194一元二次方程根与系数的关系.ppt

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1、22.2.4 一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系（韦达定理）（韦达定理）一元二次方程一元二次方程 复习复习一般形式：直接开平方法配方法公式法因式分解法2()0 xab b222022bbxbxxc c2402bbacxa ()()0 xa xbax2+bx+c=0 (a0)解法：解法：1.1. 填表填表 方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 x2-3x+2=0 X2-2x-3=0 X2-5x +4=0问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？ 当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1, x2 则有则有qPxxxx2121.2,132-1,32-3

2、1,454ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且 a=0 ）的两根为x1、x2，则 x1.x2与系数a，b，c 的关系。xx21042 acbabxx21acxx21一元二次方程根与系数关系的证明：一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=acax2+bx+c=0（a0 ）的两根 x1，x2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=- x1.x2= 042 acb一元二次方程根与系数一元二次方程根与系数的关系是

3、法国数学家的关系是法国数学家“韦达韦达”发现的发现的,所以我们所以我们又称之为又称之为韦达定理韦达定理.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；(2)一元二次方程有根. 即( ) (3)在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写。ab042 acb1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例例1：根据一元二次方程的根与系数的关

4、系，求：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根下列方程两根 , 的和与积的和与积1X2X解解（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根 , 的和与积（口答）1X2X练习练习2已知关于已知关于x的方程的方程012) 1(2mxmx当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数.11分析分析:1.0121mxx2.11221 mxx例2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x2

5、22111xx解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-332(1)2111xx= 2121xxxx =332=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )232 -2(-3)694 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含一般先将所求的代数式化成含两根之和两根之和,两根之积两根之积的形式的形式,再整体代入再整体代入.变式变式 练习练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。) 1)(1(21xx2112xxxx（2） （1）（）

6、（x1- x2）2例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。x x2 2+kx-4=0+kx-4=0的一个的一个根是根是-4-4，求它的另一个根及，求它的另一个根及k k的值。的值。答：方程的另一个根是 k的值是7。解解:设方程的另一根为了设方程的另一根为了 ,则则2x2442422xxk7212kx211、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k

7、的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021 k由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=02 2 方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。的取值范围。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16 解： 由根与系数的关系，得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325