2022年函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函函数数的的定定义义域域、值值域域、单单调调性性、奇奇偶偶性性、对对称称性性、反反函函数数、伸伸缩缩平平移移变变换换、零零点点问问题题知知识识点点大大全全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05 江苏卷）函数20.5log(43 )yxx的定义域为 _ 2、求函数定义域的两个难点问题（1）知道 f(x)的定义域（ a，b） ，求 f(g(x) 的定义域：转化为解不等式ag(x)b；（2）知道 f(g(x)

2、 ）的定义域 (a，b)，求 f(x)的定义域：转化为求g(x)的值域。例 3： （1）( )x已知 f的定义域是 -2,5,求f(2x+3) 的定义域。（2）(21)xx已知 f 的定义域是 -1,3,求f()的定义域。例 4：设2( )lg2xf xx，则2( )( )2xffx的定义域为 _ 变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。二、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适

3、合分母为二次且xR 的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页精品资料欢迎下载例：1（直接法）2123yxx222( )2242f xxx3（换元法）12xxy44. （ 法）432xxy5.11y22xx6. 6. (分离常数法 ) 1xxy31( 24)21xyxx7. (单调性 )3( 1,3)2yxxx8.1

4、11yxx，11yxx(结合分子 /分母有理化的数学方法) 9(图象法 )232( 12)yxxx10(对号函数 )82(4)yxxx11. (几何意义 )21yxx三、函数的单调性复合函数的单调性： （同增异减）设xgfy是定义在M 上的函数，若f(x) 与 g(x)的单调性相反，则xgfy在 M 上是减函数；若f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则xgfy在 M 上是增函数。两个函数f(x)、g(x)之间的基本性质：增+增=增增减 =减减+减 +减减增 =减例：1 判断函数)()(3Rxxxf的单调性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

5、 -第 2 页，共 11 页精品资料欢迎下载2 函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0 x时，1)(xf， （ 1）求证：)(xf在R上是增函数；若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3 函数)26(log21. 0 xxy的单调增区间是_ 4.(高考真题 )已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数， 那么a的取值范围是 （）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）1 1, )7 3（D）1,1)7四、 函数的奇偶性常用性质：10)(xf是既奇又偶函数；22奇函数若在0 x处有定义，则必有0)0(f；3偶函数满足)()()

6、(xfxfxf；4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；50)(xf除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数奇函数奇函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶奇函数偶函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数6奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称；看f(x) 与 f(-x) 的关系例：1 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数 . 当)0,(x时，4)(xxxf，则当), 0(x时，)(xf. 2 已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页精品资

7、料欢迎下载（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；3 已知)(xf在（ 1，1）上有定义，且满足),1()()() 1 , 1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（ 1，1）上为奇函数；4 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 五、函数的周期性1 （定义）若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数， T 是它的一个周期。说明： nT 也是)(xf的周期。（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆：()()f xafxa说明： f(x) 的周期为

8、2a; ()()f axf ax说明： f(x) 关于直线x=a 对称。2若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是 2a例：1 已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足 f(x+2)= f(x), 则,f(6)的值为（）(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在R 上的偶函数( )f x ，满足(2)(2)fxfx，在区间 -2,0上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则, ,a b c的大小顺序为_ 3 已知 f (x) 是定义在实数集上的函数，且,32)1 (,)(1)(1)2(fxfxfxf若f(2005)= . 4

9、已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当0 x1 时， f(x)=x ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页精品资料欢迎下载f(7.5)=_ 5 设)(xf是定义在R 上的奇函数， 且对任意实数x 恒满足)()2(xfxf，当2 ,0 x时22)(xxxf 求 证 ：)(xf是 周 期 函 数 ； 当4,2x时 ， 求)(xf的 解 析 式 ； 计 算 ：六、函数的对称性我们知道：偶函数关于y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfx

10、f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨： （ 1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简 证 ：设 点),(11yx在)(xfy上 ， 通过)2()(xafxf可 知，)2()(111xafxfy， 即 点)(),2(11xfyyxa也在上 ， 而 点),(11yx与 点),2(11yxa关于 x=a 对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bx

11、fxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2 ,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称 : 假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(

12、22yxyxc它会关于 y=0 对称。两个函数的图象对称性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页精品资料欢迎下载1、)(xfy与)(xfy关于 X 轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于 Y 轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0 x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay

13、对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点 (a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b) 对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解(2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x) 和 y=f-1(x) 的图象关于直线y=x 对称；（2）y=f(x) 和 y=f-1(x) 具有相同的单调性；（3）已知 y=f(x

14、) ，求 f-1(a) ，可利用f(x)=a ，从中求出x，即是 f-1(a) ；（4）f-1f(x)=x; （5）若点(a,b)在 y=f(x) 的图象上，则(b,a)在 y=f-1(x) 的图象上；（6）y=f(x) 的图象与其反函数y=f-1(x) 的图象的交点一定在直线y=x 上; 例：设函数( )yf x的反函数为1( )yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1( )yfx的图像必过（A）1(,1)2（B）1(1, )2（C）(1,0)（D）(0,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页精品资料

15、欢迎下载八、函数的平移伸缩变换1、平移变换：（左 + 右- ，上 + 下- ）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxxyxyyx轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴例：1f(x) 的图象过点 (0,1)，则 f(4-x) 的反函数的图象过点（）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) 2作出下列函数的简图：（1）y=|lo

16、gx2|；（2）y=|2x-1|；（3） y=2|x|；九、函数的零点问题1函数零点概念对函数yfx，把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点2.零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有0fafb，那么，函数yfx在区间a,b内有零点 .即存在ca,b，使得0fc，这个 c 也就是方程0fx的根 . 问题1:函数1fxx,有1120,2022ff,那么在2, 2上函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页精品资料欢迎下载1fxx有零点吗 ? 问题 2:函数2( )68fxxx在区间1,

17、3,0,1,1,5有零点吗 ? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二 :几何解法(1). e2xfxx可化为2xex画出函数xye和2yx的图象，可观察得出C 正确 . 函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记 ) 函数yF xfxg x有零点方程0F xfxg x有实数根函数12,yfxyg x图像有交点 . 三、能力提升1.利用函数图像求函数零点问题例 1： （1）函数lgcosfxxx的零点有（）A4 个B3 个C2 个D1 个43211224y = x + 2y = ex0 x y 4224510152025oy=cosxy=lgxy x 精选学习

18、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页精品资料欢迎下载变式 1：若函数为lgcosfxxx，则有个零点 . 变式 2：若函数为lgcosfxxx，则有个零点 . 解:由lgcos0fxxx,可化为lgcosxx,画出lgyx和cosyx的图像 ,可得出B 正确 . lgcosfxxx有 4 个零点 , lgcosfxxx有 6 个零点 . (2)函数11yx与2sinyx的图像在2,4有个交点 , 交点的横坐标之和为解:函数11yx与2sinyx的图像在2,4有 8 个交点 ,因为图像都关于1,0点对称 ,故交点的横坐标之和为

19、4. （3）:若关于x的方程2axxa0a有两个不同的实数根,求a的取值范围 . 解1: 设2,ya x yxa,分 别 画 两 函 数 的 图 像 ,两 图 像 有 两 个 不 同 的 交 点 即 方 程2axxa有两个不同的实数根. xay2与axy的图像，当1a时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当1a时只有一个交点在第二象限，当1a时有两个交点，故1a. 5432112224O y x O 432112422468x y 32112342246810 x)y = 1x 1y = sin 2? ? xx y o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

20、- - - - -第 9 页，共 11 页精品资料欢迎下载解 2:设211,yxyxaa,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2axxa有两个不同的实数根.只有当axay112的斜率小于1 时有两个交点，即211a，1a. 2.利用零点性质求参数的取值范围探究：32( )69f xxxxa在xR上有三个零点，求a 的取值范围 . 解：由22( )31293(43)3(3)(1)fxxxxxxx得令( )0fx，得3x或1x，0fx,得13x( )f x在(,1)，(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减( )= (1)40f xfa极大值，4a( )= (3)0f xfa极小值4

21、0a. 变式 1：方程32690 xxxa在2,4上有实数解，求 a 的取值范围 . 解：由方程32690 xxxa在2,4上有实数解，即3269xxxa4.543.532.521.510.50.51112345678Ax o y 32.521.510.50.511.522.5211234567x o y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精品资料欢迎下载由3269fxxxx的图像可得：04a变式 2：3290 xaxx在2,4上有实数解，求a 的取值范围 . 解 1：由3299,2, 4xxaxxxx，136,2a. 变式 3：若不等式3290 xaxx在2,4上恒成立，求a的取值范围 . 解：转化为9(),1,3axxx恒成立问题，即min9(),1,3axxx得,6a. 课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页