2022年函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数的周期性练习题一选择题（共15小题）1定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x） ，f（x2）=f（x+2）且 x （1，0）时， f（x）=2x+ ，则 f（log220）=（）A1 BC1 D2设偶函数 f（x）对任意 x R，都有 f（x+3）=，且当 x 3，2时，f（x）=4x，则 f（107.5）=（）A10 BC10 D3设偶函数 f（x）对任意 x R 都有 f（x）=且当 x 3，2时 f（x）=4x，则 f（119.5）=（）A10 B10 CD4若 f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则 f（8）f（4

2、）的值为（）A1 B1 C2 D25已知 f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x （0，2时，f（x）=2x+log2x，则 f（2015）=（）A2 BC2 D5 6设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则 f（2014）+f（2015）=（）A3 B2 C1 D07已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数， 并满足：，当 2 x 3，f（x）=x，则 f（5.5）=（）A5.5 B5.5 C2.5 D2.5 8奇函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x） ，当 x （0，1）时，f（x）=3x+ ，则 f（log354）=（

3、）A2 B CD2 9定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）=0，且周期是 4，若 f（1）=5，则 f（2015） （）A5 B5 C0 D310f（x）对于任意实数 x 满足条件 f（x+2）=，若 f（1）=5，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页精品资料欢迎下载f（f（5） ）=（）A5 BCD5 11已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+5）=f（x5） ，且 0 x 5 时，f（x）=4x，则 f（1003）=（）A1 B0 C1 D2 12函数 f（x）是 R 上最小正周期为

4、 2 的周期函数，当 0 x2 时 f（x）=x2x，则函数 y=f（x）的图象在区间 0，6上与 x 轴的交点个数为（）A6 B7 C8 D913已知函数 f（x）是定义在（ ，+）上的奇函数，若对于任意的实数 x 0，都有 f（x+2）=f（x） ，且当 x 0，2）时，f（x）=log2（x+1） ，则 f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为（）A1 B2 C2 D1 14已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x 0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，则方程f（x）= 在3，4解的个数（）A4B8C9D10 15已知最小正周期为2 的函数 f（x）在区间

5、 1，1上的解析式是 f（x）=x2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A3 B4 C5 D6二填空题（共10小题）16已知定义在 R 上的函数 f（x） ，满足 f（1）= ，且对任意的 x 都有f（x+3）=，则 f（2014）=17若 y=f（x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f（x）是偶函数，当 x 0，1时，f（x）=2x1，则函数 g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为18定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=，则 f（2013）的值为19定义在 R 上的函数 f （x）的图象关于点 （ ，

6、0）对称，且满足 f （x）=f （x+ ） ，f （1）=1，f （0）=2，则 f （1）+f （2）+f （3）+ +f （2010）的值为 =20定义在 R 上的函数 f（x）满足：，当 x （0，4）时，f（x）=x21，则 f（2011）=21定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） 当3 x1 时，f（x）=（x+2）2，当 1 x3 时，f（x）=x则f（1）+f（2）+f（3）+ +f（2012）=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载22若函数 f（x）是周期为 5

7、 的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则 f（8）f（14）=23设 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数， 若 f（2）1，f（2014）=，则实数 a 的取值范围是24设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时，f（x）=2x（1x） ，则=25若 f（x+2）=，则 f（+2）?f（14）=一选择题（共15小题）1 【解答】 解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x） ，函数 f（x）为奇函数又f（x2）=f（x+2）函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又log232log220log216 4log2205 f（log220）=f（lo

8、g2204）=f（log2）=f（log2）=f（log2）又x （1，0）时， f（x）=2x+ ，f（log2）=1 故 f（log220）=1 故选 C 2【解答】解： 因为 f （x+3） =， 故有 f （x+6） =f（x） 函数 f（x）是以 6 为周期的函数f（107.5）=f（6 17+5.5）=f（5.5）=故选 B 3 【解答】 解：函数 f（x）对任意 x R 都有 f（x）=，f（x+3）=，则 f（x+6）=f（x） ，即函数 f（x）的周期为 6，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品

9、资料欢迎下载f（119.5）=f（20 60.5）=f（0.5）=，又偶函数 f（x） ，当 x 3，2时，有 f（x）=4x，f（119.5）=故选： C4 【解答】 解：f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数， f（x）=f（x） ，f（1）=f（1） ，可得 f（1）=f（1）=1，因为 f（2）=f（2） ，可得 f（2）=f（2）=3，f（8）=f（85）=f（3）=f（35）=f（2）=3，f（4）=f（45）=f（1）=1，f（8）f（4）=3（ 1）=2，故选 C；5 【解答】 解： f（x）的周期为 4，2015=4 5041，f（2015）=f（1） ，又 f（x）是定义在

10、 R 上的奇函数，所以 f（2015）=f（1）=21log21=2，故选： A6 【解答】 解：由图象知 f（1）=1，f（1）=2，f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，f（2014）+f（2015）=f（1）+f（1）=1+2=3，故选： A 7 【解答】解：，=f（x）f（x+4）=f（x） ，即函数 f（x）的一个周期为4 f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）f（x）是定义在 R 上的偶函数f（5.5）=f（1.5）=f（1.5）=f（1.5+4）=f（2.5）当 2 x 3，f（x）=x f（2.5）=2.5 f（5.5）=2.5 故选 D 8 【解答】 解：

11、f（x+2）+2=f（x+2）=f（x） ，f（x）是以 4 为周期的奇函数，又，f（log354）=2，故选： A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载9 【解答】 解：在 R上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）=0 则：f（x）=f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以 f（2015）=f（504 41）=f（1）=f（1）=5 故选： B 10 【解答】 解：f（x+2）=f（x+2+2）=f（x）f（x）是以 4 为周期的函数f（5）=f（1+4）=f（1）=5 f（f（5） ）=f

12、（5）=f（5+4）=f（1）又f（1）=f（f（5） ）=故选 B 11 【解答】 解： f（x+5）=f（x5） ，f（x+10）=f（x） ，则函数 f（x）是周期为 10 的周期函数，则 f（1003）=f（1000+3）=f（3）=43=1，故选： C12 【解答】 解：当 0 x2 时，f（x）=x2x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（x）=0 在区间 0，6）上解的个数为 6，又因为 f（6）=f（0）=0，故 f（x）=0在区间 0，6上解的个数为 7，即函数 y=f（x）的图象在区间 0，6上与 x 轴的交点的个数为

13、7，故选： B13 【解答】 解：f（x+2）=f（x） ，f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，f（x）为 R 上的奇函数， f（2015）=f（2015）=f（1）=1f（2014）+f（2015）+f（2016）=01+0=1故选 A14 【解答】 解：由题意知， f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0，3）时， f（x）=|2x24x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与 y= 的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与 y= 在区间 3，4上有 10 个交点（互不相同），所以方程f（x）= 在3，4解的个数是 10 个，故选： D15 【解答

14、】 解：函数 f（x）的最小正周期为2，f（x+2）=f（x） ，f（x）=x2，y=g（x）=|log5x| 作图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为 5，故选： C 二填空题（共10小题）16 【解答】 解：对任意的 x 都有 f（x+3）=，f（x+6）=f（x） ，函数 f（x）为周期函数，且周期T=6，f（2014）=f（335 6+4）=f（4）=f（1+3）=5 故答案为： 5 17【解答】

15、解：当 x 0，1时，f（x）=2x1，函数 y=f（x）的周期为 2，x 1，0时，f（x）=2x1，可作出函数的图象；图象关于y 轴对称的偶函数y=log5|x|函数 y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当 x5 时，y=log5|x|1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x0 上有 4 个交点，由对称性知它们在x0 上也有 4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为 8；故答案为 8；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载18 【解答

16、】 解：由分段函数可知，当x0 时，f（x）=f（x1）f（x2） ，f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1） ，f（x+1）=f（x2） ，即 f（x+3）=f（x） ，f（x+6）=f（x） ，即当 x0 时，函数的周期是6f（2013）=f（335 6+3）=f（3）=f（0）=log2（80）=log28=3，故答案为： 319 【解答】解：由 f （x）=f （x+ ）得 f （x+3）=f（x+ ）+ =f （x+ ）=f （x）.所以可得 f （x）是最小正周期 T=3 的周期函数；由 f （x）的图象关于点（，0）对称，知（ x，y）的对称点是（x，y）

17、 即若 y=f （x） ，则必 y=f （x） ，或 y=f （x） 而已知 f （x）=f （x+） ，故 f （x）=f （x+ ） ，今以 x 代 x+ ，得 f （x）=f （x） ，故知 f （x）又是 R 上的偶函数于是有：f （1）=f （1）=1；f （2）=f （23）=f （1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=2；f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续 3 项之和为 0而 2010=3 670，于是 f （2010）=0；故答案为 020 【解答】 解：由题意知，定义在R 上的函数 f（x）有，则令 x=x+2 代入得， f（x+4）=f（x） ，

18、函数 f（x）是周期函数且 T=4，f（2011）=f（4 502+3）=f（3） ，当 x （0，4）时， f（x）=x21，f（3）=8即 f（2011）=8故答案为：8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载21 【解答】 解：当 3 x1 时，f（x）=（x+2）2，f（3）=1，f（ 2）=0，当 1 x3时，f（x）=x，f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又f（x+6）=f（x） 故 f（3）=1，f（4）=0，f（5）=1，f（6）=0，又2012=335 6+2，故

19、f（1）+f（2）+f（3）+ +f（2 012）=335 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为： 338 22 【解答】 解：由题意可得， f（8）=f（810）=f（2）=f（2）=2，f（14）=f（1415）=f（1）=f（1）=1，故有 f（8）f（14）=2（ 1）=1，故答案为 123 【解答】 解：解：由 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（x+3）=f（x） ，f（x）=f（x） ，f（2014）=f（3 6722）=f（2）=f（2） ，又 f（2）1，f（2014） 1，即1

20、，即为0，即有（ 3a2） （a+1） 0，解得， 1a ，故答案为：24 【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时，f（x）=2x（1x） ，=f（）=f（ ）=2 （1）=，故答案为：25 【解答】 解：由题意可得 f（+2）=sin=sin（6 ）=sin=，同理可得 f（14）=f（16+2）=log216=4，f（+2）?f（14）= 4=，故答案为：三解答题（共5 小题）26 【解答】 （1）证明： f（x+2）=f（x） ，f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，f（x）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当 x 2，0时， x 0，2，由已知得 f（x）=

21、2（x）（ x）2=2xx2，又 f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=2xx2，f（x）=x2+2x，又当 x 2，4时，x4 2，0，f（x4）=（x4）2+2（x4） ，又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（x）=f（x4）=（x4）2+2（x4）=x26x+8，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载从而求得 x 2，4时，f（x）=x26x+8；（3）解： f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=1，又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f

22、（4）+f（5）+f（6）+f（7）= =f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2 004）=0+f（2004）=027 【解答】 解： （1）当 x 1，0时， x 0，1，又 f（x）是偶函数则，x 1，0（2），1log32 0，1，即28 【解答】 解： （1）令 x 1，0） ，则x （0，1，f（x）=2x1又f（x）是奇函数， f（x）=f（x） ，f（x）=f（x）=2x1，（2）f（x+4）=f（x） ，f（x）是以 4 为周期的周期函数，29 【解答】 解：函数 f（x）的周期为 3，f（2014）=

23、f（671 31）=f（1） ，函数 f（x）是奇函数，f（1）=f（1）=（121+2）=2，f（2014）=230 【解答】 解； （1）因为奇函数 f（x）的定义域为 R，周期为 2，所以 f（1）=f（1+2）=f（1） ，且 f（1）=f（1） ，于是 f（ 1）=0（2 分）当 x （1，0）时， x （0，1） ，f（x）=f（x）=（2x+2x）=2x2x （5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载所以 f （x） 在1， 0） 上的解析式为（7 分）（2）f（x）在（ 2，1）上是单调增函数 （9 分）先讨论 f（x）在（ 0，1）上的单调性设 0 x1x21，则因为 0 x1x21，所以，于是，从而 f（x1）f（x2）0，所以 f（x）在（0，1）上是单调增函数 （12 分）因为 f（x）的周期为 2，所以 f（x）在（ 2，1）上亦为单调增函数 （14分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页