2022年考研数学《概率论与数理统计》知识点总结3 .pdf

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1、第一章概率论的基本概念定义：随机试验E 的每个结果 样本点 组成 样本空间 S，S 的子集为E 的随机事件，单个样本点为基本事件 事件关系：1AB，A 发生必导致B 发生2AB 和事件， A，B 至少一个发生， AB 发生3AB 记 AB 积事件， A，B 同时发生， AB 发生4 A B 差事件， A 发生， B 不发生， AB 发生5AB=? ，A 与 B 互不相容 (互斥 )，A 与 B 不能同时发生，基本事件两两互不相容6AB= S且 AB=? ，A 与 B 互为 逆事件 或对立事件，A 与 B 中必有且仅有一个发生，记 B=ASA事件运算：交换律、结合律、分配率略德摩根律：BABA，

2、BABA概率：概率就是 n 趋向无穷时的频率， 记 P(A) 概率性质 : 1P(?)=0 2(有限可加性 )P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)，Ai互不相容3若 AB，则 P(BA)= P(B)P(A) 4对任意事件A，有)A(1)A(PP5P(AB)=P(A)+ P(B)P(AB) 古典概型：即等可能概型，满足：1S 包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：中样本点总数中样本点数SA)A(nkP超几何分布：nNknDNkDp，其中raCra条件概率：)A()AB()AB(PPP乘法定理：)A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP

3、全概率公式：)B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPP，其中iB为 S 的划分 贝叶斯公式：)A()B()BA()AB(PPPPiii，njjjBPBAPAP1)()()(或)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP独立性：满足 P(AB)= P(A) P(B) ，则 A，B 相互独立 ，简称 A，B 独立 定理一：A，B 独立，则 P(B|A)= P(B)定理二：A，B 独立，则A 与B，A与B，A与B也相互独立第二章随机变量及其分布(01)分布：kkppkXP1)1 (，k=0，1 （0p1） 伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A 及

4、A二项式分布：记 Xb（ n，p） ，knkknppCkXP)1( n 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变其中 A 发生 k 次，即二项式分布泊松分布：记 X （ ） ，!kekXPk，,2, 1 ,0k泊松定理：!)1 (limkeppCkknkknn，其中np当20n，05.0p应用泊松定理近似效果颇佳随机变量分布函数：)(xXPxF，x)()(1221xFxFxXxP连续型随机变量：xttfxFd)()(，X 为连续型随机变量，)(xf为 X 的概率密度函数，简称 概率密度 概率密度性质：10)(xf； 21d)(xxf； 321d)()()(1221xxxxfxFxFxXxP；

5、4)()(xfxF，f(x)在 x 点连续； 5PX= a=0均匀分布：记 XU( a，b)；其它，01)(bxaabxf；bxbxaabaxaxxF，10)(性质：对 a cc+l b，有abllcXcP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页指数分布：其它，001)(xexfx；其它，001)(xexFx无记忆性 ：tXPsXtsXP正态分布：记),(2NX；2)(exp21)(22xxf；ttxFxd2)(exp21)(22性质：1f(x)关于 x=对称，且 P -hX = P z= ，0 0(或 g (x)x1时，

6、 F（x2，y） F（x1，y） ；y2y1时， F（x，y2） F（x，y1） 20 F（x，y） 1 且 F（- ， y）=0，F（ x，- ）=0，F（- ，- ）=0，F（+ ， +）=13F（ x+0，y）=F（x，y） ， F（x，y+0）=F（x，y） ，即 F（ x，y）关于 x 右连续，关于y 也右连续4对于任意的 (x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有 Px1X x2，y10 有11lim1knknXnP或PX，knkXnX11定义：Y1，Y2， Y n ，是一个随机变量序列， a 是一个常数若对任意 0，有1|limaYPnn则称序列Y1，Y2，Yn ，

7、依 概 率 收 敛 于a记aYPn伯努利大数定理：对任意 0 有1limpnfPAn或0limpnfPAn其中 f A是 n次独立重复实验中事件A发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率中心极限定理定理一：设 X1,X2,Xn ,相互独立并服从同一分布，且E(X k)= ，D(X k)= 2 0，则 n时有nnXknk)(1N(0，1)或nXN(0，1)或XN( ，n2)定理二：设 X1,X2,X n ,相互独立且E(Xk)=k， D(Xk)=k2 0，若存在 0 使 n时，0|1212kknknXEB， 则nknkknkBX)(11N(0， 1)， 记212knknB定理三：设)

8、,(pnbn，则 n时，Npnpnpn)1 ()(0，1)，knknX1第六章样本及抽样分布定义：总体 ：全部值； 个体 ：一个值； 容量 ：个体数； 有限总体 ：容量有限；无限总体 ：容量无限定义：样本 ：X1,X2,X n 相互独立并服从同一分布F 的随机变量，称从F 得到的容量为n 的简单随机样本频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为 高 的 跨 越 横 轴的几个小矩形横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距 =大区间 /小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵坐标：频率/组距（总长度

9、：1/ ；小区间长度：频率/组距） 定义：样本 p 分位数 ：记 xp，有 1样本 xi中有 np 个值 xp2样本中有n(1p)个值 xp箱线图：xp选择：记NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，211)()()1(分位数 x0.5，记为 Q2或 M，称为 样本中位数 分位数 x0.25，记为 Q1，称为 第一四分位数分位数 x0.75，记为 Q3，称为 第三四分位数图形：图形特点： M 为数据中心，区间min ，Q1， Q1，M，M，Q3，Q3，max数据个数各占1/4，区间越短数据密集四分位数间距：记 IQR=Q3Q1；若数据 X Q3+1.5IQR，就认为X 是疑似异常值 抽样分布

10、：样本平均值：iniXnX11样本方差：)(11)(11221212XnXnXXnSiniini样本标准差：2SS样本k 阶(原点 )矩：kinikXnA11， k 1 样本 k 阶中心矩：kinikXXnB)(11，k 2 经验分布函数：)(1)(xSnxFn，x)(xS表示 F 的一个样本X1,X2,X n 中不大于 x 的随机变量的个数自由度为n 的 2分布：记 22（n） ，222212nXXX，其中 X1,X2,X n是来自总体N(0，1)的样本 E(2 )=n，D(2 )=2n12+222（n1+n2） 其他，00)2(21)(2122yexnyfynn2分布的分位点：对于 0 4

11、0)，22)12(21)(nzn，其中z是标准正态分布的上分位点自由度为n 的 t 分布：记 tt(n)，nYXt/，其中 XN(0， 1)，Y 2(n)， X， Y相互独立2)1(2)1( 22)1( )(nntnnnthh(t)图形关于t=0 对称；当n 充分大时， t 分布近似于N(0，1)分布t 分布的分位点：对于 0 45 时， t(n) z，z是标准正态分布的上分位点自由度为(n1， n2)的 F分布：记 FF(n1，n2)，21nVnUF，其中 U2(n1)，V2(n2)，X，Y 相互独立 1/FF(n2，n1) 其他，001)2()2()(2)( )(2)(21211)2(22

12、1212111xnynnnynnnnynnnnF 分布的分位点：对于 0 1，满足yynnFFPnnF),(2121d)(),(，则称),(21nnF为),(21nnF的上 分位点 重要性质： F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：设 X1,X2,X n 是来自 N( ，2)的样本，则有),(2nNX，其中X是样本均值定理二：设 X1,X2,X n 是来自 N( ， 2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有 1) 1()1(222nSn；2X与2S相互独立定理三：设 X1,X2,X n 是来自 N( ， 2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有) 1(ntnS

13、X定理四：设 X1,X2,X n1与 Y1,Y2,Y n2分别是来自N(1，12)和 N(2，22)的样本，且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为X，Y，21S，22S，则有 1) 1, 1(2122212221nnFSS2 当 12=22=2时，)2()()(21121121nntnnSYXw， 其中2) 1() 1(212222112nnSnSnSw，2wwSS第七章参数估计定义：估计量：),(?21nXXX，估计值 ：),(?21nxxx，统称为 估计 矩估计法：令)(llXE=linilXnA11(kl,2, 1)(k 为未知数个数 )联立方程组，求出估计?设总体 X 均值

14、 及方差 2都存在，则有XA1?，212212122)(11?XXnXXnAAiniini最大似然估计法：似然函数 ：离散：);()(1inixpL或连续：);()(1inixfL，)(L化简可去掉与 无关的因式项?即 为)(L最 大 值 ， 可 由 方 程0)(ddL或0)(lnddL求得当多个未知参数1，1， k时：可由方程组0ddLi或0lnddLi（ki,2, 1）求得最大似然估计的不变性 ：若 u=u( )有单值反函数 = (u)，则有)?(?uu，其中?为最大似然估计截尾样本取样：定时截尾样本：抽样 n 件产品， 固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm t0)和

15、失效产品数量定数截尾样本：抽样 n 件产品，固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm)结尾样本最大似然估计：定数截尾样本： 设产品寿命服从指数分布Xe （ ） ，即产品平均寿命产品 ti时失效概率Pt=ti f(ti)d ti，寿命超过tm的概率mtmettF， 则)()()(1imimnmmntPttFCL， 化简得)(1)(mtsmeL，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页由0)(lnddL得：mtsm)(?，其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为 实验总时间 定时截尾样本

16、： 与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+tm+(n m)t0，)(01)(tsmeL，mts)(?0， 无偏性：估计量),(?21nXXX的)?(E存在且)?(E，则称?是的无偏估计量 有效性：),(?211nXXX与),(?212nXXX都是的无偏估计量，若)?()?(21DD，则1?较2?有效 相合性：设),(?21nXXX的估计量， 若对于任意0有1|?|lim Pn，则称?是的相合估计量 置信区间：1),(),(2121nnXXXXXXP，和分别为 置信下限 和置信上限 ，则),(是的一个置信水平为1置信区间 ，1称为 置信水平 ，10正态样本置信区间：设 X1，X2， X

17、n是来自总体XN( ，2)的样本，则有的置信区间：枢轴量 W W 分布a，b 不等式置信水平置信区间)1 , 0( NnX12znXP)(2znX其中 z /2为上 分位点 置信区间的求解：1先求 枢轴量 ：即函数W=W(X1，X2， Xn； )，且函数W 的分布不依赖未知参数如 上 讨 论 标注2对于给定置信水平1，定出两常数a，b使 PaW50 时，)1 ,0()1()(limNpnpnpXnn1)1()(2zpnpnpXnP0)2()(222222XnpzXnpzn若令22zna，)2(22zXnb，2Xnc，则有置信区间 (aacbb2)4(2，aacbb2)4(2） 单侧置信区间：若

18、1P或1P，称 (，)或(，)是 的置信水平为1的 单侧置信区间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为1）待估其他枢轴量 W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体2已知)1 ,0( NnXZ)(2znXznX，znX2未知)1(ntnSXt2tnSXtnSX，tnSX2未知)1()1(2222nSn2212222)1(,)1(SnSn2122)1(Sn，222) 1(Sn两个正态总体1212，22 已知) 1 , 0()(22212121NnnYXZ2221212nnzYX2221212122212121nnzYXnnzYX1212=22=2 未知)2()()(21121121n

19、ntnnSYXtw12112nnStYXw2wwSS121121121121nnStYXnnStYXww精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页2) 1() 1(212222112nnSnSnSw12/221，2 未知)1, 1(2122212221nnFSSF212221222211,1FSSFSS1222122211FSS，FSS122212221单个总体 XN( ， 2)，两个总体XN(1，12)，YN(2，22)第八章假设实验定义：H0：原假设 或零假设 ，为理想结果假设；H1：备择假设 ，原假设被拒绝后可供选择的

20、假设第类错误 ：H0实际为真时，却拒绝H0第类错误 ：H0实际为假时，却接受H0显著性检验 ：只对犯第第类错误的概率加以控制，而不考虑第类错误的概率的检验P当 H0为真拒绝H0 ，称为 显著水平 拒绝域 ：取值拒绝H0临界点 ：拒绝域边界双边假设检验：H0： =0， H1： 0右边检验 ：H0： 0，H1： 0左边检验 ：H0： 0，H1： 0nXZ0z z 0 0nSXt0t t(n1) 0 222121nnYXZz z12 121211nnSYXtw2)1() 1(212222112nnSnSnSwt t(n1+n22) 12 12022022) 1(Sn2 2(n1) 2 0222222

21、21SSFF F(n11，n21) 12 22120 nSDtD0t t(n1) D 0 D0 t t(n1) D=0 D 0 |t| t2(n1) 检验方法选择：主要是 逐对比较法 （成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7 跟 3、 4 的区别，成对数据指两样本X 和 Y 之间存在一一对应关系，而3 和 4 一般指 X 和 Y 相互对立，但针对同一实体关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1的置信区间 与显著水平为的接受域 相同定义：施行特征函数(OC 函数 )： ( )=P(接受 H0)功效函数 ：1 ( )功效 ：当 *H1时， 1 (*)的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页