2022年等比数列高三一轮复习教案 2.pdf

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1、3.3 等比数列【考点及要求】等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项. 理解等比数列的概念, 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式 , 并能解决简单的实际问题 . 等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式是解决等比数列的有关计算、论证, 等比数列的有关性质的基础和出发点, 这类问题往往解法灵活、多变, 是高考试题的生长点, 选择题、填空题和解答题都可能出现. 【要点回放】等比数列1.定义 ：qaann 1（常数q为公比）)(Nn（注意隐含条件:0,0naq）2.通项公式：11nnqaa推广 : mnmnqaa3.等比中项： 如果在a与b间插入一个数G， 使bGa,成等比数列，

2、 那么G叫做a与b的等比中项，abG.)0(ab. 4.前n项和公式：11(1)(1)(1,0)1nnnaqSaqqqq且（易错点 :不分类讨论 ）注意 :应用前 n项和公式时 ,一定要区分11qq与的两种不同情况 ,必要的时候要分类讨论. 5.等比数列na的一些常用性质(1)对于任意正整数srqp,， 如果srqp， 则有srqpaaaa；如果qrp2，则有2qrpaaa(2)对于任意正整数, 1n有112nnnaaa(3)对于任意非零实数b，数列nba是等比数列，则数列na是等比数列(4)已知数列nb是等比数列，则nnba也是等比数列。下标成等差数列的项构成等比数列连续若干项的和也构成等比

3、数列. 6证明数列为等比数列的方法: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页(1)定义法 :若为等比数列数列nnnaNnqaa)(1(2)等比中项法 :若为等比数列数列且nnnnnnnaaaaNnaaa)0(21221(3)通项法 :若为等比数列数列的常数均是不为nnnaN，nqccqa)0,(4)前 n 项和法 :若为等比数列数列且为常数nnnaqq，qAAAqS) 1,0,(7解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想 (“ 知三求二 ” 问题) (2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对11qq和讨

4、论为递增数列等比数列时或naqaqa,10, 01,011() 1(111qqaaannn) 为递减数列等比数列时或naqaqa,10, 01,011【基础训练】1.（江苏卷） 在各项都为正数的等比数列an中，首项 a1=3，前三项和为21，则 a3+ a4+a5= （C ）( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 2. 已知等比数列na中，33a，10384a，则该数列的通项公式na33 2n3.命题甲 :211( ) ,2,22xxx成等比数列，命题乙:lg ,lg(1),lg(3)xxx成等差数列，则甲是乙的必要不充分条件。（填“充分不必要” 、 “必要不充

5、分” 、 “充要”或“既不充分也不必要”）4.（04 年上海卷 .文理 12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“ 基本量 ”.设an是公比为q 的无穷等比数列,下列 an的四组量中 ,一定能成为该数列“ 基本量 ” 的是第组.(写出所有符合要求的组号) S1与 S2; a2与 S3; a1与 an; q 与 an. 其中 n 为大于 1 的整数 , Sn为an 的前 n 项和 . 5. (05 重庆卷 ) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2， 且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)

6、超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是( C ) (A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 7. 6.设数列na的前n项和为nS（N*n） ，关于数列na有下列三个命题：（1）若na既是等差数列又是等比数列，则1(N*)nnaan；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页（2）若2RnSanbna b、，则na是等差数列；（3）若11nnS，则na是等比数列 . 这些命题中，真命题的序号是. 【例题讲练】题型等比数列中基本量的计算例 1:数列na为等比数列 ,求下列各值 , (1)已知.,2118367463naaa

7、aan求(2) .,15367382qaaaa求公比已知(3) .),21 (15, 218aSq求已知思维分析 :运用等比数列的基本公式和基本性质” 知三求二 ” 问题解(1)21,36,18)(63636374qaaaaqqaqaaa9212)21(3232,36)1 (833333333363nqaaaqaqaaaannnn(2) ,03615,1536273738273两根是方程xxaaaaaaaa222414, 3,1212, 3447373qqqqaaaa或或或(3)1)21 ()21()21(1521)15(21)2(1 11818aaaS变式 1.设一个等比数列的首项为a(a0

8、),公比为 q(q0),其前 n 项和为 80,而其中最大的一项为54,又其前 2n 项和是 6560,求 a和 q. 思维分析 :运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若 q=1,则 na=80,2na=160矛盾,1q于是)3(541,081) 1()2()2(65601)1 () 1(801)1(11211nnnnnqaaqqqqqaqqa又得3, 2548111)3)(1(81qaqaqaqn及得代入变式 2.设等比数列na的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

9、- - - -第 3 页，共 13 页答案:243q变式 3.已知等比数列an 中， a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求 an. 剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和 q. 解：设 an的公比为q，由题意知,8,721112111qaqaaqaqaa解得2, 11qa或.21,41qa an=2n1或 an=23n. 评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 例 2. 已知等比数列na的公比为,q前 n 项和为nS, 且396,S S S成等差数列 . 求3q的值； 求证 :285,aa a成等差数列 . （答案 : 3q=12）题型等比数列的判定和证明例

10、1. （04 全国）数列na的前 n 项和记为Sn， 已知).3 ,2, 1(2,111nSnnaann证明：（）数列nSn是等比数列；（）.41nnaS证明：（）,2,111nnnnnSnnaSSa),()2(1nnnSSnSn整理得,) 1(21nnSnnS所以.211nSnSnn故nSn是以 2 为公比的等比数列 . （） 由（） 知).2(14111nnSnSnn于是).2(41) 1(411nanSnSnnn又, 3312Sa故, 4212aaS因此对于任意正整数, 1n都有.41nnaS评注 : 换元法体会肤浅, 函数观点应用不当均会造成失误. 例 2.已知数列na,Sn是它的前

11、n 项和,且1),(2411aNnaSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页(1)设)(21Nnaabnnn,求证:数列nb是等比数列(2)设nnnac2,求证 :数列nc是等差数列思维分析 :证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式 ;而数列的前 n 项和 Sn已知可求 an 解:(1) 12121142,4244nnnnnnnnSaSaSSaa2144nnnaaa即nnnnnnnnnbbaabaaaa22),2(2211112而, 由此可得nb是等比数列且首项112123,2, 32nnbqaab公比(2)

12、43223222,2111111nnnnnnnnnnnnnbaaccbc可知nc是首项43,21211dac公差的等差数列 ,4143ncn变式 1:数列nnba,的通项公式分别是,23,2nbannn它们公共项由小到大排列的数列是nc,写出nc的前 5 项证明nc是等比数列思维分析 :容易证明nc是等比数列 ,由定义式 ,只需找出nc中任意相邻两项关系即可. 解(1) nc的前 5 项为 :8、32、128、512、2048 （2）设1)12(3)23(222, 232,1ppapccbammmnnpm而中在又中不在bnappabammmnm221, 2)24(3)23(424,是等比数列故

13、项中的项即是nnnnnmccccca,4,112变式 2.已知数列 an 为等差数列， 公差 d0， an的部分项组成下列数列：a1k，a2k，ank，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求 k1 k2 k3 kn. 剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得ank，然后列方程求得kn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页解：设an的首项为a1，a1k、a2k、a3k成等比数列， （ a14d）2a1（a116d）. 得 a1 2d，q12kkaa3. anka1（ kn1）d，又 anka13n1，kn23n

14、11. k1k2 kn2（13 3n1） n23131nn3nn1. 评述：运用等差 （比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：ank是等差数列中的第kn项，而又是等比数列中的第n 项（双重身份）.变式 3.设各项均为正数的数列 an和 bn满足 5na，5nb，51na成等比数列， lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、 bn. 剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+1=1nnbb递推出 an=nnbb1（ n2）. 解： 5na，5nb，51na成等比数列，（ 5nb）2=5na 51na，即 2bn=an+an

15、+1. 又 lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列， 2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即 an+12=bnbn+1. 由及 ai 0，bj0（i、jN*）可得an+1=1nnbb. an=nnbb1（n2） . 将代入可得2bn=nnbb1+1nnbb（n2） ，2nb=1nb+1nb（n2） . 数列 nb 为等差数列 . b1=2，a2=3，a22=b1b2， b2=29. nb=2+（n1） （292） =21（n+1） （n=1 也成立） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页bn=2)1(

16、2n. an=nnbb1=2)1(222nn=2) 1(nn（n2）. 又当 n=1 时， a1=1 也成立 . an=2)1(nn. 变 式4. 设 二 次 方 程)(0112Nnxaxann有 两 根, 且 满 足3626试用na表示1na求证 :32na是等比数列 ; 当671a时 ,求数列na的通项总结 :要证一个数列是等比数列,可求得其通项公式,从而判定其是等比数列.，但要证明不是等比（等差）数列只要举出反例。题型等比数列的性质应用题型例:解下列各题：（1）an 是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5= A .A、5 B、10 C、15 D、20

17、（ 2）若 an 是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则log3a1+log3a2+log3a10= 20 .（3） 等比数列 an的前 10 项和为 32， 前 20 项和为 56， 则它的前30 项和为C .A、72 B、73 C、74 D、88 （4）已知正项等比数列an ，前 n 项的和为 Sn，若 S3=6，a7+a8+a9=24，那么S99=6（ 233-1）.题型等比数列的实际应用例: 甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏, 规则如下 : 若掷出的点数之和为3 的倍数时 , 原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3 的倍数时 ,由对方接着掷. 第一次由甲开始掷. 若第 n 次由甲掷

18、的概率为nP, 求nP；求前4 次抛掷中甲恰好掷3 次的概率 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页（答案 : nP=1111223n2881 . 关键是找出相邻两项之间的关系）题型等比数列的综合问题例 : 如图 , OBC 的三个顶点坐标分别为0,01,00,2、, 设1P线段 BC的中点 , 2P为线段CO的中点 , 3P为线段1OP的中点 , 对于每一个正整数n,3nP为线段1nnP P的中点 ,令,nnnPxy,121.2nnnnayyy 求123,a aa及na；求证 :41,4nnyynN； 若记444

19、,nnnbyynN, 证明 :nb是等比数列 . （答案 : na=2）变题 :（湖南04）如图，直线2121:)21,0(1:21xylkkkkxyl与相交于点 P.直线 l1与 x 轴交于点P1，过点 P1作 x 轴的垂线交直线l2于点 Q1，过点 Q1作 y 轴的垂线交直线l1于点 P2，过点 P2作 x 轴的垂线交直线l2于点 Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、 P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列.nx（）证明*),1(2111Nnxkxnn； （）求数列nx的通项公式；（）比较5|4|22122PPkPPn与的大小 . （）证明：设点Pn的坐标是),(n

20、nyx，由已知条件得点 Qn、Pn+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1nnnnxxxx由 Pn+1在直线 l1上，得.121211kkxxnn所以),1()1(211nnxkx即.*),1(2111Nnxkxnn（）解：由题设知,011,1111kxkx又由（）知) 1(2111nnxkx，所以数列 1nx是首项为, 11x公比为k21的等比数列 . 从而.*,)21(21,)21(111Nnkxkkxnnnn即P2P1O y x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页（）解：由,2121,1xykkxy

21、得点 P 的坐标为（ 1，1）. 所以,)21(2)21(8)11(2)1(2|2222222nnnnnkkkkxxPP.945)10()111(45|42222212kkkPPk（i）当2121,21|kkk或即时，5|4212PPk1+9=10. 而此时.5|4|2.10218|2, 1|21|021222PPkPPPPknn故所以（ii ）当)21,0()0,21(,21|0kk即时，5|4212PPk0 , an an1=5 (n2). 当 a1=3 时 ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13; 当 a1=2 时 , a3=12, a15=72, 有 a3

22、2=a1a15 , a1=2, an=5n3. 8.(06 山东）已知a1=2，点 (an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列 lg(1+ an)是等比数列；（2）设 Tn=(1+a1) (1+ a2) (1+ an)，求 Tn及数列 an的通项；（3）记 bn=211nnaa，求 bn数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1. .(2) 213nnT,2131nna; 9.（ 06 北京）设数列an的首项 a1=a41，且11为偶数21为奇 数4nnnanaan, 记2114nnba，n l，2， 3， （I）求 a2，a3；（II）判断数

23、列 bn是否为等比数列，并证明你的结论；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页（III ）求123lim()nnbbbb解： （I） a2a1+41=a+41，a3=21a2=21a+81；（II）a4=a3+41=21a+83, 所以 a5=21a4=41a+316, 所以 b1=a141=a41, b2=a341=21(a41), b3=a541=41(a41), 猜想： bn是公比为21的等比数列 证明如下：因为 bn+1a2n+141=21a2n41=21(a2n141)=21bn, (nN*) 所以 bn是

24、首项为a41, 公比为21的等比数列 （III ）11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba10.（05 京）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求（ I）a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式；（ II）2462naaaa的值 . 解： （I）由 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，得211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n2） ，得143nnaa（n2） ，又 a2=31，所以 an=21 4( )3

25、 3n(n2), 数列 an的通项公式为2111 4()23 3nnnan；（ II ）由（ I）可知242,na aa是首项为31，公比为24( )3项数为n 的等比数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页2462naaaa=22241( )1343()143731( )3nn11. (全国卷)设正项等比数列na的首项211a，前 n 项和为nS，且0)12(21020103010SSS。（）求na的通项；（）求nnS的前 n 项和nT。解： （）由0) 12(21020103010SSS得,)(2102020

26、3010SSSS即,)(220121130222110aaaaaa可得.)(22012112012111010aaaaaaq因为0na，所以, 121010q解得21q，因而.,2 ,1,2111nqaannn（）因为na是首项211a、公比21q的等比数列，故.2,211211)211(21nnnnnnnnSS则数列nnS的前 n 项和),22221()21 (2nnnnT).2212221()21(212132nnnnnnT前两式相减，得122)212121()21(212nnnnnT12211)211 (214)1(nnnnn即.22212) 1(1nnnnnnT12. （2004 高考

27、全国一）设等比数列na的公比为q，前 n 项和 Sn0（n=1，2，）（ 1）求 q 的取值范围；（ 2）设,2312nnnaab记nb的前 n 项和为 Tn，试比较Sn和 Tn的大小 . 解： （）因为na是等比数列，.0, 0,011qSaSn可得当; 0,11naSqn时1(1)11,0,0,(1,2,)11nnnaqqqSnqq当时即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页上式等价于不等式组：),2 , 1( ,01, 01nqqn或),2, 1( ,01,01nqqn解式得q1；解，由于n 可为奇数、可为偶数，得1q0 且 1q0 当112q或2q时0nnTS即nnTS当122q且q 0 时，0nnTS即nnTS当12q或q=2 时，0nnTS即nnTS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页