2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 .pdf

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1、20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）1. 设71a，则32312612aaa（）A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 【答】 A. 由71a，得282 762aa，故226aa.所以32223126123 (2 )6612aaaa aaaa26121266 12

2、24aa. 2 在 ABC中，最大角A 是最小角C 的两倍，且AB 7， AC 8，则BC （）A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 【答】 C. 延长 CA 至 D，使 AD AB，则1D =ABD =CAB =C2，所以CBD DAB ，所以BDCD=ABBD，故2BDAB CD7 (87) 105，所以BD105. 又因为CD，所以105BCBD. 3 用 x表 示 不 大 于x的 最 大 整 数 ， 则 方 程2230 xx的 解 的 个 数 为（）A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】 C. 由 方 程 得232xx， 而 xx， 所 以232xx

3、， 即2230 xx， 解 得13x，从而 x只可能取值1,0,1,2,3. 当 1x时，21x，解得1x；DBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页当 0 x时，23x，没有符合条件的解；当 1x时，25x，没有符合条件的解；当 2x时，27x，解得7x；当 3x时，29x，解得3x. 因此，原方程共有3 个解 . 4设正方形 ABCD 的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】 B.

4、 不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心 O，这样的三角形也有4 个，它们的面积都为14. 所以以五个点A、B、C、D、O 为顶点可以构成448 个三角形，从中任意取出两个，共有28 种取法 . 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12 种. 因此，所求的概率为123287. 5如图，在矩形ABCD 中， A

5、B 3，BC 2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则siCBE（）A.63. B. 23. C. 13. D. 1010. 【答】D. 设 BC 的中点为O，连接 OE、CE. 因为 ABBC，A EOE，所以 A、B、O、E 四点共圆，故BAE COE. 又 AB AE，OC=OE，所以 ABE OCE ，因此CEOC1=BEAB3，即BE3CE. 20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 8 页）ODABCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页又 CE BE，所

6、以22BC =BE +CE=10CE，故sinCBECE10=BC10. 6 设n是 大 于1909 的 正 整 数 ， 使 得19092009nn为 完 全 平 方 数 的n的 个 数 是（）A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】 B. 设2009na， 则19091001 0012009nanaa， 它 为 完 全 平 方 数 ， 不 妨 设 为21001ma（其中m为正整数），则21001ma. 验证易知，只有当1,2,3,7m时，上式才可能成立.对应的a值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009nn为完全平方数的n共有 4 个，分别为1959，1989，1

7、999，2007. 二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）1已知t是实数，若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是 _. 【答】3.因为,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt的两个非负实根，所以2( 2)4(1)0,10,2,tabtab解得12t. 2222222(1)(1)()()1()()21abababababab22(1)42(1) 14ttt，当1t时，22(1)(1)ab取得最小值3. 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点，作DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 AD

8、E 、 DBF 的面积分别为m和n，则四边形DECF 的面积为 _. 【答 】2 mn. 20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 2页（共 8 页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页设 ABC 的面积为S, 则因为 ADE ABC ，所以ADESADABS. 又因为 BDF BAC ，所以BDFSBDABS. 两 式 相 加 得1ADEBDFSSADBDSSABAB， 即1mnSS， 解 得2()Smn. 所以四边形DECF 的面积为2()2mnmnmn. 3 如果实数,a b满足条件221ab，

9、22|12| 21ababa， 则ab_. 【答】1. 因为221ab，所以11,11ab.由22|12| 21ababa可得2222|12|21 121abbaaaaa222aa， 从而2220aa，解得10a. 从而120ab，因此21222abaa，即22122(1)bab，整理得2230bb，解得1b（另一根32b舍去） . 把1b代入212ba计算可得0a，所以1ab. 4已知,a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_对. 【答】7. 设15152kab（k为正整数），则21515154kkbaa，故15a为有理数 . 令2215qap，

10、其中,p q均为正整数且( , )1p q.从而2215aqp，所以2|15q，故20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 8 页）FEBCAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页1q，所以151ap. 同理可得151bm（其中m为正整数），则112kpm. 又1,1mp，所以1122kpm，所以1,2,3,4k. （1）1k时，有1112pm，即(2)(2)4pm，易求得( ,)(4,4)p m或（ 3,6）或（ 6,3）. （2）2k时，同理可求得( ,)(2,2)p m. （3）3k

11、时，同理可求得( ,)(2,1)p m或（ 1,2）. （4）4k时，同理可求得( ,)(1,1)p m. 因此，这样的有序数对( , )a b共有 7对， 分别为 （ 240,240） ，（135,540） ，（ 540,135） ，（60,60） ，（60,15） ， （15,60） ， （15,15）. 第二试（A）一 （本题满分20 分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为 A、B，与y轴的交点为C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P. （1）证明： P与y轴的另一个交点为定点. （2）如果 AB 恰好为 P 的直径且2ABCS，求b和c的值 . 解（1） 易求得点C

12、的坐标为(0, )c， 设1A ( , 0 ) x，2B(,0)x， 则12xxb，12x xc. 设 P与y轴的另一个交点为D，由于 AB 、CD 是 P 的两条相交弦， 它们的交点为点O，所以 OA OBOCOD，则121x xcOA OBODOCcc. 因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D 在y轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). 10 分20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 8 页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页（2）因为 AB CD，如果 AB

13、 恰好为 P 的直径，则C、D 关于点 O 对称，所以点C的坐标为(0,1)，即1c. 15 分又222121212()4()44ABxxxxx xbcb，所以2114 1222ABCSAB OCb，解得2 3b. 20 分二 （本题满分25 分） 设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高，1I、2I分别是ADC 、 BDC的内心， AC3，BC4，求1I2I. 解作1IEAB 于 E，2IFAB 于 F. 在直角三角形ABC 中， AC 3，BC4，22AB =AC +BC5. 又 CD AB，由射影定理可得2AC9A D =AB5，故16BD = ABAD5，2212CD =AC

14、AD5. 5 分因为1IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E13(ADCDAC)25. 10 分连接 D1I、 D2I， 则 D1I、 D2I分别是 ADC 和 BDC 的平分线，所以1IDC1IDA2IDC2IDB 45，故1ID2I90，所以1ID2ID，1113I E3 25DIsinADIsin 455. 15 分同理，可求得24I F5，FEI1I2DBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页24 2D I5. 20 分所以1I2I2212D ID I2. 25 分三 （本题满分25 分）

15、已知, ,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc14bcacababcbccaab证明：以,abc为三边长可构成一个直角三角形. 证法 1将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，10 分即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，15 分即()()()()()()0bca bcacab cababcabcbccaab，即() ()()()0bcaa bcab cabc abcabc，即222()20bcaababcabc，即2

16、2()() 0bcacababc，即()()()0bcacabcababc，20分所 以0bca或0cab或0cab， 即bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 8 页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页形.25 分证法 2结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc10 分又由式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入式，得110

17、24210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca. 15分3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160， 20 分所以16a或16b或16c. 结合式可得bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形. 25 分第二试（B）一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二 （本题满分25 分）已知 ABC 中， ACB 90，AB 边上的高线CH 与 ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P、Q 两点 .PM、QN 的中点分别为 E、F.求证： EFAB. 解因

18、为 BN 是 ABC 的平分线，所以ABNCBN. 又因为 CHAB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB，因此CQNC. 10 分又 F 是 QN 的中点，所以CFQN，所以CFB90CHB，因此 C、F、H、B四点共圆 . 15 分又FBH =FBC， 所以FC FH ，故 点F在CH的 中垂线上. 20 分20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 8 页）FQEPHNMACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页同理可证，点E 在 CH 的中垂线上 . 因此 EFCH. 又ABC

19、H，所以EFAB. 25 分三 （本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25 分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三 （本题满分25 分） 已知, ,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc14bcacababcbccaab是否存在以,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法 1将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，10 分即222222()()()440bcacababcbccaab，即2

20、22222()()()0bcacababcbccaab，15 分即()()()()()()0bca bcacab cababcabcbccaab，即() ()()()0bcaa bcab cabc abcabc，即222()20bcaababcabc，即22()() 0bcacababc，即()()()0bcacabcababc，20 分所 以0bca或0cab或0cab， 即bac或cab或cba. 20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 8 页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页因

21、此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. 25 分解法 2结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc10 分又由式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入式，得11024210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca. 15 分3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，20 分所以16a或16b或16c. 结合式可得bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. 25 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页