2022年第五章定积分 .pdf
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1、个人收集整理仅供参考学习1 / 10 第五章定积分在上一章中我们学习了积分学的第一个问题不定积分, 本章继续学习积分学的第二个问题定积分,定积分不论是在理论上还是在实际应用上,都有着十分重要的意义,它也是整个高等数学最重要的篇章之一. 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 我国汉代的数学家刘徽用“割圆术”求圆的面积 , 德国天文学家开普勒证明行星运动三大定律等,这里面已经蕴含了定积分思想的雏形 . 17 世纪中叶 , 英国的牛顿和德国的莱布尼茨在许多数学家工作的基础上提出了定积分的概念 , 并发现了积分与微分之间的内在联系, 给出了计算定积分的一般方法, 从而使定积分成为解决有关实际问题
2、的有力工具, 并使各自独立的微分学与积分学联系在一起, 构成完整的理论体系微积分学.文档收集自网络,仅用于个人学习本章先在典型实例的基础上,引入定积分的定义, 然后讨论定积分的性质,重点是微积分基本定理, 建立关于定积分的换元法和分部积分法,并介绍反常积分的概念.文档收集自网络,仅用于个人学习第一节 定积分的概念和性质本节主要内容1 典型实例2 定积分的定义3 定积分的性质讲解提纲:一、引例例 1 曲边梯形的面积例 2 变速直线运动的路程例 3 变力做功二、定积分的定义定 义 :设)(xf在 闭 区 间,ba上 有 界 , 在,ba中 任 意 插 入 一 系 列 分 点bxxxxxann 12
3、10,把区间,ba分割成n 个小区间,10 xx, ,21xx, ,1nnxx,每个小区间的长度记为1,iiixxx1,2,in.在每个小区间,1iixx上 任 取 一 点),(1iiiixx作 函 数 值)(if与 小 区 间 长 度ix的 乘 积iixf)(),2, 1(ni, 并作和式1(),niiiSfx记,max21nxxx如果不论对,ba怎样的分法, 也不论在小区间,1iixx上点i怎样取法 , 只要当0时 , 和S总趋于确定的极限I, 则称极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的 定积分 , 记作文档收集自网络,仅用于个人学习niiibaxfIdxxf10)(lim)(,精选学习
4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页个人收集整理仅供参考学习2 / 10 其中)(xf叫做 被积函数 ,dxxf)(叫做 被积表达式 , x 叫做 积分变量 ,ba叫做 积分区间 .三、定积分的几何意义当在 , a b上( )0f x时,定积分( )baf x dx在几何上表示由曲线( )yfx、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积;当在 , a b上( )0fx时, 定积分( )baf x dx在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值;当在 , a b上( )f x既取得正值又取得负值时,定积分( )baf x dx
5、在几何上表示x轴上方面积减去x轴下方面积 .文档收集自网络,仅用于个人学习四、定积分的性质两点补充规定:(a) 当ba时,;0)(badxxf(b) 当ba时,abbadxxfdxxf)()(. 性质 1.)()()()(bababadxxgdxxfdxxgxf性质 2,)()(babadxxfkdxxkf(k 为常数 ). 性质 3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 性质 4.1abdxdxbaba性质 5 若在区间,ba上, 0)(xf则, 0)(badxxf).(ba推论 1 若在区间,ba上有),()(xgxf则,)()(babadxxgdxxf).(ba推论 2).(
6、|)(|)(badxxfdxxfbaba性质 6 (估值定理 )设 M 及 m 分别是函数)(xf在区间,ba上的最大值及最小值,则).()()(abMdxxfabmba性质 7 (定积分中值定理) 如果函数)( xf在闭区间,ba上连续 ,则在,ba上至少存在一个点, 使).(),)()(baabfdxxfba例题选讲:定积分的定义例 1 利用定积分的定义计算定积分102dxx. 解:把区间 1 ,0分成 n 等份,分点为为nixi,; 1,2, 1ni取iix得合式)12)(11(611)()(1212121nnnnixxxxfniniiiniiiniii当0时,又定积分的定义精选学习资料
7、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页个人收集整理仅供参考学习3 / 10 102dxx=nniiixlimlim120)12)(11(61nn=31定积分的性质例 2 比较积分值21ln xdx和221(ln)xdx的大小 . 解:21ln xdx221(ln)xdx例 3 估计积分31/3arctanxxdx的值 . 解:3arctan9331xdxx课堂练习1.证明等式12014x dx; 2.估计积分1431(425)xxdx的值 . 第二节 微积分基本公式定积分作为一种特定和式的极限,直接按定义来计算将是十分困难的.本节
8、将通过对定积分和原函数关系的讨论,导出一种计算定积分的简便有效的方法.文档收集自网络, 仅用于个人学习本节主要内容1 从实例看定积分与原函数的关系2 积分上限函数3 牛顿 -莱布尼兹公式讲解提纲:一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系二、积分上限的函数及其导数:xadttfx)()(定理 1 若函数)(xf在区间,ba上连续 ,则积分上限函数xadttfx)()(在,a b上可导,并且有( )( )xf x,axb. 定理 2 若函数)(xf在区间,ba上连续 ,则函数xadttfx)()(就是)(xf在,ba上的一个原函数. 三、牛顿 莱布尼兹公式定理 3 若函数)(xF是连续函数)(x
9、f在区间,ba上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba. 上式称为 牛顿莱布尼茨公式,又称为 微积分基本公式. 例题选讲:积分上限的函数及其导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页个人收集整理仅供参考学习4 / 10 例 1 求0cossinxdtdtdx. 解:0cossinxdtdtdx=xx sin)sin(cos例 2 求20sinxdtdtdx. 解:20sinxdtdtdx=xxsin2例 3 求32411xddtdxxt. 解:32411xddtdxxt=8121213xxxx例 4 求21c
10、os02limxdtextx;2030sinlimxxtdtx. 解:21cos02limxdtextx=exxexx212sinlim2cos0;例 5 设)( xf在0,)内连续且.0)(xf证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数. 解:xxxxxdttfdttftxxfdttfdtttfxfdtttfxxfxF0200200)()()()()()()()()()(当xt0时0)()( ,0)(tftxtf由积分中值定理可知0)(,0)()(00 xxdttfdttftx从而)(xF在),0(内为单调增加函数. 牛顿 莱布尼兹公式例 6 求定积分102
11、dxx. 解:102dxx=31例 7 求211.04dxx解: 211.04dxx=6212arcsinx例 8 求20fx dx,其中2111122xxfxxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页个人收集整理仅供参考学习5 / 10 解:20fx dx=102122) 1(dxxdxx=38例 9 设函数)(xf在闭区间,ba上连续 , 证明在开区间),(ba内至少存在一点,使).()()(baabfdxxfba解:设闭区间,ba上F)()(xfx根据牛顿莱布尼茨公式,有)()()(aFbFdxxfba据微分
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