概率论和数理统计期末考试试题.pdf

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1、概率论和数理统计期末试卷一、选一、选 择择 题题 ( (本大题分本大题分 5 5 小题小题, , 每小题每小题 3 3 分分, , 共共 1515 分分) )(1)设A、B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则必有(A)P(B A) 0(B)P(AB) P(A)(C)P(AB) 0(D)P(AB) P(A)P(B)(2)某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为p(A) 0.03, P(B) 0.01, p(C) 0.02,如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A)（B）(C)（D）(3)X N(,4 ), Y N(,5 )

2、,p1 PX 4, p2 PY 5，则(A)对任意实数, p1 p2（B）对任意实数, p1 p2(C)只对的个别值，才有p1 p2（D）对任意实数，都有p1 p2(4)设随机变量X的密度函数为f (x)，且f (x) f (x), F(x)是X的分布函数，则对任意实数a成立的是（A）F(a) 122三、解答题三、解答题 （共（共 6565 分）分）1 1、(10 分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的 25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少2

3、 2、(10 分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f (x, y) k(6 x y), 0 x 2 ,0 y 40，其它求： （1）常数k（2）P(X Y 4)3 3、(10 分)设 X 与 Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为ey,y 0;1,0 x 1;fX(x) fY(y) 其它.y 0.0,0,求:随机变量Z X Y的概率密度函数.4 4、 （8 分）设随机变量X具有概率密度函数a0f (x)dx（B）F(a) 1af (x)dx20fX(x) （C）F(a) F(a)（D）F(a) 2F(a)1(5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要

4、条件为（A）EX EY(B)EXEX EYEY22(C)EX EY(D)EXEX EYEY22222222x 8,0,0 x 4;其他，求：随机变量Y eX1的概率密度函数.5 5、 （8 分）设随机变量X的概率密度为：f (x) 二、填二、填 空空 题题 ( (本大题本大题 5 5 小题小题, , 每小题每小题 4 4 分分, , 共共 2020 分分) )(1)P(A) 0.4,P(B) 0.3,P(A B) 0.4,则P(AB) _.1 xe2 x ，求:X的分布函数6 6、 (9 分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为， 机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获

5、利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元，求一周内期望利润是多少7 7、(10 分)设X N(0,1),Y N(0,1)，且相互独立U X Y 1,V X Y 1，求:（1）分别求U,V的概率密度函数； 4x3,0 x 1(2) 设随机变量X有密度f (x) ,则使P(X a) P(X a)其它0的常数a=(3) 设随机变量X N(2,)，若P0 X 4 0.3,则PX 0(4) 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从N(1, )，如果随机变量X-aY+2满足条件D(X aY 2) E(X aY 2) ，则a=_.22（

6、2）U,V的相关系数UV；15(5)已知XB(n, p),且E(X) 8,D(X) 4.8, 则n=_. 装 订 线概率论与数理统计试卷标准答案和评分标准标准答案和评分标准一、选 择 题（53 分）题号答案1C2B3A4B5B二、填 空 题（54 分）1、2、1423、4、35、20三、 计 算 题（65 分）1、解：A 为事件“生产的产品是次品” ，B1为事件“产品是甲厂生产的” ，B2为事件“产品是乙厂生产的” ，B3为事件“产品是丙厂生产的”易见B1,B2,B3是的一个划分-2分(1) 由全概率公式，得P(A) P(AB ) P(B )P(AB ) 25%5%35%4% 40%2% 0.

7、0345.-5 分iiii1i133(2) 由 Bayes 公式有：P(B1A) P(AB1)P(B1)P(AB )P(B )iii1325%5%25-10分0.0345692、解：（1）由于2 0f (x,y)dxdy 1，所以dx k(6 x y)dy 1，可得k 004x 2241-5分24（2）dx0 11(6 x y)dy 2424018( x26x16)dx -10分293、解：由卷积公式得fZ(z) f (x,z x)dx，又因为 X 与 Y 相互独立，所以fZ(z) fX(x) fY(z x)dx-3分当z 0时，fZ(z) fX(x) fY(z x)dx 0;-5分当0 z

8、1时，fZ(z) 当z 1时，fZ(z) fX(x)fY(zx)dxe(zx)dx1ez;-7分0zfX(x) fY(z x)dx e(zx)dx ez(e 1);01所以fZ(z) 0z 0fX(x) fY(z x)dx 1ez0 z 1;-10分ez(e1)z 14、解：Y eX1的分布函数FY(y).FY(y) P(Y y) P(eX1 y) P(X ln(y 1) ln(y1)fX(x)dx-2分0,12ln (y 1),161,y 0;0 y e41;-6分e41 y.0 y e41;-8分其他.ln( y 1),d于是Y的概率密度函数fY(y) FY(y) 8(y 1)dy0,5、

9、 解：F(x) f (t)dtx1xt1te dt e-3分22x101当x 0, F(x) etdt etdt1et-8分022当x 0, F(x) 5k5k6、解由条件知X B(5,0.2)，即PX k k0.2 0.8,k 0,1, ,5- 3分 10,5,Y g(X) 0,2,5X 0;X 1;X 2;X 3-6分EY Eg(X) g(k)PX kk010 PX 0 5 PX 1 0 PX 2- 9分 2PX 3 PX 4 PX 5100.328 50.410 20.057 5.216(万元)7、解： （1）因为X N(0,1),Y N(0,1)，且相互独立，所以U X Y 1,V X Y 1都服从正态分布，EU E(X Y 1) EX EY E11DU D(X Y 1) DX DY 2-3分所以U N(1,2)，所以fU(u) 14eu24同理EV E(X Y 1) EX EY E11DU D(X Y 1) DX DY 2所以V N(1,2)，所以fV(u) 14eu24-5分2（2）EUV E(X Y 1)(X Y 1) E(XY 2X 1) EX EY 2EX 1 DX (EX) (DY (EY) ) 2EX 1222221所以UV-8 分EUV EUEVDUDV 0-10分