2022年全国高考理科数学试题分类汇编立体几何含答案 .pdf

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1、20XX 年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word 版含答案20XX 年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题错误！未指定书签。 （20XX 年高考新课标1（理）如图 ,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 ,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器C 若 mn,m,n,则 D 若m,m/n,n/,则【答案】 D 错误！未指定书签。 （20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为A1:2 B1:4 C1:8 D1:16 【答案】 C 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WOR

2、D 版含答案（已校对） ）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1 中 AA12AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于A2B 3 3 C 3 D13 【答案】 A 错误！未指定书签。 （20XX 年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示,则该几精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页何体的体积为第 1 页 共 1 页） （A168【答案】 A B88 C1616 D816（）错误！未指定书签。 （20XX 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记

3、为V1,V2,V3,V4, 上面两个简单几何体均为旋转体 ,下面两个简单几何体均为多面体,则有AV1V2V4V3 B V1V3V2V4 （） CV2V1V3【答案】 C 错误！未指定书签。 （20XX 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形 ,则该正方体的正视图的面积不可能等于 A1 【答案】 C 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版） ） （） D B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页2 2 某四棱台的三视图如图

4、所示,则该四棱台的体积是第 2 页 共 2 页正视图侧视图俯视图第 5 题图1416 A4 B3 C3 D6 【答案】 B 错误！未指定书签。（ 20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD版含答案）已知 m,n 为异面直线 ,m平面,n平面.直线 l 满足 lm,ln,l,l,则A/,且 l/ B,且 lC与相交 ,且交线垂直于l D 与相交 ,且交线平行于l 【答案】 D 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知9 三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 4, 底面是边长为的正三角形.若 P 为底面

5、A1B1C1 的中心 ,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为5A12 B 3 C4 D6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页【答案】 B 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题5图所示 ,则该几何体的体积为A560 3 B580 3 C200 D240 第 3 页 共 3 页） （ （ （ （【答案】 C 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD 版） ）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的 6个顶

6、点都在球O的球面上 ,若 AB3， AC4,ABAC,AA112,则球 O 的半径为A 13 2 B C2 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页【答案】 C 错误！未指定书签。 （20XX 年高考江西卷（理） ）如图 ,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n,那么 mnA8 B9 C10 D11 【答案】 A 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD版含答 案 ） 一 个 四

7、 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系Oxyz中 的 坐 标 分 别 是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为第 4 页 共 4 页） （ （）A B C D【答案】 A 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）在下列命题中 ,不是公理的是A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面） （ （错误！未指定书签。 （20XX 年高考上海卷（理） ）在 xOy

8、平面上 ,将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、 两条直线y1 和 y1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y轴旋转一周而成的几何体为,过 (0,y)(|y|1)作的水平截面 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页所得截面面积为48,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_ 【答案】 216. 错误！未指定书签。 （20XX 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为2 _. 3 【答案】3 3 2,错误！未指定书签。 （20XX 年

9、普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆 ,其公共弦长等于球O 的半径 ,OK且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球 O 的表面积等于 _. 【答案】 16错误！ 未指定书签。 （20XX 年高考北京卷（理） 如图 ,在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为 BC 的中点 ,点 P在线段 D1E 上,点 P到直线 CC1 的距离的最小值为_. 第 6 页共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页【答案】5

10、错误！未指定书签。 （ 20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题）如图 ,在三棱柱A1B1C1ABC 中,D，E，F 分别是 AB，AC ，AA1 的中 点 , 设 三 棱 锥FADE的 体 积 为V1, 三 棱 柱A1B1C1ABC的 体 积 为V2, 则V1:V2_. B D 【答案】 1:24 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版） ）B 若某几何体的三视图(单位 :cm)如图所示 ,则此几何体的体积等于_cm2. 【答案】 24 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考

11、试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）如图 ,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点 ,Q 为线段 CC1 上的动点 ,过 第 7 页 共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_ _(写出所有正确命题的编号). 当 0CQ1 2 时,S 为四边形 ;当 CQ1 2 时,S 为等腰梯形 ;当 CQ3 4 时,S 与C1D1 的交点 R 满足 C1R113;当 34CQ1时 ,S 为六边形 ;当 CQ1 时,S的面积

12、2 【答案】错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD 版） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_. 【答案】 1616 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版） ）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图 .俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2 的正方形 ,则该球的表面积是_ 【答案】 12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页错误！未指定书签。 （20XX 年上海市春季高考数学

13、试卷(含答案 )）在如图所示的正方体第8 页 共 8 页ABCDA1B1C1D1 中 ,异面直线A1B 与 B1C 所成角的大小为_ D1A1 D A 【答案】三、解答题错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD 版） ）如 1 3 图,AB 是圆的直径 ,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点 . (I)求证 :平面 PAC平面 PBC；(II) 若 AB2，AC1，PA1，求证：二面角CPBA 的余弦值. 【答案】第 9 页 共 9 页第 10 页 共 10 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案

14、）如图 , 四棱锥 P中,PA底面 ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD点,AFPB. (1)求 PA 的长 ; (2)求二面角 BAFD 的正弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页. 3,F 为 PC 的中【答案】第 11 页 共 11 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） 第 12 页 共 12 页如图 ,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5.AB 和 CD 是底面圆O 上的两条平行的弦 ,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为

15、60 . ()证明 :平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; ()求 cosCOD. 【答案】解 : () 设面 PAB面 PCD直线 m,AB/CD且 CD面 PCDAB/ 面 PCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页AB/ 直线 m AB面 ABCD直线 m/面 ABCD. 所以 ,面 PAB 与面 PCD 的公共交线平行底面ABCD. ( ) 设底面半径为r, 线段CD的中点为F ， 则OPF60. 由题知tan22.5,tan60OFPOtan60tan22.5COD2OFrcosCOD2,t

16、an45POr2tan22.5. . cosCOD2cos21tan22.51tan222.5cosCOD12-1,3(2-1,)23(322)2 cosCOD17-122.所以 cosCOD17-122. 法二: 第 13 页 共 13 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版） ）如图 ,在四面体ABCD 中,AD平面 BCD,BCCD,AD2,BD22.M 是 AD 的中点 ,P 是BM 的中点 ,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ3QC. (1)证明 :PQ/平面 BCD;(2) 若二面角CBMD 的大小为600,求BDC 的大小 .

17、 M B D 【答案】解 :证明 ()方法一 :如图 6,取 MD 的中点F,且 M 是 AD 中点 ,所以（第20 题图）AF3FD.因为 P 是 BM 中点 ,所以 PF/BD; 又因为 ()AQ3QC 且 AF3FD,所以 QF/BD,所以面 PQF/面 BDC, 且 PQ面 BDC, 所以第 14 页 共 14 页PQ/面 BDC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页; 方法二 :如图 7 所示 ,取 BD 中点 O,且 P是 BM 中点 ,所以 PO/ 分点 H,使 DH3CH,且 AQ3QC,所以 QH

18、/12MD; 取 CD 的三等 1 2MD, 所以 1 4AD/ PO/QHPQ/,O 且 HOHBCD,所以 PQ/面 BDC; ()如图 8 所示 ,由已知得到面ADB面 BDC, 过 C 作 CGBD 于 G,所以 CGBMD, 过 G 作GHBM 于 H,连接 CH,所以CHG 就是 CBMD 的二面角 ; 由已知得到BM3,设BDC,所以CD BD , cos,sinCGCDCBBDCD,CGsin,BC, BG BC 在 RTBCG 中,BCGsinBG2,所以在 RTBHG 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，

19、共 40 页13HG3 所以在 RTCHG 中tanCHGtan60CG HG3 第 15 页 共 15 页tan(0,90)60BDC60; 错误！未指定书签。 （20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）如图 ,在正三棱锥精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页ABCA1B1C1 中,AA16,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为积. A1 1 C1 ,求该三棱柱的体6 A 【答案】 解因为 CC1 AA1. 所以BC1C 为异面直线BC1 与 AA1. 所成的角 ,即BC1C= 在 RtBC1C 中

20、,BCCC1tanBC1C6. 63从而 SABC4BC2因此该三棱柱的体积为VSABCAA16. 错误！未指定书签。 （20XX年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页WORD 版含附加题）本小题满分14 分. 如图 ,在三棱锥SABC 中,平面 SAB平面 SBC,ABBC,ASAB, 过 A 作 AFSB,垂足为F,点 E，G 分别是棱SA，SC 的中点 . 求证 :(1)平面 EFG/平面 ABC; (2)BCSA. S F G C A 【答案】证明 :

21、(1)ASAB,AFSB F 分别是 SB 的中点E.F 分别是 SA.SB 的中点EFAB 又 EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理 :FG平面 ABC 又 EFFG=F, EF.FG平面 ABC 平面 EFG/平面 ABC (2)平面 SAB平面 SBC 第 16 页 共 16 页平面 SAB平面 SBC=BC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又 BC平面 SBC AFBC 又 ABBC, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又 SA平面 SABBCSA 错误！未指定书签。 （20XX 年高考上海卷（理） ）如图 ,在长方体ABC

22、D-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面DA1C, 并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 . A C1 1 【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体 ,故 AB/C1D1,ABC1D1, 故 ABC1D1 为平行四边形 ,故 BC1/AD1, 显然 B 不在平面D1AC 上,于是直线BC1 平行于平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点B 到平面 D1AC 的距离设为h 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页1(12)1 323 3

23、而AD1C 中,ACD1CAD1,故 SAD1C2 13122 所以 ,Vhh,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 33233 错误！未指定书签。 （20XX 年高考湖北卷（理） ）如图 ,AB 是圆 O 的直径 ,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点 ,直线 PC平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点 . (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l,试判断直线l 与平面 PAC 的位置关系 ,并加考虑三棱锥ABCD1 的体积 ,以 ABC 为底面 ,可得 V以证明 ; 1 1(II) 设(I)中的直线l 与圆 O 的另一个交点为D, 且点 Q 满足 DQCP.

24、记直线 PQ2 与平面 ABC 所成的角为,异面直线PQ 与 EF 所成的角为,二面角ElC 的大小为,求证 :sinsinsin. 第 17 页 共 17 页第 19 题图【答案】解 :(I)EFAC,AC平面 ABC, EF平面 ABC 又 EF平面 BEF EFl l平面 PAC (II) 连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 第 18 页 共 18 页第 19 页 共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

25、- - - - -第 16 页，共 40 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版） ）如图 1,在等腰直角三角形ABC 中,A90,BC6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,CDBEO 为 BC 的中点 .将ADE 沿 DE 折起 ,得到如图2 所示的四棱锥ABCDE, 其中 AO() 证明 :AO平面 BCDE; () 求二面角ACDB 的平面角的余弦值 . O C 图 1 B E 图 2 【答案】 () 在图 1 中, 易得 OC3,ACAD第 20 页 共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

26、- - - - - -第 17 页，共 40 页C H E 连结 OD,OE, 在OCD 中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知AD所以 AOODAD,所以 AOOD, 理可证 AOOE, 又 ODOEO,所以 AO平面 BCDE. () 传统法 :过 O 作 OHCD交 CD 的延长线于H,连结 AH, 因为 AO平面 BCDE, 所以 AHCD, 所以AHO为二面角 ACDB 的平面角 . 结合图 1 可知 ,H 为 AC 中点 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页故OH2 2 2 2 ,从而 AH2 所

27、以 cosAHOOH,所以二面角ACDAH5 向量法:以 O 点为原点 ,建立空间直角坐标系Oxyz 则 A0,C0,3,0 ,D1,2,0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页所以 CA0,DA1, 设 nx,y,z为平面 ACD 的法向量 ,则yxnCA03y0 ,即,解得,令 x1,得n1,znDA0 x2y0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页由() 知,OA0,为平面 CDB 的一个法向量 , nOA所以 cosn,OAnOA

28、5 ,即二面角 ACDB 的平面角的余弦5 . 第 21 页 共 21 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）如图 , 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱 A1A 底面 ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 . () 证明 B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1 的正弦值 . () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21

29、页，共 40 页的长. , 求线段 AM 【答案】第 22 页 共 22 页错误！ 未指定书签。 （ 20XX 年高考新课标1 （理） ） 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60 . ()证明 AB A1C; ()若平面ABC 平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值. 第 23 页 共 23 页【答案】 ()取 AB 中点 E,连结 CE,A1B,A1E , AB=AA1,BAA1=60, BAA1 是正三角形 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

30、第 22 页，共 40 页A1E AB, CA=CB, CEAB, CEA1E=E, AB 面 CEA 1, 0 AB A1C; ()由()知 ECAB,EA1 AB, 又面 ABC 面 ABB1A1, 面 ABC 面 ABB1A1=AB, EC面 ABB1A1, ECEA1, EA,EC,EA1两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA|为单位长度 ,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,0),A 1(0, ,0),C(0,0,),B(-1,0,0), 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

31、第 23 页，共 40 页BC),BB1=AA1),A1C 设 n=(x,y,z) 是平面 CBB1C1 的法向量 , nBC0 x0 则, 即,可取 n ,1,-1), nBB10 x0 nA1C cosn,A1C=|n |A1C| 第 24 页 共 24 页直线 A1C 与平面 BB1C1C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页错误！未指定书签。 （20XX 年高考陕西卷（理） ）如图 , 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O平面 ABCD , ABAA1.

32、 () 证明 : A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角的大小 . 1 A 【答案】解 :() A1O面 ABCD, 且 BD面 ABCD,A1OBD; 又因为 ,在正方中形 AB CD, ACBD ；且 A1OACA,所以 BD面 A1AC 且 A1C面 A1AC ，故 A1CBD . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在 RTA1OA 中， A1O1. 设 B1D1 的中点为E1，则四边形A1OCE1 为正方形，所以A1CE1O. 又 BD面 BB1D1D,E1O面 BB1D1D ， .且 BDE1OO，所以由以上三点得A1C面BB1D1

33、D.( 证毕 ) () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点 ,以 OC 为 X 轴正方向 ,以 OB 为 Y 轴正方向 .则B（0,1,0） ,C(1，0， 0),A1(0，0，1),B1(1,1,1)A1C(1,0,1). （1,0,0）. 由()知 , 平面 BB1D1D 的一个法向量n1A1C(1,0,1),OB1(1,1,1),OC设平面OCB1 的法向量为1 n2,则n2OB10,n2OC0，解得其中一个法向量为n2(0,1,-1).cos|cosn1,n1|nn|12122 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

34、25 页，共 40 页12 . A 第 25 页 共 25 页所以 ,平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角为3 错误！未指定书签。 （20XX 年高考江西卷（理） ）如图 ,四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,E 为 BD 的中点 ,G 为 PD 的中点，DABDCB,EAEBAB1，PA(1) 求证 :AD平面 CFG; 32,连接 CE 并延长交AD 于 F. (2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值. 【答案】解:(1)在ABD 中,因为 E是 BD 的中点 ,所以 EAEBEDAB1, 故BAD23 因为DABDCB, 所以EABECB, 从而有FEDFE

35、A, 故 EFAD,AFFD,又因为 PGGD,所以 FGPA. 又 PA平面 ABCD, 所以 GFAD, 故 AD平面 CFG. (3) 以点 ,ABEAEB, A 为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页3A(0,0,0),B(1,0,0),C(,0),D0), 22 第 26 页 共 26 页(4) 13330),CP(，),CD(,0) P(0,0,), 故 BC(22222222 3 1y1022 设平面 BCP 的法向量n1(1,y1,z1), 则 , 33 y1z10

36、222y213). 解得, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页即 n1(1,33z2 133y202y2 设平面 DCP 的法向量 n2(1,y2,z2), 则, 解得2, 3z223 y2z20222 即 n22).从而平面BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页为n1n2 cosn1n2 4 . 4 错误！未指定书签。 （20XX 年高考四川卷（理） ）如图 ,在三棱柱ABCA1B1C 中,侧棱

37、AA1底面 ABC,ABAC2AA1,BAC120,D,D1 分别是线段BC,B1C1 的中点 ,P 是线段 AD 的中点 . ()在平面 ABC 内,试作出过点P 与平面 A1BC 平行的直线l,说明理由 ,并证明直线l平面 ADD1A1; ()设()中的直线l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角AA1MN 的余弦值 . 第 27 页 共 27 页C 1 【答案】解 :如图,在平面 ABC 由已知 ,ABAC,D 是 BC 的中点 ,所以 ,BCAD, 则直线 lAD. 因为 AA1平面 ABC, 所以 AA1直线 l.又因为 AD,AA1在平面ADD1A1由知,MN平面 AE

38、A1,所以平面 AEA1平面 A1MN. 所以 AE平面 A1MN, 则 A1MAE. 所以 A1M平面 AEF,则 A1MAF. 故AFE 为二面角AA1MN 的平面角 (设为). 设 AA11,则由 AB2A1C,ABACA120,有BAD60,AB2,AD1. 又 P 为 AD 的中点 ,所以 M 为 AB 的中点 ,且 AP1 2, AM1, . 在 RtAA1P 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页, A1P2 在 RtA1AM中, A1M第 28 页 共 28 页从而,AEAA1AP A1P AE A

39、F,AFAA1AMA1M所以 sin. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 40 页所以 cos. 5 故二面角AA1MN 解法二 : 5 设 AA11.如图 ,过 A1 作 A1E 平行于 B1C1,以 A1 为坐标原点 ,分别以 A1E,A1D1,AA1的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 ,建立空间直角坐标系Oxyz(点 O 与点 A1 重合). 则 A10,0,0,A0,0,1. 因为 P 为 AD 的中点 ,所以 M,N 分别为 AB,AC 的中点 , 11,1,N,1, 故 M22221精选学习资料 - -

40、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 40 页,1,A1A0,0,1,NM所以 A1M220,0. 设平面 AA1M 的一个法向量为n1x1,y1,z1,则n1A1M,n1A1M0,故有即n1A1A,n1A1A0, 第 29 页 共 29 页1,10,x1,y1,z122x1,y1,z10,0,10, 1x1y1z10,从而 2 2z10.取 x11, 则 y1, 所以 n11,0. 设平面 A1MN 的一个法向量为n2x2,y2,z2,则1x,y,z,10,22222n2A1M,n2A1M0,故有精选学习资料 - - - - - - - -

41、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 40 页即n2NM,n2NM0,x,y,z0,2221x2y2z20,从而2 2 20.取 y22,则 z21,所以 n20,2,1. 设二面角 AA1MN 的平面角为,又为锐角 , 则cosn1n2 n1n255. 故二面角A A1MN 错误！未指定书签。 （20XX年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题）本小题满分10 分. 如图 ,在直三棱柱A1B1C1ABC 中,ABAC,ABAC2,AA14,点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线A1B 与 C1D 所成角的余弦值精选学习资料 -

42、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 40 页(2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值. 第 30 页 共 30 页【答案】 本题主要考察异面直线.二面角 .空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以 AB,AC,AA1为为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4) A1B(2,0,4),A1B(1,1,4) cosA1B,C1D1820310 异面直线A1B 与 C1D 所成角的余

43、弦值为310 (2)AC(0,2,0) 是平面 ABA1 的的一个法向 量设 平 面ADC1的 法 向 量 为m(x,y,z), AD(1,1,0),AC1(0,2,4) 由mAD,mAC1 xy0 2y4z0 取 z1,得 y2,x2,平面ADC1的法向量为m(2,2,1) 设平面ADC1 与 ABA1 所成二面角为第 31 页 共 31 页coscosAC,m4232 3, 得 sin5 3 平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为5 3 错误！ 未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）如图 ,四棱锥 PABCD 中,A

44、BCBAD90，BC2AD,PAB 与PAD 都是等边三角形. (I)证明 :PBCD; (II) 求二面角 APDC 的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 40 页. 【答案】第 32 页 共 32 页错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）如图所示 ,在三棱锥 PABQ 中,PB平面 ABQ,BABPBQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点, AQ2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. ()求证 :ABGH; (

45、)求二面角DGHE 的余弦值 . 第 33 页 共 33 页【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 40 页解:()证明 :因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点 , 所以 EFAB,DC AB, 所以 EFDC, 又 EF平面 PCD,DC平面 PCD, 所以 EF平面 PCD, 又 EF平面 EFQ,平面 EFQ平面 PCDGH, 所以 EFGH, 又 EFAB, 所以 AB GH. ()解法一 :在 ABQ 中, AQ2BD,ADDQ, ABQ=90 所以 ,即 ABBQ,因为 PB平面 A

46、BQ, 所以 ABPB, 又 BPBQB,所以 AB平面 PBQ,由()知 AB GH, 所以 GH平面 PBQ,又 FH平面 PBQ,所以 GHFH,同理可得 GHHC, 所以FHC 为二面角DGHE 的平面角 ,设 BABQBP2,连接PC, 在 RtFBC 中 ,由勾股定理得,FC在 RtPBC 中,由勾股定理得,PC, 第 34 页 共 34 页又 H 为 PBQ 的重心 , 所以 HC13PC3 FH同理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 40 页3, 5524cosFHC5529 在 FHC 中,由余弦定理得,

47、 4 5. 即二面角DGHE 的余弦值为解法二 :在 ABQ 中,AQ2BD,ADDQ, 所以ABQ90,又 PB平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直 , 以 B 为坐标原点 ,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设BABQBP2, 则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0)P(0,0,2),所以EQ(1,2,FQ(0,2,1),DP(1,1,2),CP(0,1,2), 设平面 EFQ 的一个法向量为m(x1,y1,z1), 由 mEQ0,mFQ0, x12y1z102y1z10

48、 得取 y11m,得(0,1,2). 设平面 PDC 的一个法向量为n(x2,y2,z2) 由 nDP0,nCP0, x2y22z20y22z20 得第 35 页 共 35 页取 z21,得 n(0,2,1).所以mn4cosm,nmn5 因为二面角DGHE 为钝角 ,所以二面角DGHE 的余弦值为错误！未指定书签。 （20XX 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱45. ABCDA1B1C1D1 中， AD/BC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13. (I)证明 :ACB1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 【 答 案 】 解 : ( ) ABCD

49、A1B1C1D1是 直 棱 柱BB1面ABCD, 且BD面ABCDBB1AC 又ACBD,且 BDBB1B,AC面 BDB1 。B1D面 BDB1 ，ACB1D. ( 证毕 ) () B1C1/BC/AD,直线 B1C1 与平面 ACD1 的夹角即直线AD 与平面 ACD1 的夹角。建立直角坐标系，用向量解题。设原点在A 点， AB 为 Y 轴正半轴， AD 为 X 轴正半轴。设 A0,0，0,D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0) ，则(1,y,0),(3,y,0),ACBD03y200,y0y3.AC(1,3,0),AD1(3,0,3). 0 设平面 AC

50、D1 的法向量为 ,则.平面 ACD1 的一个法向量（-313）,（3，0，3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 40 页AD10 平面 ACD1 的一个法向量（-13）,（ 3，0，0）sin|cos,|第 36 页 共 36 页 373217 所以 BD1 与平面 ACD1 夹角的正弦值为21. 7 错误！未指定书签。 （20XX 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版） ）如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱AA1底面ABCD,AB/DC,AA11,AB3k,AD4k,BC5k,DC6