2022年第十八讲：二元一次不等式与简单的线性规划 .pdf

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1、第十八讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划一、引言：本讲主要学习掌握二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：直线定界，代点定域；了解线性规划问题的图解法及其应用；领悟观察、画图及探索问题的能力，渗透数形结合思想本讲重点是：图解法求解线性规划问题的步骤；本讲难点是：准确求得线性规划问题的最优解本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决本讲命题方向为：本讲主要考查二元一次不等式表示平面区域，线性规划的意义及简单的应用，考查数形结合的数学思想从题型上来看以选择、填

2、空居多除考查图解法求解线性规划问题的方法外，线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现二、考点梳理1二元一次不等式表示平面区域（ 1 ） 一 般 地 ， 二 元 一 次 不 等 式0CByAx在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线0AxByC某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式所表示的平面区域（半平面）包括边界线（2）判定不等式0CByAx（或0CByAx）所表示的平面区域时，只要在直线0CByAx的一侧任意取一点),(00yx，将它的的坐标代入不等式, 如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式

3、，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划问题的图解法：（1）基本概念名 称意义线性约束条件由, x y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x, y 的约束条件目标函数关于, x y的解读式线性目标函数关于, x y的一次解读式可行解满足线性约束条件的解, x y叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤根据题意，设出变量x、y；找出线性约束条件；确定

4、线性目标函数( , )zf x y；画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；利用线性目标函数作平行直线系( ,)f x yt（t为参数）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页观察图形，找到直线( ,)f x yt在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案三、典型例题选讲题型 1：二元一次不等式组表示的平面区域例 1 画出下列不等式（或不等式组）表示的平面区域（ 1 ）260 xy； （ 2 ）3005xyxyx； (3)0)1)(yxyx；(4)xyx2解 ： (1) 先 画 出 直 线260 xy

5、（ 画 线 虚 线 ） ， 代 入 原 点 坐 标 （ 0 ， 0 ） 得20060， 原 点 在 不 等 式260 xy表 示 的 平 面 区 域 内 ， 不 等 式260 xy表示的平面区域如图中阴影部分(2)不等式50 xy表示直线50 xy上及右下方的平面区域，0 xy表示直线0 xy上及右上方的平面区域，3x表示直线3x上及左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分(3)不等式0)1)(yxyx等价于不等式组10010yxyxyx或010 xyxy矛盾，故点),(yx在一带形区域内（含边界）所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分精选学习资料 - - - - - -

6、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页(4) 由xx2，得0 x；当0y时，有020yxyx，点),(yx在一条形区域内( 边界) ；当0y，由对称性得出原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分归纳小结：第(2)题中不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分第(3)题中转化为等价的不等式组，把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解；第(4)题中注意到不等式的传递性，由xx2，得0 x，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称例 2（2008 湖北文） 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1

7、xyx的点( , )x y的集合用阴影部分表示为下列图中的（）解： 在坐标系里画出图象，C为正确答案也可取点坐标检验判断归纳小结： 画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界题型 2：线性规划问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页例 3 设2zxy，式中变量x、 y 满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值解： 由题意，变量,x y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点(0, 0)不在公共区域内，当0,0 xy时 ，20zxy， 即 点(0,0)在 直 线0l

8、：20 xy上 ， 作 一 组 平 行 于0l的 直 线l：2xyt，tR，可知：当l在0l的右上方时，直线l上的点( , )x y满足20 xy，即0t，而且，直线l往右平移时，t随之增大由图可知，当直线l经过点(5,2)A时，对应的t最大，当 直 线l经 过 点(1,1)B时 ， 对 应 的t最 小 ， 所 以 ，max2 5212z，min2 1 13z归纳小结： 图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优

9、解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标例 4 求不等式组015530632032yxyxyx的整数解解：设032:1yxl，0632:2yxl，01553:3yxl，12llA，13llB，23llC，则)43,815(A，)3, 0(B，)1912,1975(C于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取x 1， 2， 3，当x 1 时，代入原不等式组有512341yyy?1512y，得y 2，区域内有整点(1,-2)同理可求得另外三个整点 (2,0) ， (2,-1)，(3,-

10、1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页归纳小结： 求不等式的整数解即求区域内的整点是教案中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y例5（ 1）（ 2007 安徽）如果点P在平面区域22021020 xyxyxy上，点Q在曲线22(2)1xy上，那么PQ的最小值为（）514152 2 121解： 依题意作图，则

11、minPQ为圆到直线210 xy的距离减去半径的长，计算得51515，故选 A（2）（ 2008 安徽理）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从 2 连续变化到 1 时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为( ) A34B1 C74D5 解：如图知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形（阴影部分面积比1 大，比12222OABS小, 故选 C, 不需要算出来）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页（3）（ 2007 北京理）若不等式组220 xyxyyxya ， ， ，表示的平面区域是一个三角形，则a的

12、取值范围是（）43a01a 413a01a 或43a解： 约束条件的可行域是如图所示的阴影区域，观察得01a或43a故选 D（4） (2009 山东理 ) 设 x， y 满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数zaxby（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为 ( )A625 B38 C311 D4 解: 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线zaxby（a0，b0）过直线 x- y+2=0 与直线 3x- y-6=0 的交点（ 4,6 ）时 , 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6,23ab=23 2

13、3131325()()26666abbaabab, 故选 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页归纳小结： 线性规划的应用也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现在解题时要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,要注意基本不等式的综合使用题型 3：线性规划应用问题例 6(2009山东文 ) 某公司租赁甲、乙两种设备生产A, B 两类产品 , 甲种设备每天能生产 A 类产品5 件和B 类产品10 件, 乙种设备每天能生产A 类产品6 件和 B 类产品20件已知设备甲每天的租赁费为

14、200 元, 设备乙每天的租赁费为300 元, 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B类产品 140 件, 所需租赁费最少为_元解: 设甲种设备需要生产x天 , 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元, 则200300zxy，甲、乙两种设备生产A, B 两类产品的情况为下表所示: 产品设备A 类产品( 件)( 50) B 类产品( 件)( 140) 租赁费( 元) 甲设备5 10 200 乙设备6 20 300 则满足的关系为5650102014000 xyxyxy即61052140,0 xyxyxy作出不等式表示的平面区域,当200300zxy对应的直线过两直线6105214

15、xyxy的交点 (4,5)时，目标函数200300zxy取得最低为2300 元归纳小结： 本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题例 7 某人上午7 时，乘摩托艇以匀速vkm/h（4v 20）从A港出发到距50km 的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30w 100）自B港向距 300km 的C市驶去 ，应该在同一天下午4 至 9点到达C市 设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

16、结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页（2）如果已知所需的经费1003(5)2(8)pxy（元），那么v、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元? 分析： 由1003(5)2(8)pxy可知影响花费的是32xy的取值范围解： （1）依题意得v=y50， w=x300， 4v20，30w1003x10，25y225由于乘汽车、摩托艇所需的时间和xy应在 9 至 14 个小时之间，即 9xy14 因此，满足的点( , )x y的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）1003(5)2(8)pxy，32xy=131p设 131pk，那么当k最大时，p最小在通过图中的阴影部分区域（

17、包括边界）且斜率为23的直线32xyk中，使k值最大的直线必通过点（10， 4），即当10 x，4y时，p最小此时， v12.5，w=30，p的最小值为93 元归纳小结： 线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析要求量的几何意义，然后画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解例 8 某矿山车队有4 辆载重量为10t 的甲型卡车和7 辆载重量为6t 的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6 次，乙型卡车每辆每天可往返8 次甲型卡车每辆每

18、天的成本费为252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? 分析： 弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解： 设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么91066 83604,7,xyxyxxNyyN252160zxy作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页作出直线0l：2521600 xy，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整

19、点，且使在y轴上的截距最小观察图形，可知当直线252160 xyt经过点（ 2， 5）时，满足上述要求此 时 ，252160zxy取 得 最 小 值 ， 即2x，5y时 ，m i nZ=252 2+160 5=1304答：每天派出甲型车2 辆，乙型车5 辆，车队所用成本费最低归纳小结： 要完成一项确定的任务, 如何统筹安排, 尽量做到用最少的资源去完成它, 这是线性规划中最常见的问题之一用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系( , )f x yt的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点四、本专题总结简单的线性规划在实际生

20、产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页