2022年八年级数学暑期辅导练习精编第四讲三角形与四边形 2.pdf

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1、中考真题选编第四讲三角形与四边形一、学习指引1. 知识要点：三角形的性质，全等三角形的定义、判定和性质，结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形），梯形等性质的应用，中位线的应用. 2. 方法指导：(1) 处理有关三角形和四边形的问题，常转化成基本图形来考虑. (2) 解题过程中常需添加辅助线. （3）折叠问题中应重视轴对称知识的应用. 二、典型例题例 1如图，已知边长为5 的等边三角形ABC纸片，点E在 AC边上，点F在 AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在 BC边上的点D 的位置，且EDBC，则 CE的长是（）A10 315 B.105 3C5 35 D.2010 3

2、例 2如图， O为ABCD的对角线交点，E 为 AB的中点， DE交 AC于点 F，若 SABCD12，则 SDOE的值为 ( ) A1 B32 C2 D94例 3. 如图，已知每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于 . 例 4 （07 湖州） 如图， 点 A是 55 网格图形中的一个格点( 小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以 A 为其中的一个顶点，面积等于25的格点等腰直角三角形( 三角形的三个顶点都是格点) 的个数是（）A.10 个 B.12个 C.14个 D.16个例 5 （09 烟台市）如图，将两张长为8，宽为 2 的矩形纸条交

3、叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值A ( 例 4 图)B A C ( 例 3 图)A B C D E F （例 1 图）（例 2 图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页是例 6 （09 深圳市）如图a 是长方形纸带， DEF=20 ，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图 c 中的 CFE的度数是例 7 （09 兰州市）如图，在四边形ABCD 中， E为 AB上一点， ADE和 BCE都是等边三角形， AB 、BC 、CD 、 DA的中点分别为P

4、、Q、M 、 N，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论例 8 （09 丽水市）如图，已知 ABC 中， ABC=90 ,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1， l2， l3上， 且 l1， l2之间的距离为2 , l2， l3之间的距离为3 ,则 AC 的长是（）A172 B52C24 D7 例 9 （09 黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25. （1）连结 EF，证明 ABE 、 FBE 、 EDF 、 CDF的面积相等 .

5、(例 8 图) l1l2l3A C B （例 5 图）A DA C BA EA CA BA FA DA C DBEA FCGBA BA EA FCGBA 图a图 b 图 c 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页（2）求 h 的值 . 例 10 （09 台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，PHPJ，PIPG，则点P就是四边形ABCD的准内点（1）如图 2，AFD与DEC的角平分线,FP EP相交于点P求证：点P是四边形ABCD的准内点（2）分别画出图3 平行四边

6、形和图4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（）任意凸四边形一定只有一个准内点（）若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PDPCPBPA或PDPBPCPA ( ) 例 11如图，四边形ABCD 中， A BCD 90o，BC CD ，E是 AD延长线上一点，若DE AB 3cm ，CE 42cm ，求 AD的长？（例 10 图）图 3 图 2 图 4 F E D C B A P G H J I 图 1 B J I H G D C A P （例 11 图）精选学习资料 - - - - - - - -

7、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页例 12. （09 河北） 在图 1 至图 3 中，点 B是线段 AC的中点， 点 D是线段 CE的中点 四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形 AE的中点是M （ 1）如图 1，点 E在 AC的延长线上，点N与点 G重合时，点M与点 C重合，求证： FM = MH，FM MH ；（ 2） 将图 1 中的 CE绕点 C顺时针旋转一个锐角， 得到图 14-2，求证： FMH是等腰直角三角形；（ 3）将图 2 中的 CE缩短到图 14-3 的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图 1 A H C(M) D E

8、B F G(N)G 图 2 A H C D E B F N M A H C D E 图 3 B F G M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页第四讲三角形与四边形同步练习活动基地班级姓名【基础巩固】1. （ 2006 年烟台市）如图4， A=65， B=75，将纸片的一角折叠，使点C?落在ABC内，若 1=20，则 2 的度数为 _2 （ 2009 湖州）如图，已知在RtABC中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于3 （2009 湖州）如图，已知矩形A

9、BCD，将BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC=20，则BDC的度数为 _4(09 淄博市 ) 如图，梯形ABCD 中， ABC和 DCB 的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若 EF=3，则梯形ABCD 的周长为A.9 B.10.5 C.12 D.15 （第 3 题）CA D C B 20（第 2 题）C A B S1 S2 A B C D E F P （第 4 题）（第 1 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页5(09 淄博市 ) 矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2将矩形纸片沿EF折

10、叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色( 如图 ) ，则着色部分的面积为A. 8 B.112C. 4 D.526(09 吉林 ) 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）A233cm B433cm C5cm D2cm 7. 如图，在由24 个边长都为1 的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长8 （ 06 年河南省）如图3，在 ABC中，AC=BC=2 ， ACB=90 ， D是 BC边的中点， E?是 AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 _9如图，已知正

11、方形ABCD 的边长为2， BPC是等边三角形， 则 CDP的面积是；BPD的面积是10如图， AOB 60，过 OA上到点 O的距离分别为1，3， 5， 7 ， 9 ，11，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色P ( 第 7 题) C A B D P ( 第 9 题) A B C D E G F （第 5 题）F ( 第 8 题) 60P Q 2cm （第 6 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页梯形，它们的面积分别为1S，2S，3S，4S，观察图中的规律，求出第100 个黑色梯形的面积100S_11

12、 (09 江苏省 ) 如图，在梯形ABCD中，ADBCABDEAFDCEF， 、两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形（ 1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（ 2）当ABDC时，求证：ABCD是矩形【能力拓展】12. （09 重庆市）如图，在等腰RtABC中， C=90o ， AC=8 ，F 是 AB边上的中点，点D、E分别在 AC 、BC边上运动，且保持AD=CE ，连接 DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形； DE 长度的最小值为4；四边形CDFE的面积保持不变； CDE 面积的最大值为8. 其中正确的结论是（

13、）A B C D13. （09 江苏省）如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，DEF的面积为24cm，则梯形ABCD的面积为 cm214. 如图 ,在平行四边形ABCD 中,A1,A2,A3,A4和 B1,B2,B3,B4分别是 AB和 DC的五等分点 ,C1,C2和 D1,D2分别是 AD和 BC的三等分点 , 若四边形C1A4D2B1的面积为1, 则 SABCD= . 15 （09 年宜宾市）已知：如图，以Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB=3 ，则图中阴影部分的面积为_ A D C F E B A D E B C F （第 13 题）EFDCBA（第 12 题）

14、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页16. 如图，O是平行四边形ABCD 对角线的交点， OE AD交 CD于 E， OF AB于 F， 那么OEFSABCDS平行四边形。17. 如图，所示的阴影部分由方格纸上3 个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么54小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是（）A16 B32 C48 D64 18如图，矩形ABCD 中，点 E，F，G ，H分别在边AB ，BC ， CD ，DA上，点 P在矩形 ABCD 内若 AB 4cm ，BC 6cm ，AECG 3cm

15、，BFDH 4cm，四边形 AEPH的面积为 5cm2，则四边形PFCG的面积为 _cm219 (09 吉林 ) 两个长为 2cm ， 宽为 1cm的长方形，摆放在直线l上 （如图），CE=2cm ，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度（ 1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图），求点D到AG的距离；（ 2）当45时（如图） ，求证：四边形MHND为正方形2 题图OFEDCBA( 第 16 题) （第 17 题）( 第 18 题) ABCEFH第12 题图( 第 15 题) 图A D B C G E F l 图A D B C H G E F

16、l 图A D M C H G E F l B N （第 19 题）（H）( 第14题图）ABCDA1A2A3A4B1B2B3B4C1C2D1D2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页20如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ，已知AD=3， AO=8 ， OC=5 ，若点P 在梯形内，且PADPOCSS，PAOPCDSS，求点 P的坐标？参考答案第四讲三角形与四边形（典型例题）例 1. D . 例 2. B 例 3.108. 例 4. D. 例 517. 例 6.120 . 例 7.证明：如图，连结AC B

17、D PQ 为 ABC的中位线， PQ 21AC 同理 MN21AC MNPQ ，四边形 PQMN 为平行四边形在AEC和 DEB中，AE DE ，EC EB ， AED 60 CEB ，即AEC DEB A O C D 3 5 8 x y (第 20 题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页AEC DEB AC BD PQ21AC21BD PN PQMN 为菱形例 8. A. 例 9. 解：连结EF l1l2l3l4，且四边形ABCD 是正方形BE FD，BFED 四边形 EBFD为平行四边形BE=FD 又 l1l2

18、l3和 l4之间的距离为h SABE=21BE h，S FBE=21BE h，SEDF=21FDh，S CDF=21FDh SABE= SFBE= SEDF= SCDF（2）过 A点作 AH BE于 H点。S ABE= SFBE= SEDF= SCDF又 正方形 ABCD 的面积是25 425ABES，且 AB=AD=5 又 l1l2l3l4EF分别是 AD与 BC的中点AE=21AD=25在 RtABE中，BE=25522AEAB又 AB AE=BE AH 5525255BEAEABAH例 10. （ 1）如图 2，过点P作ADPJCDPIBCPHABPG,，EP平分DEC， PHPJ同理P

19、IPGP是四边形ABCD的准内点（2）平行四边形对角线BDAC,的交点1P就是准内点，如图3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P就是准内点，如图3（2） ；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点2P就是准内点如图4. （3）真；真；假例 11. 5cm. 图 3（1）图 4 图 3（2）DCBAABCDGDCBAFEEGHF1P1P2P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页例 12.（1）证明：四边形BCGF 和 CDHN 都是正方形，又点 N与点 G重合，点M与点 C重合，FB = BM= MG =

20、MD = DH，FBM = MDH = 90 FBMMDH FM = MH FMB = DMH = 45 ， FMH= 90FM HM （2）证明：连接MB MD ，如图 2，设 FM与 AC交于点 PB DM分别是 AC CE AE的中点，MD BC ，且MD = BC = BF ；MB CD ，且 MB=CD=DH四边形 BCDM 是平行四边形 CBM=CDM 又 FBP=HDC ， FBM=MDH FBMMDH FM= MH ，且MFB =HMD FMH=FMD HMD =APM MFB =FBP= 90 FMH是等腰直角三角形（3）是第四讲三角形与四边形 （同步练习）【基础巩固】1.

21、60. 2.2. 3.55 . 4. C. 5. B. 6. B. 7.2 4,713，. 8.5. 9. 1 13. 10. 7963. 11. 略. 【能力拓展】12. B. 13. 16. 14.5315. 4.5. 16.1：8 17. C. 18.8. 19 解： （1）2CDCEDEcm，CDE是等边三角形60CDE.36029060120ADG 又1ADDGcm，30DAGDGA如图作DKAG于点K1122DKDGcm 点D到AG的距离为12cm （2）4545NCENEC,90CNE.9090DNHDH,四边形MHND是矩形（ H）图A D M C H G E F l B N 图A D B C G E F l K 45图 2 A H C D E B F G N M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页又,CNNEDNNH，矩形MHND是正方形20.（178，3）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页