广东省广州市广附三校2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

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1、 2020-2021 学年广东省广州市广附、广外、铁一三校高一（上）学年广东省广州市广附、广外、铁一三校高一（上）期末数学试卷期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1若扇形的弧长为 2cm，半径为 1cm，则其圆心角的大小为（ ） A2 B4 C2 D4 2 设集合 AxN|2x4， Bx|yln （x23x） ， 则集合 AB 中元素的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 3已知向量，且，则 sin2+cos2 的值为（ ） A1 B2 C D3 4 周期为 的函数 ycos （x+） （0， 0） 的部分图象如图所示， 则 （ ） A B C D 5已知

2、函数 yf（x）在1，1上单调递减，且函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，设，bf（2），cf（3），则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 6研究表明，当死亡生物组织内的碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了若某一死亡生物组织内的碳 14 经过 n（nN）个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳 14 了，则 n 的最小值是（ ） A9 B10 C11 D12 7已知向量，（其中 m0，n0），若 与 共线，则的最小值为（ ） A B3 C D9 8已知函数（，xR），若 f（x）的图象的任何一条对称轴 与

3、 x 轴交点的横坐标均不属于区间（3，4），则 的取值范围是（ ） A B C D 二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 小题）小题）. 9若 0a1，则（ ） Aloga （1a）loga （1+a） Bloga（1+a）0 C Da1a1 10将函数 f（x）2sinx 的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 g（x）的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A函数 g（x）在区间增函数 B将函数 g（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称 C点是函数 g（x）图象的一个对称中心 D函数 g（x）在，2上的最大值为 1 11设 ， 是两

4、个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A若，则存在实数 使得 B若，则 C若，则 D若 与 的方向相反，则 12已知函数 f（x）x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A函数 f（sinx）是奇函数，且在上是减函数 B函数 sin（f（x）是奇函数，且在上是增函数 C函数 f（cosx）是偶函数，且在（0，1）上是减函数 D函数 cos（f（x）是偶函数，且在（1，0）上是增函数 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （1，）， （1，0），则| +3 | 14若函数的最小正周期为，则 的值为 15已知命题 p：（xm）29，命题 q：log4（x+3）1，若 p 是

5、 q 的必要不充分条件则实数 m 的取值范围是 16设函数 f（x），方程 f（x）m 有四个不相等的实数根 x1，x2，x3，x4，则 x12+x22+x32+x42的取值范围为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，其余各题分别分，其余各题分别 12 分，共分，共 70 分）分） 17（1）计算：（log43+log83）（log32+log92）； （2）求的值 18已知函数，f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为 （1）求 的值； （2）若，求的值 19已知向量， （1）若，向量，求 在 上投影； （2）若函数的最大值为，求实数 的值 2

6、0已知函数 f（x）m2x+23x，mR （1）当 m9 时，求满足 f（x+1）f（x）的实数 x 的范围； （2）若对任意的 xR 恒成立，求实数 m 的范围 21已知二次函数 f（x）x216x+q+3 （1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数 q 的取值范围； （2）问：是否存在常数 t（t0），当 xt，10时，f（x）的值域为区间 D，且 D 的长度为 12t（定区间a，b（ab）的长度为 ba） 22已知函数 （1）证明 f（x）为奇函数； （2）判断 yf（x）的单调性并写出证明过程； （3）当 a1 时，关于 x 的方程在区间0，上有唯一实数解，求 a 的取值范围 参考答案

7、参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1若扇形的弧长为 2cm，半径为 1cm，则其圆心角的大小为（ ） A2 B4 C2 D4 解：设扇形的圆心角的弧度数为 ， 由已知及弧长公式可得：21， 解得 2 故选：C 2 设集合 AxN|2x4， Bx|yln （x23x） ， 则集合 AB 中元素的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 解：集合 AxN|2x40，1，2，3，4， Bx|yln（x23x）x|x0 或 x3， AB4， 则集合 AB 中元素的个数为 1 故选：A 3已知向量，且，则 sin2+cos2 的值为（ ） A1 B2 C D3 解：由题意

8、可得 sin2cos0，即 tan2 sin2+cos21， 故选：A 4 周期为 的函数 ycos （x+） （0， 0） 的部分图象如图所示， 则 （ ） A B C D 解：根据函数 ycos（x+）（0，0）的部分图象，可得 A1 再根据它的周期为 ，2 再根据五点法作图，可得 2+， 故选：C 5已知函数 yf（x）在1，1上单调递减，且函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，设，bf（2），cf（3），则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 解：根据题意，函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，则 f（）f（）， 又由函数 yf（x）在1，1

9、上单调递减，则 f（x）在1，3上递增， 则有 f（2）f（）f（）f（3），即 bac， 故选：D 6研究表明，当死亡生物组织内的碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了若某一死亡生物组织内的碳 14 经过 n（nN）个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳 14 了，则 n 的最小值是（ ） A9 B10 C11 D12 解：根据题意， 即 2n1000，nN； 所以 n 的最小值是 10 故选：B 7已知向量，（其中 m0，n0），若 与 共线，则的最小值为（ ） A B3 C D9 解：因为向量，且 与 共线， 所以（m3）2n0，m+2n3；

10、 又因为 m0，n0， 所以（+）（m+2n）（4+1+）（5+2）（5+4）3， 当且仅当，即 m4n2 时取等号， 所以的最小值为 3 故选：B 8已知函数（，xR），若 f（x）的图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标均不属于区间（3，4），则 的取值范围是（ ） A B C D 解：函数（，xR）， 若 f（x）的图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标均不属于区间（3，4）， 43，1，故排除 A、B 由 f（x）的任何一条对称轴与 x 轴的交点的横坐标不属于区间（3，4），可得 k+3，且 k+4， 求得 ，kZ， 当 k0 时，不符合，1， 当 k1 时，符合题意， 当 k

11、2 时，符合题意， 当 k3 时，不符合1，故 C 正确，D 错误 故选：C 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分）分） 9若 0a1，则（ ） Aloga （1a）loga （1+a） Bloga（1+a）0 C Da1a1 解：若 0a1，则 1+a1a0，loga （1a）loga （1+a），故 A 错误； 若 0a1

12、，则 1+a1，则 loga（1+a）0，故 B 正确； 若 0a1，则 11a0，故 C 错误； 若 0a1，a1aa01，故 D 正确， 故选：BD 10将函数 f（x）2sinx 的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 g（x）的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A函数 g（x）在区间增函数 B将函数 g（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称 C点是函数 g（x）图象的一个对称中心 D函数 g（x）在，2上的最大值为 1 解：函数 f（x）2sinx 的图象向左平移个单位长度，得到 y2sin（x+）的图象，然后纵坐标不变，横坐标

13、变为原来的 2 倍，得到 g（x）2sin（）的图象， 对于 A：由于， 所以， 故函数 g（x）在区间增函数，故 A 正确； 对于 B： 函数 g （x） 2sin （） ） 向右平移个单位， 得到 h （x） 2sin （）2cos的图象，由于 h（x）h（x）故函数的图象关于 y 轴对称，故 B 正确； 对于 C：当 x时，g（）2sin（）0，故 C 错误； 对于 D：由于 x，2， 所以， 当 x 时，函数取最大值，故 D 错误 故选：CD 11设 ， 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A若，则存在实数 使得 B若，则 C若，则 D若 与 的方向相反，则 解：对于 A：，两边

14、平方可得 2+2 +222| | |+| |2， 所以 | | |， 而 | | |cos ， ， 所以| | | | |cos ， ， 所以 cos ， 1，所以 ， 180， 所以 与 共线且方向， 所以 0 时， ，故 A 正确， 对于 B：因为 ， 所以 0， 对| + | |两边平方可得2+2+222+2，成立，故 B 正确， 对于 C：对 两边平方可得2+2 +22+2| | |+| |2， 所以 | | |， 所以| | |cos ， | | |， 所以 cos ， 1，即 ， 0， 所以 与 同向，但 不一定等于 ，故 C 错误， 对于 D：由 A 选项可知，只有当 0 且|

15、| |时，才有，故 D 不正确 故选：AB 12已知函数 f（x）x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A函数 f（sinx）是奇函数，且在上是减函数 B函数 sin（f（x）是奇函数，且在上是增函数 C函数 f（cosx）是偶函数，且在（0，1）上是减函数 D函数 cos（f（x）是偶函数，且在（1，0）上是增函数 解：根据题意，f（x）x|x|，则 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数， 依次分析选项： 对于 A，对于 f（sinx），其定义域为 R，fsin（x）f（sinx）f（sinx），则 f（sinx）为奇函数， 设 tsinx， 在 （， ） 上， tsinx 为增函数， f

16、（x） 也是增函数， 则 f （sinx） 在上是增函数，A 错误， 对于 B，对于 sinf（x），其定义域为 R，sinf（x）sinf（x）sinf（x），则 sinf（x）为奇函数， 设 tf（x），在（，）上，f（x）为增函数，且t，ysinx 在（，）上也是增函数，则函数 sinf（x）在上是增函数， B 正确； 对于 C，对于 f（cosx），其定义域为 R，fcos（x）f（cosx），则 f（cosx）为偶函数， 设 tcosx，在区间（0，1）上，tcosx 为减函数，而 f（x）是增函数，则函数 f（cosx）在（0，1）上是减函数， C 正确； 对于 D，对于 cosf

17、（x），其定义域为 R，有 cosf（x）cosf（x）cosf（x），cosf（x）为偶函数， 设 tf（x），在（1，0）上，f（x）为增函数且1t0，ycosx 在（1，0）也是增函数，则 cosf（x）在（1，0）上是增函数，正确， 故选：BCD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分）分） 13已知向量 （1，）， （1，0），则| +3 | 解：向量， 则 +3 （2，）， 所以4+37， 所以 故答案为： 14若函数的最小正周期为，则 的值为 2 解：， f（x）cosxsinxsin2x， 最小正周期 T， 解得 2

18、故答案为：2 15已知命题 p：（xm）29，命题 q：log4（x+3）1，若 p 是 q 的必要不充分条件则实数 m 的取值范围是 （2，0） 解：因为命题 p：（xm）29，所以 m3xm+3， 因为命题 q：log4（x+3）1log44，所以 0 x+34，即3x1， 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以（3，1）（m3，m+3）， 即，解得2m0， 所以实数 m 的取值范围是（2，0） 故答案为：（2，0） 16设函数 f（x），方程 f（x）m 有四个不相等的实数根 x1，x2，x3，x4，则 x12+x22+x32+x42的取值范围为 （20，20.5） 解：2x4 时，f

19、（x）f（4x）， f（x）在（2，4）与（0，2）上的图象关于 x2 对称， 做出图象如右：不妨令 x1x2x3x4， 可得 x1+x4x2+x34，lnx1lnx2，x1x21， x1，x44，x34x2， x12+x22+x32+x42 +x22+（4x2）2+（4）2 2（x2+）28（x2+）+28，x2（1，2）， 令 tx2+（2，）， 则原式化为：h（t）2t28t+28，t（2，）， 其对称轴 t2，开口向上，故 h（t）在（2，）递增， 20h（t）20.5， x12+x22+x32+x42的取值范围是（20，20.5）， 故答案为：（20，20.5） 四、解答题（本大题共

20、四、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，其余各题分别分，其余各题分别 12 分，共分，共 70 分，解答应写分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤）出必买的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（1）计算：（log43+log83）（log32+log92）； （2）求的值 解：（1）（log43+log83）（log32+log92） （log6427+log649）（log94+log92） log64243log98 （2） cos（3）sin（5+）+tan（） cos+sin+tan tan 18已知函数，f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为 （1

21、）求 的值； （2）若，求的值 解：（1）f（x）2（sinx+cosx）2sin（x+）， f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为， 即，即 T， 得 2 （2）2，f（x）2sin（2x+）， ，2sin（2+）， 得 sin（2+）， 设 2+，则 sin，且 2， 则sin2（）sin（2+）sin（2）sin（2）cos2（12sin2）1+2 19已知向量， （1）若，向量，求 在 上投影； （2）若函数的最大值为，求实数 的值 解：（1）当时， 因为向量， 所以， 所以 在 上投影为； （2） ， 因为， 所以， 又 0， 所以当，即时，f（x）取得最大值为， 所以 1 20已知

22、函数 f（x）m2x+23x，mR （1）当 m9 时，求满足 f（x+1）f（x）的实数 x 的范围； （2）若对任意的 xR 恒成立，求实数 m 的范围 解：（1）当 m9 时，f（x）92x+23x， f（x+1）f（x），即为 23x+192x+123x92x， 化简可得，2x23x2，即为（）x21（）0， 即有 x20， 解得，x2； （2）由恒成立，即为 m2x+23x（）x， 可得， 令， 即有 mt22t 的最小值， 由（t22t）min1， 可得 m1，即实数 m 的范围是（，1 21已知二次函数 f（x）x216x+q+3 （1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数 q

23、的取值范围； （2）问：是否存在常数 t（t0），当 xt，10时，f（x）的值域为区间 D，且 D 的长度为 12t（定区间a，b（ab）的长度为 ba） 解：（1）二次函数 f（x）x216x+q+3 的对称轴是 x8 函数 f（x）在区间1，1上单调递减 要使函数 f（x）在区间1，1上存在零点，须满足 f（1）f（1）0 即（1+16+q+3）（116+q+3）0 解得20q12 所以使函数 f（x）在区间1，1上存在零点的实数 q 的取值范围是20，12； （2）当时，即 0t6 时，f（x）的值域为：f（8），f（t）， 即q61，t216t+q+3 t216t+q+3（q61）t

24、216t+6412t t215t+520， 经检验不合题意，舍去 当时，即 6t8 时，f（x）的值域为：f（8），f（10）， 即q61，q57 q57（q61）412t t8 经检验 t8 不合题意，舍去 当 t8 时，f（x）的值域为：f（t），f（10）， 即t216t+q+3，q57 q57（t216t+q+3）t2+16t6012t t217t+720，t8 或 t9 经检验 t8 或 t9 满足题意， 所以存在常数 t（t0），当 xt，10时，f（x）的值域为区间 D，且 D 的长度为 12t 22已知函数 （1）证明 f（x）为奇函数； （2）判断 yf（x）的单调性并写出证

25、明过程； （3）当 a1 时，关于 x 的方程在区间0，上有唯一实数解，求 a 的取值范围 【解答】证明：（1）因为|x|x， 所以0 恒成立，故函数定义域 R， f（x）+f（x）ln（x）+ln（+x）ln10， 故 f（x）f（x）， 所以 f（x）为奇函数， （2）函数的定义域为 R， 设 x1x20， 则， 所以+x2， 所以 f（x1）f（x2）， 所以 f（x）在 R 上单调递增， （3）由（1）得f（0）且 yf（x）在 R 上单调递增， 所以0， 整理得，a（sinx+cosx）sinxcosxa20， 令 h（x）a（sinx+cosx）sinxcosxa2，x0，a1， 令 tsinx+cosx，则 t1，sinxcosx， F（t），a1 在1，1）内有一个零点，1，）没有零点， 又 F（t）在1，1）上为增函数， （i）若 F（t）在1，1）内有且只有一个零点，1，）无零点， 则，解得 1， （ii）若为 F（t）的零点，1，）无零点，则a20， 解得，a， 又 a1， 则 a， 综上，1或 a，