2022年算法案例教案 .pdf
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1、优秀教案欢迎下载课题: 13 算法案例第 1 课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、教学目标:根据课标要求:在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力。制定以下三维目标:1、知识与技能理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2、过程与方法:引导学生得出自己设计的算法程序. 3、情感态度与价值观:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 二、重点与难点:重点: 引导学生
2、得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 解决策略: 通过分析解决具体问题的算法步骤来引导学生写出算法,根据算法画出程序框图,再根据框图用规范的语言写出程序。难点: 体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 解决策略: 让学生能严谨地按照自己是程序框图写出程序。三、学法与教学用具:1、学法:直观感知、操作确认。2、教学用具:多媒体。四、教学过程(一)引入课题大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的. 在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两
3、个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页优秀教案欢迎下载时(如与 6 105) ,使用上述方法求最大公约数就比较困难. 下面我们介绍两种不同的算法辗转相除法与更相减损术, 由此可以体会东、西方文化的差异. (二)研探新知(1)怎样用短除法求最大公约数?(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?(4)怎样用更相减损术求最大公约数?讨论结果:(1)短除法求两个正整数的最大公约数的
4、步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. (2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数. (3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m ,n. 第二步,求余数r :计算 m除以 n,将所得余数存放到变量r 中. 第三步,更新被除数和余数:m=n ,n=r. 第四步,判断余数r 是否为 0. 若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行. 如此循环,直到得到结果为止. 这
5、种算法是由欧几里得在公元前300 年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法. (4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 九章算术是中国古代的数学专著, 其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也. 以等数约之 . ”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2 约简;若不是,执行第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约
6、数. (三)范例分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页优秀教案欢迎下载例 1 用辗转相除法求8 251 与 6 105 的最大公约数 , 写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序 .解: 用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251= 6 1051+2 146.由此可得, 6 105 与 2 146 的公约数也是8 251 与 6 105 的公约数,反过来,8 251 与 6 105的公约数也是6 105 与 2 146 的公约数,所以它们的最大公约数相等. 对 6 105 与 2 146 重复上述步骤:
7、 6 105=2 146 2+1 813.同理, 2 146 与 1 813 的最大公约数也是6 105 与 2 146 的最大公约数 . 继续重复上述步骤:2 146=1 813 1+333,1 813=3335+148,333=1482+37,148=374.最后的除数37 是 148 和 37 的最大公约数,也就是8 251 与 6 105 的最大公约数. 这就是辗转相除法. 由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析: 从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构
8、来构造算法. 算法步骤如下:第一步,给定两个正整数m ,n. 第二步,计算m除以 n 所得的余数为r. 第三步, m=n ,n=r. 第四步,若r=0,则 m ,n 的最大公约数等于m ;否则,返回第二步. 程序框图如右图:程序:INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 例 2 用更相减损术求98 与 63 的最大公约数.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页优秀教案欢迎下载解: 由于 63 不是偶数,把98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,
9、如下图所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以, 98 和 63 的最大公约数等于7. 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术,现在我们来学习一种新的算法:秦九韶算法. (1)怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢?一个自然的做法就是把5 代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10 次乘法运算, 5 次加法运算 . 另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2x, ( x2x)x,( (x2x)x)x 的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,
10、这时,我们一共做了4 次乘法运算, 5 次加法运算 . 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说, 做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约 12021261)在他的著作数书九章中提出了下面的算法:把一个 n 次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成如下形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+a1) x+ a0=( (anxn-2+an-1xn-3+a2
11、)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页优秀教案欢迎下载这样,求n次多项式f (x)的值就转化为求n 个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法. 直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. ( 3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算
12、法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数. 如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 例 3 已知一个5 次多项式为f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5 时的值 .解: 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5 时的值:v0=5;v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9; v4=689.95+1.7=3 451
13、.2; v5=3 415.2 5 -0.8=17 255.2; 所以,当x=5 时,多项式的值等于17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值, 若令 v0=an,我们可以得到下面的公式:).,2, 1(,10nkaxvvavknkkn这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下:第一步,输入多项式次数n、最高次的系数an和 x 的值 . 第二步,将v 的值初始化为an,将 i 的值初始化为n-1. 第三步,输入i 次项的系数ai. 第四步, v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断i 是否大于或等于0.
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