2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习25：十进制的记数法 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习(25) 十进制的记数法一、内容提要1. 十进制的记数法就是用0，1，29 十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数第 1 位)， 101=10(十位上的数 - 第 2 位) ，102=100(百位上的数 - 第 3 位) ，10n( 第 n+1位上的数 ) 例如 54307 记作 5104+4103+3102+0101+7100 2. 十进制的 n 位数(n 为正整数 ) ，nnaaaa321记作：10n-1a1+10n-2a2+

2、10n-3+102an-2+10an-1+an其中最高位 a10，即 0a19，其它是 0a1,a2,a3an9 3. 各位上的数字相同的正整数记法：例如 999=100011031，99991041，99999个n10n-1 11111个n9110n，33333个n3110n，55555个n91105n4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示 0 到 9 的整数，这一性质进行讨论。二、例题例1. 一个六位数的最高位是1，若把 1 移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3 倍，求原六位数。解：设原六位数 1 右

3、边的五位数为 x, 那么原六位数可记作1105x ，新六位数为 10 x1，根据题意，得10 x13（1105x）7x=299999 x=42857 原六位数是 142857 例2. 设 n 为正整数，计算99999个n99999个n199999个n解：原数（ 10n 1）（ 10n 1）+110n+10n1 102n210n+1+10n+10n1 102n 例3. 试证明 12，1122，111222，1111个n2222个n这些数都是两个相邻的正整数的积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页证明：1234，11223

4、334，111222333334 注意到 333334333（3331）31-103（31-1031）由经验归纳法，得1111个n2222个n9110n10n+91102n3110n（310n32）3110n（)13110n上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9 的倍数，那么这个四位数必能被9 整除。并把它推广到 n 位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k (k 为正整数 ) ，d=9ka bc, 代入原四位数，得103a+102b+10c9ka bc（1031）a

5、+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) 111a+11b+c+k是整数，四位数 103a+102b+10c+d,能 9 被整除推广到 n 位正整数：n 位正整数记作 10n1a1+10n-2a2+10an-1+an（1）a1+a2+an-1+an=9k(k 是正整数 ) an=9ka1a2 an-1 代入（ 1）得原数10n1a1+10n-2a2+10an-1+9ka1a2 an-1 （10n-11）a1+（10n-21）a2+9an-1+9k 10n-11，10n-21，101 分别表示91999个n，92999个n，9 原数 9（1111na12111na2 an

6、+k）这个 n 位正整数必能被9整除例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页解：设这个三位数为102a+10b+c 其中 0a9, 0 b,c 9 1110100cba9ab11cba且8 a-b+c18 它能被 11 整除， a-b+c 只能是 11或 0。 当 a-b+c11 时，商是 9a+b+1, 根据题意得 9a+b+1a+b+c，c=8a+1 a 只能是 1，c=9, b=a+c-11=-1 不合题意 当 a-b+c0 时，商是

7、9a+b , 9a+b= a+b+c 且 a-b+c11 解得891cba答这个数是 198 例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是 8877，求这个正整数。解：顺序颠倒过来后 , 两个数的和是 8877, 可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是 c-2, 根据两个数的和是 8877 试用列竖式讨论答案a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或 17 +) (c-2) c b a 从千位看 a+(c-2)=8 (没进入万位 ) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即 c+a=9

8、 (1) 从十位上看 b+c=7或 17 从百位上看 c+b=8 ( 进入千位 ) 可知 c+b=17 (2) (2)+(1) 得 b-a=8 0a9 0 b9 b=9 a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986 三、练习 25 1. 设 a 是个两位数， b 是三位数。当 a 接在 b 的左边时，这个五位数应记作_，当 a 接在 b 的右边时，这个五位数应记作_。2. 有大小两个两位数。大数的 2倍与小 数的 3倍的和是 72。 在大数的右边写上一个0再接着写小数，得到第一个五位数；在小数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页数除以第二个五位数得商2，余数 590。求这两个两位数。3. 计算： 1987198619861986 19871987 4. 一个 22 位数，个位数字是 7，当用 7 去乘这个 22 位数时，其积也是 22 位数，并且恰好是将这个数的个位数字 7 移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22 位数。5. 试证明： 112，111122，12111个n2222个n，各数都能写成某个正整数的平方。 （即证明各数都是完全平方数）6. 一个两位数的两个数字对调后， 所得新两位数与原两位数的比是47。 求符

10、合条件的所有两位数。7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef6defabc求原六位数abcdef8. 已知四位数abcd除以 9 得四位数dcba，求原四位数。9. 一个五位正奇数 x，将 x 中的所有 2 都换成 5，并把所有 5 都换成 2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若 x,y I满足等式：y=2(x+1), 那么 x=_ 10.已知存在正整数 n 能使数111111个n被 1987 整除，求证： p=111111个n999999个n888888个n777777个n能被 1987 整除11.一个三位数被 11 整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符

11、合条件的所有三位数。12.一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三位数。13.求证：1199011111个是一个合数。练习 25 参考答案：1. 1000a+b, 100b+a 2. 21,10 3. 0 4.仿例 1，这数是 1014492753623188405797 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5.323333个n6. 21，42，63，84 7. 142857 8. 9801 9. 29995 10. 原数可化为个n1111（103n+9102n+810n+7）11. 550 或 803 12. 429 13.原数可化为：91(101990-1)=91(10995+1)(10995-1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页