广东省广州市八校联考2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案.pdf

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1、 广东省广州市八校联考广东省广州市八校联考 2021-2022 高一第二学期期末试题高一第二学期期末试题 数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合21,Ay yxx=Z，25410Bxxx= ，则AB =（ ） A. 1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 1,3,5 2. 在ABC中，“2sin2A =”是“4A=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2、 3. 已知复数() ()2212123 ,3zmmmi zmi=+=+，其中i为虚数单位，mR，若1z为纯虚数，则下列说法正确的是（ ） A. 1m = B. 复数2z在复平面内对应的点在第一象限 C. 22z = D. 2212zz= 4. 已知函数( )f x是定义在 R上的奇函数，当0 x 时，( )42xf xm=+（m 为常数） ，则4( log 8)f 的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 7 D. 7 5. 已知点 P是ABC所在平面内一点，若2133APABAC=+ ，则ABP与ACP的面积之比是（ ） A. 3:1 B. 2:1 C. 1:3 D. 1:2 6. 已知2

3、2sin33+=，则sin 26+的值为（ ） A. 79 B. 79 C. 4 29 D. 4 29 7. 如图所示，A B C 是水平放置的ABC的斜二测直观图，其中22O CO AO B =，则以下说法正确的是（ ） A. ABC是钝角三角形 B. ABC的面积是A B C 的面积的 2 倍 C. B 点的坐标为(0,2) D. ABC的周长是44 2+ 8. 已知函数( )ln1,01,0 xxxf xex+=+，( )22g xxx= ，若方程( )()0f g xa=有 4 个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ） A. (),1 B. (0,1 C. (1,2 D. )2,+

4、二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 给已知a、bR，满足221ab+=，则（ ） A. 2ab+ B. 124a b+ C. 2ab D. 221222ab+ 10. 若函数( )sin()0,0,|2f xAxA=+，则a与b的夹角为锐角 B. 已知a，b，c为两两非共线向量，若a ba c= ，则()acb C. 在三角形ABC中，若co

5、scosaAbB=，则三角形ABC是等腰三角形 D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知实数0a ，0b ，121ab+=，则4312abab+最小值是_. 14. 已知函数( )22xxf xa=+ 图象关于原点对称，若3(21)2fx ，则x的取值范围为_ 15. 设 P，E，F 分别是长方体1111ABCDABC D的棱AB，11AD，1AA的中点，且1112BCCCAB=，M是底面ABCD上的一个动点，若1D M平面PEF，则线段1B M

6、长度的最小值为_. 16. 在ABC中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则22Sabc+的最大值为_ 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共分小题，共分 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知非零向量a，b满足| | 2|abab=+. （1）求a，b夹角的余弦值； （2）若|2| 2 6ab+=，求|a. 18. 如图，把正方形纸片 ABCD沿对角线 AC折成直二面角，点 E，F 分别为 AD，BC 的中点，点 O是原正方形 ABCD的中心. .的的的 （1）求证：AB平面 EOF； （2）求直线

7、 CD与平面 DOF 所成角的大小. 19. 已知函数2( )sinsin3,0, f xxaxa x=+ （1）求( )f x的最小值( )g a； （2）若( )f x在0, 上有零点，求 a的取值范围 20. 已知二次函数( )223f xmxx=，若不等式( )0f x + （2）已知实数()0,1a，且关于x的函数()()141,2xxyf aax+=的最小值为4，求a的值 21. ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，coscos2 cosaBbAcC+=，3c =. （1）求角 C； （2）求ABC 的外接圆的半径 R，并求ABC的周长的取值范围. 22. 如图所示

8、，AD是ABC的一条中线，点 O满足2AOOD=，过点 O的直线分别与射线AB、射线AC交于 M、N 两点， （1）求证：1122ADABAC=+ ； （2）设AMmAB= ，ANnAC=，0m ，0n ，求11mn+的值； （3）如果ABC是边长为 2的等边三角形，求22OMON+的取值范围 广东省广州市八校联考广东省广州市八校联考 2021-2022 高一第二学期期末试题高一第二学期期末试题 数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要

9、求的. 1 已知集合21,Ay yxx=Z，25410Bxxx= ，则AB =（ ） A. 1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 1,3,5 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：由25410 xx ，即()()5110 xx+，解得115x， 所以215410|15Bxxxxx= =， 又21, 3, 1,1,3,5,Ay yxxZ=， 所以 1AB=； 故选：A 2. 在ABC中，“2sin2A =”是“4A=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【

10、解析】 【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断 【详解】在ABC中，2sin2A =，则4A=或34， 在ABC中，“2sin2A =”是“4A=”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知复数() ()2212123 ,3zmmmi zmi=+=+，其中i为虚数单位，mR，若1z为纯虚数，. 则下列说法正确的是（ ） A. 1m = B. 复数2z在复平面内对应的点在第一象限 C. 22z = D. 2212zz= 【答案】C 【解析】 【分析】因为1z为纯虚数，所以2210230mmm =+，可求出1m = ，进而可得124 ,13zi zi= = +，判断各个选项即可 【

11、详解】对于 A，因为1z为纯虚数，所以2210230mmm =+，所以1m = ，故 A错误； 对于 B，当1m = 时，124 ,13zi zi= = +，复数2z在复平面内对应的点在第二象限，故 B错误； 对于 C，()()222132z =+=，故 C正确； 对于 D，()222120416,4zz=+ =，2212zz，故 D错误 故选：C 4. 已知函数( )f x是定义在 R上的奇函数，当0 x 时，( )42xf xm=+（m 为常数） ，则4( log 8)f 的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 7 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求出3m = ，求出

12、()4log 88 17f= =，利用奇偶性得到答案. 【详解】根据题意，函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，( )42xf xm=+， 必有(0)120fm= +=，解可得:3m = ， 则当0 x 时，( )41=xf x，有()4log 88 17f= =， 又由函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，则()()44log 8log 87ff= = . 故选：D 5. 已知点 P是ABC所在平面内一点，若2133APABAC=+ ，则ABP与ACP的面积之比是（ ） A. 3:1 B. 2:1 C. 1:3 D. 1:2 【答案】D 【解析】 【分析】过P作/,/P

13、E AC PF AB，根据平面向量基本定理求得:PC PB，即可求得ABP与ACP的面积之比. 【详解】点P是ABC所在平面上一点，过P作/,/PE AC PF AB，如下图所示： 由2133APABACAEAF=+=+ ， 故:2:1:AE EBPC PB=， 所以ABP与ACP的面积之比为:1:2BP PC =， 故选：D 6. 已知2 2sin33+=，则sin 26+的值为（ ） A. 79 B. 79 C. 4 29 D. 4 29 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即得解. 【详解】解：2sin 2sin 2cos22sin163233+=+= +=+ 87

14、2199= =. 故选：A. 7. 如图所示，A B C 是水平放置的ABC的斜二测直观图，其中22O CO AO B =，则以下说法正确的是（ ） A. ABC是钝角三角形 B. ABC的面积是A B C 的面积的 2倍 C. B 点的坐标为(0,2) D. ABC的周长是44 2+ 【答案】D 【解析】 【分析】将A B C还原成原图依次分析选项可得答案. 【详解】根据题意，将A B C 还原成原图，如图， 对于 A，ABC中，有2OCOAOB=，ACOB，所以2 2BCAB=，4AC =，故ABC是等腰直角三角形，A错误； 对于 B，ABC的面积是142=AB OB，A B C 的高为2

15、sin452 =O B， 所以A B C 的面积为12222 =A C，ABC的面积是A B C 的2 2倍，B错误； 对于 C，因为2OB =，B 的坐标为()0 2，C错误； 对于 D，ABC的周长为44 2BCABAC+=+，D正确 故选：D. 8. 已知函数( )ln1,01,0 xxxf xex+=+，( )22g xxx= ，若方程( )()0f g xa=有 4 个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ） A. (),1 B. (0,1 C. (1,2 D. )2,+ 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出函数( )f x的图象，令( )g xt=，()1t ，则关于t的方程(

16、 )0f ta=有两个小于 1的实根，数形结合即可得解； 【详解】解：因为( )ln1,01,0 xxxf xex+=+，所以( )f x的图象如下所示， 因为( )()22211g xxxx= = + 所以( )g x开口向下，且最大值为 1 的二次函数， 令( )g xt=，()1t ，则关于t的方程( )0f ta=有两个小于 1 的实根， 即ya=与( )yf x=，()1x 有两个交点， 由图象易知当且仅(1,2a时满足题意. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题. 二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，

17、共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 给已知a、bR，满足221ab+=，则（ ） A. 2ab+ B. 124a b+ C. 2ab D. 221222ab+ 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断 ABD选项；取1ab= 可判断 C 选项. 【详解】对于 AB 选项，由基本不等式1222 2aba b+=+，即124a b+，即2ab+ ， 当且仅当1ab= 时，等号成立，AB 正确； 对于 C选项，

18、当1ab= 时，则221ab+=，但1ab =，C错误； 对于 D选项，()22222222 20ababa b+=+ ，则22222 2aba b+， ()()222222 22222 2221ababa bab+ =+=，所以，221222ab+， 当且仅当1ab= 时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 10. 若函数( )sin()0,0,|2f xAxA=+的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 6= B. 函数( )f x的图像关于6x=对称 C. 函数( )f x的图像关于点5,06对称 D. ,02x 时，( )f x的值域为2,1 【答案】ABD 【解析】 【分

19、析】 根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【详解】由图像可知2A=，(0)2sin1f=，即1sin2=， 因为|2，803 ，则a与b的夹角为锐角 B. 已知a，b，c为两两非共线向量，若a ba c= ，则()acb C. 在三角形ABC中，若coscosaAbB=，则三角形ABC是等腰三角形 D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】 【分析】A：将已知条件两边同时平方，整理得到0a b ，结合平面向量的数量积的定义得到cos,0a b ，由平面向量的夹角范围可得,0,2a b ，进而可以判断

20、选项；B：将已知条件变形为()0abc=，结合平面向量数量积即可判断选项； C：结合正弦定理化简整理即可判断三角形形状； D：作出图形，证得PAOPBOPCO，即可得到AOBOCO=，结合三角形外心的性质即可判断. 【详解】A：因为abab+，两边同时平方，得()()22abab+，即222222aba baba b+ ，所以0a b ，因此cos,0a b ，因为,0,a b ，所以,0,2a b ，因此a与b的夹角为锐角或零角，故 A错误； B：因为a ba c= ，所以()0abc=，又因为a，b，c为两两非共线向量，则0,0abc，所以()acb，故 B正确； C：因为coscosaA

21、bB=，结合余弦定理得sincossincosAABB=，所以sin2sin2AB=，所以22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，所以角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误； D： 设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC的射影为O，所以PO 底面ABC，又因为AO 底面的 ABC，BO 底面ABC，CO 底面ABC，所以,POAO POBO POCO，又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAOPBOPCO= = ，所以PAOPBOPCO，所以AOBOCO=，所以点O是ABC的外心，故 D正确； 故选：BD. 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小

22、题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知实数0a ，0b ，121ab+=，则4312abab+的最小值是_. 【答案】74 3+ 【解析】 【分析】 利用4343121211ababab+=+，又121ab+=，得21211,1baba= =，代入利用基本不等式即可得出结果 【详解】由0,0ab， 得4343121211ababab+=+， 又121ab+=， 得21211,1baba= =， 则4343433212211211ababababba+=+=+=+， ()1226262632347727+4 3bababaababababab+=+=+=， 当且仅当26=baab时，即

23、32 3,233ab+=+取等号. 故答案为：74 3+. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14. 已知函数( )22xxf xa=+ 的图象关于原点对称，若3(21)2fx ，则x的取值范围为_ 【答案】1x 【解析】 【分析】先求得 a的值，再

24、利用函数单调性把不等式3(21)2fx 转化为211x ，解之即可求得x的取值范围. 【详解】定义在 R 上函数( )22xxf xa=+ 的图象关于原点对称， 则( )000220fa=+=，解之得1a = ，经检验符合题意 22xxyy= 、均为 R上增函数，则( )22xxf x=为 R上增函数， 又113(1)222f=， 则不等式3(21)2fx 等价于211x ，解之得1x 故答案为：1x 15. 设 P，E，F 分别是长方体1111ABCDABC D的棱AB，11AD，1AA的中点，且1112BCCCAB=，M是底面ABCD上的一个动点，若1D M平面PEF，则线段1B M长度的

25、最小值为_. 【答案】3 55#355 【解析】 【分析】如图所示，分别取1CC，11C D，BC的中点 Q，R，G，连接PG，QG，QR，ER，得到 M 在线段AC上运动，利用数形结合分析计算得解. 【详解】解：如图所示，分别取1CC，11C D，BC的中点 Q，R，G，连接PG，QG，QR，ER，易知E，F，P，G，Q，R 六点共面. 连接1AD，AC，1CD， 因为,/APPB BGGCPG AC=， 又/,/,PG ERER ACAC平面1ADC,ER 平面1ADC, 所以/ER平面1ADC.同理可证/EF平面1ADC, 因为,EREFE ER EF=平面EFPGQR， 所以平面1/A

26、DC平面EFPGQR， 故 M在线段AC上运动.要使线段1B M长度最小，需使BMAC. 此时BM ACAB BC=，得2 55BM =， 所以2123 5152 55B M=+. 故答案为：3 55 16. 在ABC中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则22Sabc+的最大值为_ 【答案】312 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值. 【详解】 2221sin1sin222cos2222cosbcASAbcabcbcbcAbcAcb=+ 1sin4cos2AA （当且仅当bc=时取等号）. 令sin,cosAyAx=，

27、故21242Syabcx +， 因为221xy+=，且0y ， 故可得点( , )x y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示： 目标函数2yzx=上，表示圆弧上一点到点(2,0)A点斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H，即60A =时，取得最小值33， 故可得3,023yzx= ， 又21242Syabcx +，故可得213324312Sabc =+， 当且仅当60 ,Abc=，即三角形为等边三角形时，取得最大值. 故答案为：312. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共

28、分小题，共分 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知非零向量a，b满足| | 2|abab=+. （1）求a，b的夹角的余弦值； （2）若|2| 2 6ab+=，求|a. 【答案】 （1）78； （2）4. 【解析】 【分析】 （1）将目标式平方后，根据| |ab=，结合数量积的运算律即可求得结果； （2）根据（1）中所求，结合数量积的运算律，即可求得结果. 【小问 1 详解】 因为| | 2|abab=+ 的 故可得：222224448abababa b=+=+， 则22288cos,aaaa b=+， 则7cos,8a b =

29、. 故a，b的夹角的余弦值为78. 【小问 2 详解】 由（1）可知：27cos,8a ba ba ba= ， 因为|2| 2 6ab+=，故可得224424aba b+=， 即23242a=，故可得4a =. 18. 如图，把正方形纸片 ABCD沿对角线 AC折成直二面角，点 E，F 分别为 AD，BC 的中点，点 O是原正方形 ABCD的中心. （1）求证：AB平面 EOF； （2）求直线 CD与平面 DOF 所成角的大小. 【答案】 （1）证明见解析 （2）30 【解析】 【分析】 （1）根据线面平行的判定定理可得证； （2）由线面角的定义可得直线 CD 与平面 DOF所成的角为CDF，

30、解三角形可求得答案. 小问 1 详解】 证明：点 O 是原正方形 ABCD 的中心，O为 AC的中点， 点 F为 BC的中点，/OF AB， 【 又OF 平面 EOF，AB /平面 EOF， /AB平面 EOF. 【小问 2 详解】 解：ABBC，/OF AB，ABOF， ADDC=，ODAC， 把正方形纸片 ABCD沿对角线 AC折成直二面角， OD平面 ABC， 又BC 平面 ABC， ODBC， ODOFO=， BC平面 DOF， 直线 CD与平面 DOF 所成的角为CDF， 1122CFBCCD=， 在Rt CDF中，1sin2CFCDFCD=， 30CDF=， 即直线 CD与平面 D

31、OF 所成角的大小为30. 19. 已知函数2( )sinsin3,0, f xxaxa x=+ （1）求( )f x的最小值( )g a； （2）若( )f x在0, 上有零点，求 a的取值范围 【答案】 （1）( )23,03, 2044,2aaag aaaa= + （2）3a 【解析】 【分析】 （1）化简函数( )22(sin)324aaf xxa=+ ，根据0, x，所以sin0,1x，分类讨论，即可求解函数的最小值； （2）由( )0f x =，可得2sin3(1 sin )xxa+=，当sin1x ，2sin31 sinxax+=，令sin0,1)tx=，则 231tat+=，利

32、用单调性，即可求解. 【小问 1 详解】 函数2( )sinsin3f xxaxa=+22sin324aaxa=+ 0, x， sin0,1x， 当2a时，则sin0 x =时，( )f x取得最小值( )3g aa=； 012a ，即20a ，则sin2ax = 时，( )f x取得最小值2( )34ag aa= +； 当12a即2a = + . 【小问 2 详解】 0, x，sin0,1x， 由( )0f x =，可得2sin3(1 sin )xxa+=， 令sin0,1tx=，则2(1)3att=+， 当1t =时，等式显然不成立，故1t ， 则231tat+=， 令1mt= ，则(0,

33、1m， 则2(1)342mmamm+=+， 由函数的单调性易得在(0,1上，a随 m 的增大而减小， 3a 20. 已知二次函数( )223f xmxx=，若不等式( )0f x + （2）已知实数()0,1a，且关于x的函数()()141,2xxyf aax+=的最小值为4，求a的值 【答案】 （1） （-，1）（2，+） ； （2）13 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式与二次方程之间的关系,结合根与系数的关系,求出m与n的值,再求出不等式的解集; (2)用换元法,得到函数2(42)3ytat=+,再求出最小值与已知最小值相等即可解得. 【详解】(1)因为二次函数( )223f x

34、mxx=，且不等式( )0f x 且1和n是一元二次方程2230mxx=的两根, 所以0m 且21nm +=,且31 nm = , 所以1m =,3n =, 所以()22411xxnmx+可化2320 xx+, 所以(2)(1)0 xx, 所以1x , 故()22411xxnmx+的解集为:(,1)(2,)+. (2)由(1)知2( )23f xxx=, 所以121()4()234xxxxxyf aaaaa+= 2()(42)3xxaaa=+(1,2)x, 设xta=,因为01a, 所以函数在2, aa上递减, 所以ta=,即1x =时,y取得最小值2(42)34aaa+= ,即23210aa

35、+ =, 解得13a =或1a = (舍去) 为 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,换元法.一元二次函数的最小值的求法,属于中档题. 21. ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，coscos2 cosaBbAcC+=，3c =. （1）求角 C； （2）求ABC 的外接圆的半径 R，并求ABC的周长的取值范围. 【答案】 （1）3 （2）1R =，(2 3,3 3 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理结合和角公式得出角 C； （2）由正弦定理得出1R =，由正弦定理的边化角公式得出()2sinsin3abcRAB+=+，结合三角函数的性质得出ABC的周长的取值范围. 【小

36、问 1 详解】 由题，因为coscos2 cosaBbAcC+= 所以由正弦定理可得sincossincos2sincosABBACC+= 即()sin2sincosABCC+= 在ABC中，ABC+=，且A，B，()0,C 又()sinsin0ABC+=，所以1cos2C =，则3C= 【小问 2 详解】 由正弦定理得22sincRC=，所以1R = 由（1）知23ABC+=，23BA=，20,3A 所以()22sinsin32 sinsin33abcRABAA+=+=+ 312 sincossin322AAA=+ 2 3sin36A=+ 因为5,666A+，所以1sin,162A+ 则(2

37、 3,3 3abc+ 即ABC的周长的取值范围为(2 3,3 3 22. 如图所示，AD是ABC的一条中线，点 O满足2AOOD=，过点 O的直线分别与射线AB、射线AC交于 M、N 两点， （1）求证：1122ADABAC=+ ； （2）设AMmAB= ，ANnAC=，0m ，0n ，求11mn+的值； （3）如果ABC是边长为 2的等边三角形，求22OMON+的取值范围 【答案】 （1）证明见解析； （2）3； （3）8,9+. 【解析】 【分析】 （1）以,AB AC为基底，根据线性运算求证即可； （2）由,M O N三点共线可设MOON= ，根据向量线性运算求出,m n，即可求解； （

38、3）由余弦定理可求出22,OMON,计算22OMON+，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 （1）证明：因为 D是BC中点， 1111()2222ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+=+ ； （2）因为 M、O、N三点共线，故存在实数，使得MOON= ， 即()AOAMANAO= ，整理得11111mnAOAMANABAC=+=+ ， 由（1）知11211,22333ADABAC AOADABAC=+=+ ， 根据平面向量基本定理，1,131,13mn= +=+，1133311mn+=+=+； （3）因为ABC是边长为 2的等边三角形，故2AMm=，2 33AO =， 在AOM中，由余弦定理，222212cos3043OMAMAOAMAOmm=+=+ 在AOM中，同法可得22143ONnn=+， 故2222243OMONmnmn+=+ 224 ()()23mnmnmn=+ 由（2）知113mn+=，得3mnmn+=， 故222222514 ()()()433636OMONmnmnmnmn+=+=+， 由基本不等式，232mnmnmn+=，43mn+， 当且仅当43mn+=，即23mn=，时，22OMON+取最小值89， 故22OMON+的取值范围是8,9+