2022年线性代数期末练习题 .pdf

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1、多练出技巧巧思出硕果工程数学练习题一、概念题： () 1、若 AB=AC ，A可逆，则 B=C 。（）2、若 AB=0,则 A=0或 B=0 ( ) 3、奇数阶反对称行列式的值一定为零。（）4、AX=b有唯一解的充分必要条件是秩(A)=n. ( ) 5、AX=b有解的充分必要条件是秩(A)= 秩(A). ( ) 6、若是 A的特征值 , 则A*的特征值为 n-1. ( ) 7、四个五维向量一定线性无关. ( ) 8、向量 组线性无关，添加向量仍 线性无关 . ( ) 9、设 A为基到基的 过渡矩阵 , 向量在基下的坐 标为 X、在基下的坐 标为 Y，则 X=AY. ( ) 10、二次型正定的充

2、分必要条件是它所对应的实对称矩阵的特征值全大于零. ( ) 11、设 A为 3 阶方阵， A=1/3，则*11271AA）（(A) 、81 (B)、18 (C) 、128 (D)、88 12、已知 1,2是 AX=b 的两个特解， 1, 2是 AX=0的一个基础解系 ,k1,k2为任意常数 ,则 AX=b的通解为 ( ) (A) 、k11+k2( 1+2)+221 (B)、k11+k2(1- 2)+221 (C) 、k11+k2( 1+2)+221 (D) 、 k11+k2(1- 2)+22113、下列等式成立的是： ( ) (A) 、(A+B)2=A2+2AB+B2 (B)、(kA)-1=k

3、A-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果 (C) 、(A*)-1=(A-1)* (D)、00BA=AB14、设 P为三阶非零矩阵 ,Q=96342321t, 且满足 PQ=0,则秩(P)=( ) (A) 、t=6 时, 秩(P)=1 (B)、t=6 时, 秩(P)=2 (C) 、t 6 时, 秩(P)=1 (D)、t 6 时, 秩(P)=2 15、设 A的特征值为 3,-3,2,则A2+6A+5E =( ) (A) 、-18 (B)、18 (C) 、-2688 (D)、2688 16、 ：，BA2

4、12132A=18，B=2，求 A-B=_ 17、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 己知 1, 2, 3是它的 3 个解向量 , 其中1=8991, 2+3=9991, 则通解为 _18、设1, 2, s是非齐次线性方程组AX=b的解, 若 k11+k22+kss也是非齐次线性方程组AX=b的解, 则 k1,k2, ks应满足条件 _. 19、若向量组可由向量组线性表出, 则的秩 _的秩 . 20、二次型正定的充分必要条件是正惯性指数为_ 21、 设 A为 4 阶方阵, 满足条件 8E+A =0,AAT=2E,A0, 则 A*的一个特征 值为_ 22、设 A的特征 值为 2,4, ,

5、2n, 则A+E =_ 23、判别负定矩阵的方法为 _ 24、正交矩 阵 A 的行列式的值为 _ 25、属于 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是_ 26、等价的矩阵的行列式 _ 27、初等矩阵的定义为 _ 28、矩阵的行秩与矩阵的列秩_ 29、若 A,B 均可逆 , 则10BCA=_ 30、若 A,B,C 均可逆 , 则1000000ABC=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果二、计算题： () 1、计算行列式、6741212060311512、4321axxxxxaxxxxxaxxxxxax2

6、、求逆矩阵或解矩阵方程、1302313512343122321x、 己知 A-1=1*311121111），求（A3、计算、设=321, =31211,A=T, 求 An、已知 AP=PB ，其中 B=100000001，P=112012001，求 A及 A5. 、设三阶矩阵 A的特征值为 1,2,3, 对应的特征向量依次为1=111, 2=421, 3=931,向量 =311,求 An . 、设向量组1=4321, 2=1234, 3=74124=3113求它的极大线性无关组与秩, 并用极大线性无关组把其余的向量线性表出 . 4、基与坐 标 、求基1=111，2=110，3=100到基 1=

7、101，2=110，3=021的过渡矩阵 A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果、设 R3中向量 在基1=121,2=332,3=173为321,求在基1=413,2=125,3=611下的坐标 .5、二次型、求 A=324262423特征值与特征向量。、己知二次曲面方程：X21+aX22+X23+2bX1X2+2X1X3+2X2X3=4 可以 经过正交变换 X=PY化为椭圆柱面方程Y22+4Y23=4,求 a,b 的值和正交矩阵 P. 三、证明题： () 26、A满足 A2=A,证明： A=0

8、或 A=E 27、 设 A是 m n 矩阵， B是 ns矩阵, 证明：若 AB=0,则 r(A)+r(B)n. 28、己知向量组1=110, 2=12a, 3=01b与向量组 1=321, 2=103, 3=769具有相同的秩 , 且3可由 1,2, 3线性表出 , 证明 a=15,b=5. 29、设 A 为 3 阶正交矩阵 , A 0,B 是 3阶方阵 , B-A=4, 证明： E-ABT=4 30、设 1,2,3线性无关，证明：1+2,2+3,3+1也线性无关31、 设 A为 n 阶方阵 ,A2+2A-3E=0, 证明：A-2E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果可逆 , 求逆 . 32、设 A是 n 阶矩阵 , 满足 AAT=E,A 0,证明： A+E =0 33、设 A为 n 阶可逆矩阵， AB, 证明：A*B*. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页