数理统计.pdf

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1、第一章第一章例 1：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去,试求下列事件的概率：（1）每个盒子至多有一只球；（2）某指定的 n 个盒子各有一个质点；（3）任意 n 个盒子中各有一个质点；（4）某指定盒中恰有 m 个质点。例 2：袋中有 a 只白球, b 只红球, k 个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样； (2)作不放回抽样,求第 i(i=1,2,.,k)个人取到白球(记为事件 B)的概率(ka+b).例 3：8 只乒乓球队中，有两个强队，将8 个球队任意分为两组（每组4 个队）进行比赛，求这两个强队被分在一个组内的概率是多少例4：已知P(A) 0.5,P(AB) 0.2,P(B) 0.3

2、.求：（ 1）P(AB)(2)P(A B)(3)P(A B)(4)P(AB)例 5：将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”,事件B为“两次掷出同一面“.现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.例 6：已知某批产品的合格率为，检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为,而一个次品被误认为合格的概率为.求：(1)检查任一产品被认为是合格品的概率(2)被认为是合格品的产品确实合格的概率例 7.：甲乙两人独立对目标射击一次，其命中率分别是和，现已知目标被击中，求是被甲击中的概率。例 8.：设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取 2 件，求:（1）两件都不

3、合格的概率。（2）已知第一件合格，第二件也合格的概率。（3）在这 2 件中已知有 1 件不合格，另一件也不合格的概率。例 9：对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少例 10： 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0、1、2 只次品的概率分别是， ， ，一顾客欲购买一箱玻璃杯，购买时，随意抽取一箱，顾客开箱随机查看4 只，若无次品则购买。求 （1）顾客买下该箱的概率（2）顾客买下的一箱中，确实

4、没有次品的概率例 11：设三次独立试验中事件A 出现的概率相等，已知A 至少发生一次的概率为19/27,求A 最多发生一次的概率。例 12：已知 P(A)= P(B)= P(C)=1/4, P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8,求 A,B,C 全不发生的概率。第二章第二章例 1：某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率为十万分之一，若每周买一张彩票，坚持买了十年，试求从未中过大奖的概率。例 2：设1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布，已知1 小时内无人进入图书馆的概率为，求一小时内至少有两人进入图书馆的概率。例 3：A Bex /2,x 0,F(x) 0,x 0求：（1）A与B

5、的值（2）f (x)(3)P1 x 2例 4:电子元件的寿命 X(年）服从参数为 1/3 的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2 年的概率。(2)已知该电子元件已使用了年，求它还能使用两年的概率为多少例 5:设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管的使用寿命X 的概率密度函数为 ：21002, x 100；f (x) x0， 其它求（1）开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）分布函数 F(x)例 6:设随机变量 X 在2,5上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率。例 7:一民航送客车载有 20 位旅客自

6、机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).例 8：设X N(0,1),求E(X)和D(X).例 9：求二项分布方差;求泊松分布方差；例 10：.X B(2,P),Y B(3,P),若PX 15,求：PY 19例 11：.用抽样调查检查某地人口普查的质量，抽查了 1000 户的登记卡片，发现某些卡片有 1 个错误，少数有两个错误， 极少有 3 个错误，总的来看，错误的多少与卡片的数目成比例，这 1000 张卡片共有 30 个错误。试求随机抽取 10 张卡片

7、而没有发现错误的概率。例 12：某超市平均每小时72 人光顾，那么在 3 分钟之内到达 4 名顾客的概率是多少例 13：已知某工厂生产的笔记本的使用寿命服从参数=的指数分布。厂家承诺，如果电池在半年之内不能使用的话， 可以免费更换。 已知能够正常使用的电池的平均利润为每个200 元，更换电池的成本每个600 元，该厂家最终的平均利润是多少第三章1n考点一：样本均数：X Xini11nXi X样本方差：S n1i1221n标准样本方差：S Xi Xn1i12样本的偏度和峰度：SK n(xi x)3i1n(n1)(n2)s3n(n1)(xi x)43(n1)(xi x)22i1nni14Ku (n

8、1)(n2)(n3)s考点二：样本标准误：1kx xiSxki1考点三：(xi x)2i1kk 1SSXnz0.051.645 z0.0251.96z0.005 2.575t 分布：设X N(0,1) , Y (n)，X Y 相互独立T 2XYn则称T服从自由度为n的T分布F分布：设X 2(n), Y 2(m)，X Y 相互独立F X /n则称F服从为第一自由度为 n ,第二自由度为 m 的 F 分布Y /mX N(0,1)n(n1)S222(n1)X t(n1)SnS1212 F(n11,n21)22S22X Y (12)(n11)S (n21)Sn1n22212211n1n2 t(n1n2

9、2)X Y N(12,(X Y )(12)12n122n2)12n1第四章第四章22n2 N(0,1)考点一：正态总体均数的估计(1)方差已知，2的置信区间：( X zn2, X zn2)(2)方差 2未知，的置信区间：X t(n1)2SS , X t(n1)2nn(n1)S2(n1)S2(3)当未知时，方差 2的置信区间：2,(n1)12(n1)22例 1：已知某地幼儿的身高服从正态分布。现从该地一幼儿园大班抽查9 名幼儿，测的身高（单位：厘米）分别为：115，120，115，131，109，115，115，105 ，110设大班幼儿园身高总体的标准差为7 厘米，在置信水平为下，求总体均值的

10、置信区间。例 2：设 X 的样本方差为 1，样本容量为 100，样本均值为 5,求总体均值置信水平为的置信区间。例 3：为了估计产品使用寿命的均值和方差，测试了 10 件产品，求得样本均值为1500，标准差为20，已知产品使用寿命服从正态分布，求总体均值和标准差置信度为的置信区间。考点二：正态总体均数之差的区间估计（1）,已知，12的置信区间：(X Y（2）1,2未知，12的置信区间：222122Z212n122n2)同方差大样本： x y ua22S12S2n2n111同方差小样本：(X Y )t2nn21x y ua异方差大样本：22(n11)S12(n21)S2n1n222S12S2n1

11、n2异方差小样本： x y ta22S12S2n1n222 S1S2n1n2df2222SnSn1122n1 1n2 12例 5：甲医院治愈 2570 名病人，平均住院天数为天，乙医院治愈 2000 名病人，平均住院天数为天，根据经验，住院天数的标准差甲院为天，乙院为天，做出两院平均住院天数差的区间估计。(假设两院住院天数服从正态分布，给定1-=例 6：为研究正常成年男女血液红细胞的平均数之差别，检查某地正常成年男子156 名，正常成年女子 74 名，计算得男性红细胞平均数为万/(mm)3，样本标准差为万/(mm)3； 女性红细胞平均数为万/(mm)3， 样本标准差为万/(mm)3。试计算该地

12、正常成年男女的红细胞平均数之差的置信区间(置信度为例 7：设超大牵伸纺机的抗拉强度和普通纺机的抗拉强度服从正态分布，标准差分别为,。现对前者抽取样本容量为200 的样本，对后者抽取 100 的样本，经计算均值分别为和.求均值之差置信度为的置信区间。例 8：从甲乙两厂生产的蓄电池产品中，分别抽取一批样品，测得蓄电池的电容量如下：甲厂：144 141 138 142 141 138 143 137乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136求（1）电容量方差之比置信度为的置信区间（2）电容量均值之差置信度为的置信区间（设总体方差相等）考点三：例9：用某种中医

13、疗法治疗青少年近视眼15 例，有效例数10 例，试求有效总体率的 95%的置信区间。例 10：某医院用复方当归注射液静脉滴注治疗脑动脉硬化症188 例，其中显效 83例，试估计当归注射液显效率的置信区间(=。第五章第五章例 1：某药厂用一台包装机包装硼酸粉，额定标准为每袋净重,设每袋硼酸粉重服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差。 某天开工后，为检验包装机的工作是否正常，随机抽取它所包装的硼酸粉10 袋，称得净重(kg)为问这天包装机的工作是否正常例 2： 某药厂原来生产的一种安眠药， 经临床使用测得平均睡眠时间为小时， 标准差为小时，该厂技术人员为了增加睡眠时间，改进了旧工艺，为检验是否达

14、到了预期的目的，收集了一组改进工艺后生产的安眠药的睡眠时间：， ， ， ，21，26， ， ， ，24。试问， 从收集到的数据能否说明改进了工艺后生产的安眠药提高了疗效。 (假定睡眠时间服从正态分布显著水平为例 3：某药厂生产某种中药丸，要求有效期不得低于 1000 天，现从某一天生产的药丸中随机抽取 25 个，测得其有效期平均值为950 天。已知该种药丸的有效期服从标准差为=100 天的正态分布，试在显著水平下检验这天生产的药丸有效期的均值是否小于1000 天。例 4：某中药厂用旧设备生产的六味地黄丸，丸重的均数为，更新了设备后，从所生产的产品中随机抽取 9 丸，其重量为：，10， ， ，

15、， ， ， ， 。问设备更新前后药丸的平均重量是否有变化(假设丸重服从正态分布，=例 5： 甲药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究， 用 X 表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强度，假定随机变量 X 是服从正态分布，另一家与之竞争的乙药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为，若甲厂为证实其产品有更高的平均抗体强度，从产品中随机地抽取了16个样本值：试问据该样本值能否证实甲厂平均抗体强度高于乙厂(=。例6： 某药厂生产甘草流浸膏， 现从产品中随机地抽取4个样品， 测得甘草酸含量的均数=(%)，标准差 S=(%)，设测定值总体服从正态分布，据以往的经验，甘草流膏中甘草酸含量的均数为(%)， 试在显著水平下， 检

16、验此厂生产的甘草流浸膏中甘草酸的含量是否低于总体水平。例 7：某剂型药物正常的生产过程中，含碳量服从正态分布 N（,*） ，今从某班产品中任取 5 件，测量其含碳量为， ， ，和 (%) 。问这个班生产的药物含碳量的总体方差是否正常(=例 8：某药厂准备生产一批新药通常收率的标准差在 5%以内认为是稳定的，现试产9 批，得收率(%)为， ， ， ， ， ， ， 。问此药的生产是否稳定(=例 9：甲乙两厂生产同一药物，现分别从其产品中抽取若干样品测定其含量，结果如下：甲厂乙厂在显著性水平下判断两厂药物含量的总体方差是否相等例 10：合成车间某中间体生产的工艺条件改革后，收率似有提高，但工人师傅反

17、映新工艺的条件不易控制，收率波动较大，为此，对新老工艺分别抽查若干批，试解释工人师傅的问题(显著性水平老工艺收率： 84新工艺收率：例 11：在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10 炉，得率分别为标准方法新方法例 12：甲乙两厂生产同一药物，现分别从其产品中抽取若干样品测定其含量，结果如下：甲厂乙厂已知甲乙药物含量的总体方差相等，在显著性水平下判断两厂药物含量的总体均数是否相等例 13：在中成药的研究中，需镜检六味地黄丸中茯苓

18、的菌丝数。检测75 次，得其均数为，方差为；镜检熟地的棕色核状物数，检测 65 次，得其均数为 65，方差为。给定显著性水平为问镜检六味地黄丸中菌丝数与熟地的棕色核状物数的差异是否有显著意义例 14：某中西医结合医院科研室，成组比较单味大黄与西药(氨甲苯酸)治疗急性上消化道出血的效果，以止血天数为指标，结果如下：西药治疗组 n1=20 X1=天 S1=天单味大黄治疗组 n2=30 X2=天 S2=天取=，试问均数是否有差别例 15：根据以往经验，一般胃溃疡病患者20%发生胃出血症状。某医院观察65 岁以上胃溃疡病人 304 例，有 96 例发生胃出血症状。问老年患者是否比较容易出血(=例 16：抽检库房保存的两批首乌注射液。第一批随机抽240 支，发现有15 支变质；第二批随机抽 180 支，发现有 14 支变质。试问两批的变质率是否有显著差异(=