2022年双曲线及其标准方程2 .pdf

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1、学习必备欢迎下载课题：双曲线及其标准方程（一）教学目标 1.掌握双曲线定义、标准方程及其求法； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；3. 认识双曲线的变化规律 . 教学重点双曲线的定义及标准方程教学难点双曲线标准方程的推导教学过程1、设置情境我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？（用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程 . 2、探索研究我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 说明常数小于；这两个定点叫做双曲线的焦点；这两焦点的距离叫

2、双曲线的焦距. 推导过程：参见课本p.105 如图 812，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F1、F2，并且点 O与线段 F1F2的中点重合 . 设 M （x, y）是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为2c( c0)，那么，焦点 F1、F2的坐标分别是 ( c,0) 、( c,0). 又设 M与 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a. 由定义可知，双曲线就是集合将方程化简得 (c2a2)x2a2y2=a2( c2a2). 由双曲线的定义可知， 2c2a， 即 ca， 所以 c2a20， 令 c2a2=b2， 其中 b0，代入上式得 (a0,b0). （2）双曲线的标准方程的形式形

3、式一：（a0,b0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线 . 焦点是F1( c,0) 、F2(c,0) ，这里c2=a2+b2. 形式二：（a0,b0）说明：此方程表示焦点在y 轴上的双曲线，焦点是F1(0，c) 、F2(0 ， c ) ，这里 c2=a2+b2. a, b 即可，注意标准方程的形式例 2（课本例）已知双曲线两个焦点的坐标为F1（5，0）、F2（5，0），双曲线上一点 P 到 F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程 . 解：因为双曲线的

4、焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：( a0,b0). 2a=6,2c=10, a=3,c=5. b2=5232=16 所以所求双曲线的标准方程为说明：例 1、2 目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式. 例 3、 证明椭圆 x2/25 y2/19 1 与双曲线 x215y215 的焦点相同。分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可例 4、已知方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，求k 的取值范围随堂练习 ( 课本 P107 2, 4)已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是。求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在 x 轴上；焦点为 (0, 6),(0,6)，经过点 (2,

5、5) 焦点在 x 轴上，经过点4、归纳总结数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程 . 5、课后作业习题 1 、2、3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载双曲线及其标准方程（二）教学目标1. 进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；2. 了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用. 教学重点双曲线的定义及其标准方程教学难点双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用教学过程1、复习回顾（1）双曲

6、线定义（2）两种形式的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程过点 P(3,15/4),Q(16/3,5) ，且焦点在坐标轴上；经过点 ( 5,2) ，且焦点在 x 轴上；与双曲线 x2/16y2/4 1 有相同的焦点，且经过点。分析：设双曲线方程为mx2ny21(mn0) ，则解得所求方程为 x2/16 y2/9 1 小结：“巧设”方程为“为 mx2ny21(mn0)”避免分两种情况进行讨论。且焦点在 x 轴上，设标准方程为x2/my2/(6 m)1 （0m6）双曲线经过 (5,2) ，25/m4/(m6)1，解得 m 5 或 m 30（舍去）所求方程为 x2/5 y21 与双曲线 x2/1

7、6 y2/4 1 有相同的焦点，设所求双曲线的标准方程为双曲线经过点，解得 4 或1(舍去) 所求方程为 x2/12 y2/8 1 小结：注意到了与双曲线 x2/16 y2/4 1 共焦点的双曲线系方程为后，便有了上述巧妙的设法。已知双曲线 x2/a2y2/b21（a0,b0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0 ），过 F 且垂直于 x 轴的弦为 AB ，要求 AB的长，只需确定弦的一个端点A或 B的纵坐标即可|AB| 2a2/c 变：双曲线 x2/4 y2/12 1 上的点 P到左焦点的距离为6， 这样的点有个。一动圆 P过定点 M （4，0），且与已知

8、圆 N：(x 4)2y216 相切，求动圆圆心 P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆 N在动圆 P的内部，有 |PC| |PM|4，外切时，有 |PC| |PM|4，故点 P的轨迹是双曲线x2/4 y2/12 1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载已知动圆 P与定圆 C1：(x 5)2y249,C2：(x 5)2y21 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有 |PC1| 7r, |PC2| 1r ，|PC1|

9、 |PC2| 6，内切有 |PC1| r 7, |PC2| r 1，|PC2| |PC1| 6 故点 P的轨迹是双曲线 x2/9 y2/16 1 2、探索研究：例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2 s. （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知 A、B两地相距 800 m，并且此时声速为 340 m/s，求曲线的方程 . 解（1）由声速及 A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上 . 因为爆炸点离 A处比离 B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上 . （2）如图 814，建立直角坐标系xOy，使 A

10、、B两点在 x 轴上，并且点 O与线段 AB的中点重合 . 设爆炸点 P的坐标为（ x, y），则即 2a=680,a=340. 又2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x0. 所求双曲线的方程为： (x0). 说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全， 我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再增设一个观测点C，利用 B、C （或 A、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程， 解这两个方程组成的方程组， 就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重要应用. 如果 A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？AB的中垂线。4、归纳总结数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程 . 5、课后作业习题 4,5,6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页