2022年考研数学重点及难点归纳辅导笔记下 .pdf

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1、名师精编优秀资料数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射1. 集合2. 映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限1. 实数系的连续性2. 数列极限3. 无穷大量4. 收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数1. 函数极限2. 连续函数3. 无穷小量与无穷大量的阶4. 闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数

2、的基本性质。第四章微分1. 微分和导数2. 导数的意义和性质3. 导数四则运算和反函数求导法则4. 复合函数求导法则及其应用5. 高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用1. 微分中值定理2.L Hospital法则3. 插值多项式和 Taylor 公式4. 函数的 Taylor 公式及其应用5. 应用举例6. 函数方程的近似求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编优秀资料本章教学要求：掌握微分中值定理与函

3、数的Taylor 公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用 LHospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分1. 不定积分的概念和运算法则2. 换元积分法和分部积分法3. 有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（ 1 3）1. 定积分的概念和可积条件2. 定积分的基本性质3. 微积分基本定理第七章定积分（ 4 6）4. 定积分在几何中的应用5. 微积分实际应用举例6. 定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握

4、微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分1. 反常积分的概念和计算2. 反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数1. 数项级数的收敛性2. 上级限与下极限3. 正项级数4. 任意项级数5. 无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数1. 函数项级数的一致收敛性2. 一致收敛级数的判别与性质3. 幂级数4. 函数

5、的幂级数展开精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编优秀资料5. 用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章 Euclid空间上的极限和连续1.Euclid空间上的基本定理2. 多元连续函数3. 连续函数的性质本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章

6、多元函数的微分学（ 15）1. 偏导数与全微分2. 多元复合函数的求导法则3.Taylor公式4. 隐函数5. 偏导数在几何中的应用第十二章多元函数的微分学（ 67）6. 无条件极值7. 条件极值问题与Lagrange 乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章重积分1. 有界闭区域上的重积分2. 重积分的性质与计算3. 重积分的变量代换4. 反常重积分5. 微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会

7、熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章曲线积分与曲面积分1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分2. 第二类曲线积分与第二类曲面积分3.Green 公式， Gauss公式和 Stokes 公式4. 微分形式的外微分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精编优秀资料5. 场论初步本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式， Gauss公式和 Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出 Green 公式， Gauss公式

8、和 Stokes 公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章含参变量积分1. 含参变量的常义积分2. 含参变量的反常积分3.Euler积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler 积分的计算。第十六章 Fourier级数1. 函数的 Fourier级数展开2. Fourier级数的收敛判别法3. Fourier级数的性质4. Fourier变换和 Fourier积分5. 快速 Fourier变换本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fo

9、urier级数的收敛判别法与 Fourier级数的性质，对 Fourier变换与 Fourier积分有一个初步的了解。试题一、解答下列各题1、求极限limtantansin ln().xxx2212、.d)1(3xeexx求3、求极限lim.xxxxxx100101010 0100012324、，求设ytdtxyx3022sin5、设，；，求，其中f xxxxxxxfafaa( )()()2211211106、求极限limlnxxx1217、设，求yxxy()ln()31318、求dxxx210231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

10、4 页，共 14 页名师精编优秀资料9、设，求y xx edyxx( )32110、求由方程常数确定的隐函数的微分xyaayy xdy2323230()( )11、设由和所确定试求yy xxsysdydx( )()(),1121221212、设由方程所确定求yy xyeyxyx( ),13、若证明xxxx01222,ln()14、求1614xxdx15、求2124xxdx16、.)1)(1(d2xxx求二、解答下列各题1、?,20,问其高应为多少要使其体积最大其母线长要做一个圆锥形漏斗cm2、求曲线与所围成的平面图形的面积yxyx22.3、求曲线和在上所围成的平面图形的面积yxyx230 1

11、,.三、解答下列各题证明方程在区间，内至少有一个实根xx57412()四、解答下列各题判定曲线在，上的凹凸性yxx() 30第二部分（1） 课程名称 ：微分几何（2） 基本内容 ：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：曲线论 ，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率； Frenet标架与 Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编优秀资料理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauch

12、y-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton 公式， Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理。曲面的局部理论 ，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构； Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常 Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。基本要求 ：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中

13、的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。二、讲授纲要第一章 三维欧氏空间的曲线论 1 曲线 曲线的切向量 弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。 2 主法向量与从法向量曲率与扰率教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。 3 Frenet 标架 Frenet 公式教学要求：掌握 Frenet公式，能运用 Frenet公式去解决实际问题。 4 曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的

14、局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。 5 曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。 6 平面曲线的一些整体性质61 关于闭曲线的一些概念62 切线的旋转指标定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编优秀资料63 凸曲线 * 64 等周不等式 * 65 四顶点定理 * 66 Cauchy-Crofton公式 * 教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的

15、几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式。 7 空间曲线的整体性质71 球面的 Crofton 公式* 72 Fenchel定理* 73 Fary-Milnor 定理* 教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的 Crofton 公式，Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理。第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何 1 曲面的表示 切向量 法向量11 曲面的定义12 切向量 切平面13 法向量14 曲面的参数表示15 例16 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直

16、纹面的表示；掌握可展曲面的特征。 2 曲面的第一、第二基本形式21 曲面的第一基本形式22 曲面的正交参数曲线网23 等距对应 曲面的内蕴几何24 共形对应25 曲面的第二基本形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编优秀资料教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。 3 曲面上的活动标架曲面的基本公式 31 省略和式记号的约定 32 曲面上的活动标架曲面的基本公式 33 Weingarten变换 W 34

17、 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。 4 曲面上的曲率 41 曲面上曲线的法曲率42 主方向 主曲率43 Dupin标线44 曲率线45 主曲率及曲率线的计算总曲率 平均曲率46 曲率线网47 曲面在一点的邻近处的形状48 Gauss映照及第三基本形式49 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为

18、零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。 5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 51 曲面的基本方程 52 曲面论的基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。 6 测地曲率 测地线 61 测地曲率向量 测地曲率 62 计算测地曲率的 Liouville 公式 63 测地线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师精编优秀资料 64 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系 65 应用 66 测地扰率 67 Gauss-Bonnet 公式教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率

19、、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。 7 曲面上的向量的平行移动71 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分72 绝对微分的性质73 自平行曲线74 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示75 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。习题：1. 证明推论 2.3.1，2. 设 X，Y为 Banach空间，Xbatx,:)(是连续抽象函数 , 对有界线性算子YXT :，证明

20、： Tx在,ba上 R可积，并且babadttxTdttTx)()(。3. 设,baC到,baC中的算子 T 由tadssxstTx22)()1()(给出， T 在任一元素x处是否 F 可导？若答案肯定，求导算子)(xT。4.设f是nR 到 R中的一个1C映射。证明：f在nRx0处沿方向nRh的G微分);(0hxdf等于 grad f (x0) hT, 这里 grad f =（nxfxfxfxf,321）, ;),(21nhhhh在nnexxxxxxxxf132131),;(和),1 ,0 ,0,0, 3 ,2, 1(h)1 ,2,3 , 1,(0nnx的情况下计算);(0hxdf，又问：f在

21、nRx处的 F 导数是什么？当nnxxxxxf33221)(时求)(xf。5. 设32:RRT由)54,3,(),(222yxyxyyxyxT定义，求 T 在（ 1，2）处沿方向（ 1，1）的 G 微分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编优秀资料解：写yxyxyyxyxT543222，知5432222xyyyxyxT，故所求 G 微分为152115414421121T。6. 设X、Y是赋范线性空间，T：YX由XxyAxTx,0定义，其Yy0， A B(X, Y )，证明T在Xx处F可微，且求其F导算子。解：

22、oooyAhAxyAxyhxAxThxTXhXx)()()()(,AhyAxo，由于 AB(X, Y )，且Thh),0(, 001在x处是F可微的，且AxT)(。7. 设23:RRT由3222),(,)2,23(),(RzyxRxzyyxzyxT确定，求T在（1，2，1）处的F导数。解：采用列向量表示，T将zyx变换成xzyyx22322，故T在zyx处的 F 导数应是变换T的 Jacobi矩阵xyzx222026，在)1,2, 1(),(zyx处，此矩阵为242026，在列向量表示下，T在（1，2，1）处的F导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：,2420263321321321Rhh

23、hhhhhhh右端即23212124226Rhhhhh故T在（1，2，1）处的F导数就是将),(321hhh变换为)242,26(32121hhhhh的线性变换。备注 1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。备注 2：当23:RRT表示为3222,223RzyxRxzyyxzyxT，我们可得T在zyx处的F导数是：xyzxzyxT222026，即3321321321,222026RhhhhhhxyzxhhhzyxT，故321121hhhT332132121,24226Rhhhhhhhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

24、14 页名师精编优秀资料或242026121T，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。第三部分1. 高等代数基本定理设 K 为数域。以xK表示系数在 K 上的以x为变元的一元多项式的全体。如果)0(,.)(0110axKaxaxaxfnnn，则称n为)(xf的次数，记为)(degxf。定理（高等代数基本定理）Cx的任一元素在 C 中必有零点。命题 设)10(,.)(0110naaxaxaxfnnn，是 C 上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C 上首项系数为0a的1n次多项式)(xq，使得)()()(afaxxqxf证明 对n作数学归纳法。推论0 x为)(xf的零点，当且仅当)(0

25、xx为)(xf的因式（其中1)(degxf）。命题（高等代数基本定理的等价命题）设nnnaxaxaxf.)(110)10(0na，为 C 上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数naaa,.,21，使).()()(210nxxxaxf证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。2高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设 K 是一个数域，x是一个未知量，则等式0.1110nnnnaxaxaxa（1）（其中0,.,010aKaaan）称为数域 K 上的一个n次代数方程 ；如果以Kx带入（ 1）式后使它变成等式，则称为方程（ 1）在 K 中的一个 根。定理（高等代

26、数基本定理的另一种表述形式）数域 K 上的)1(n次代数方程在复数域 C 内必有一个根。命题n次代数方程在复数域C 内有且恰有n个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个 n 次、m次多项式)0(.)(10nnnaxaxaaxf，)0(.)(10mmmbxbxbbxg，如果存在整整数 l ,nlml,及1l个不同的复数121,.,ll，使得)1,.,2, 1()()(ligfii，则)()(xgxf。1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师

27、精编优秀资料设101( )nnnf xa xa xa，其中0,0iaK a。设( )0fx的复根为12,n（可能有重复），则1210112121( )()()()()().nininnnnf xxxxxaxx所以)()1(21101naa；niiiiaa21210202) 1(；.)1(210nnnaa我们记1),(210n；nn21211),(；niiiiiinrrr2121021),(；nnn2121),(（12,n称为12,n的初等对称多项式 ）。于是有定理 2.5 (韦达定理 ) 设101( )nnnf xa xa xa，其中0,0iaK a。设( )0f x的复根为12,n。则),(

28、)1(211101naa；),() 1(212202naa；).,()1(210nnnnaa命题 给定 R 上n次方程0.1110nnnnaxaxaxa，00a，如果bai 是方程的一个根，则共轭复数bai 也是方程的根。证明 由已知，1011.0nnnnaaaa. 两边取复共轭，又由于naaa,.,10R，所以1011.0nnnnaaaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师精编优秀资料高等代数试题设VVL),(，并且，)(，)(1k都不等于零，但0)(k，证明：，)(，)(1k线性无关答案：按线性无关的定

29、义证明2、令 xFn表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，)()(:xfxf，求关于以下两个基的矩阵：（1）1，x，2x，nx，（2）1，cx，! 2)(2cx，!)(ncxn，Fc答：（ 1）000000002000010n（2）00001000010000103、4F 表示数域 F 上四元列空间取7931181332111511A对于4F，令A)(求)dim(ker(，)dim(Im(解：2)(AR，取4F 的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵 AB的列向量恰是这个基的象。又0B，所以2AR)AB(R）（所以2)dim(Im(2)(4)dim(ker(AR解空间的秩

30、4、设 F 上三维向量空间的线性变换关于基321,的矩阵是6788152051115，求关于基321332123211224332的矩阵3211ATTB211243132T5、令是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换，并且满足条件2，证明：（ 1）V)()ker(（2）)Im()ker(V证明：（ 1）V)(，则0)()()()()()(2，)(Ker反之，)(Ker，0)(，V)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编优秀资料于是V)()ker()()(,V，即)Im()ker(V设)Im()ker(由)Im(，有V，使得）（）（，所以因22),()(,)(又)ker(，所以00）（，于是）（，即0所以0)Im()ker(6、设163053064A，求10A解：特征值21321，特征向量T），（1001T），（0122，T），（1113），（321P则，APP111010PPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页