方程为x22y21.(2)直线 l的斜率显然存在且不为0， 设直线 l的方程为 ykxm，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12

15、页，共 16 页学习必备欢迎下载由x22y21，ykxm，消去 y 并整理得：(12k2)x24kmx2m220，因为直线 l 与椭圆 C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得 2k2m210.由y24x，ykxm，消去 y 并整理得：k2x2(2km4)xm20.因为直线 l 与抛物线 C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得 km1.综合，解得k22，m2.或k22，m2.所以直线 l 的方程为y22x2或 y22x2. 11如图，等边三角形OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上精选学习资料 - - - - - - -

16、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点Q.证明：以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点解析： (1)依题意， |OB|8 3， BOy30 .设 B(x，y)，则 x|OB|sin 30 4 3，y|OB|cos 30 12.因为点 B(4 3，12)在 x22py上，所以(4 3)22p12，解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.(2)证法一由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x0 0，y014x20，且 l 的

17、方程为yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y1，得xx2042x0，y1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载所以 Q 为x2042x0，1.设 M(0，y1)，令MP MQ0 对满足 y014x20(x0 0)的 x0，y0恒成立由于MP(x0，y0y1)，MQx2042x0，1y1，由MP MQ0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00.由于式对满足 y014x20(x0 0)的 y0恒成立，所以1y10，y21y

18、120，解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0，1)证法二由(1)知 y14x2，y12x， 设 P(x0， y0)， 则 x0 0，y014x20，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y1，得xx2042x0，y1.所以 Q 为x2042x0，1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载取 x02，此时 P(2，1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为 (x1)2y22， 交 y 轴于点 M1(0， 1)， M2(0， 1)； 取 x01， 此时 P 1，14，Q 32，1 ，以 PQ 为直径的圆为x142 y38212564，交 y 轴于点 M3(0，1)，M40，74.故若满足条件的点M 存在，只能是 M(0 ，1)以下证明点 M(0，1)就是所要求的点因为MP(x0，y01)， MQx2042x0，2， 所以MP MQx20422y022y022y020.故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页