2022年初二下数学分式方程经典例题及练习 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆初二数学分式方程专题一、考点、热点回顾分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤： （1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（验根： 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原

2、方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？(1)审； (2)设； (3)列； (4)解； (5)答应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法(3)工程问题基本公式：工作量=工时工效(4)顺水逆水问题v 顺水 =v 静水 +v 水v 逆水 =v 静水 -v 水即时知识梳理1分式方程

3、 : 分母中含有的方程叫分式方程 . 2解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（验根的方法：将所求得的未知数的知数的值代入）3. 列方程解决实际问题的步骤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆（1）审；找出（2）设；（3）列；（4）解；检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义；（5）答；二、典型例题题型一 : 分式方程题型

4、【例 1】解下列分式方程（1）114112xxx；（2）xxxx4535；（3）4441xxxx；（4）61244444402222yyyyyyyy例 2、 解方程xxxxxxxx12672356练习：（1）11115674xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）121043323489242387161945xxxxxxxx（3）【例 2】 （1）若关于x 的方程211333xxkxxxx有增根 , 求增根和k 的值（2） 、m 为何值时，关于x 的方程22432xmxxx会产生

5、增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx整理，得()mx110242401111xxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆当时，如果方程产生增根，那么，即或（ ）若，则（ ）若，则（ ）综上所述，当或 时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根练习：1若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m 的值是（）A. 12或B. 12或C. 12或D. 12或分析：分式方程

6、产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()() ，把xx01或代入解得m12或，故选择D。【例 3】 1、当 k为何值时，关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数 . 2 、若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围 . 【例 4】 1、已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆2、若关于的x 的分式方程111132xmxxx无解，求m的值【例5】列分式方程解应用题：为

7、响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300 棵由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的 1.2 倍，结果提前20 分钟完成任务请求原计划每小时植树多少棵？例 6、 某校办工厂将总价值为2000 元的甲种原料与总价值为4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3 元，比乙种原料每千克多1 元，问混合后的单价每千克是多少元？分析： 市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式解： 设混合后的单价为每千克x元，则甲种原料的单价为每千克(3)x元，混合后的总价值为 (20

8、00 4800) 元，混合后的重量为x48002000斤，甲种原料的重量为32000 x，乙种原料的重量为14800 x，依题意，得：总价值价格数量甲2000 元乙4800 元混合X元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆32000 x14800 x=x48002000，解得17x，经检验，17x是原方程的根，所以17x即混合后的单价为每千克17 元评析： 营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公

9、式，巧妙建立关系式 随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题练习 A、 B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同其中，采购员 A每次购买1000 千克，采购员 B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？解：两次购买的饲料单价分别为每1 千克 m元和 n 元 (m0,n0,mn) ，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为(元千克 )，采购员 B 两次购买饲料的平均单价为(元千克 )而0也就是说，采购员A 所购饲料的平均单价高于采购员B 所购饲料的平均单价，所以选用采购

10、员B 的购买方式合算例 5、 某工程由甲、乙两队合做6 天完成，厂家需付甲、乙两队共8700 元，乙、丙两队合做 10 天完成， 厂家需付乙、 丙两队共 9500 元，甲、丙两队合做5 天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500 元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由分析： 这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组解：设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成

11、，丙队单独做需z天完成，依精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆题意可得：116()11110()11125()3xyyzxz，6110151，得x1y1z1=5161，得z1=301，即z = 30 ，101，得x1=101，即x = 10 ，51，得y1=151，即y = 15 经检验，x = 10 ，y = 15 ，z = 30 是原方程组的解设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得6()870010()95005()5500abbcca，8

12、00650300abc，由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队此工程由甲队单独完成需花钱108000a元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b元所以，由甲队单独完成此工程花钱最少评析： 在求解时，把x1，y1，z1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解练习： 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致. 已知教师甲的输入速度是教师乙的2 倍，结果甲比乙少用2 小时输完 . 问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

13、归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆解：设教师乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x 名学生的成绩，依题意，得：， 解得 x 11 经检验， x11 是原方程的解，且当x11 时， 2x22，符合题意即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩， 教师乙每分钟能输入11名学生的成绩例 5、轮船顺流、逆流各走48 千米，共需5 小时，如果水流速度是4 千米 /小时，求轮船在静水中的速度。分析： 顺流速度 =轮船在静水中的速度+水流的速度逆流速度 =轮船在静水中的速度-水流的速度等量关系：顺流用时+逆流用时 =5（小时）练习：轮船在顺水中

14、航行30 千米的时间与在逆水中航行20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度。分析： 此题的等量关系很明显：顺水航行30 千米的时间 = 逆水中航行20 千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20设船在静水中的速度为x千米时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决解：设船在静水中速度为x千米时，则顺水航行速度为(2)x千米时，逆水航行速度为(2)x千米时，依题意，得路程速度时间顺流48 千米(x+4) 千米 / 小时逆流48 千米(x-4) 千米 / 小时484x484x精选学习资料 - - - - - - - - -

15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆230 x=220 x，解得10 x经检验，10 x是所列方程的根即船在静水中的速度是10 千米时三、实战训练选择题下列约分正确的是( ) A、326xxx B、0yxyx C、xxyxyx12 D、214222yxxy2、下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A、yxyxyxyx B、yxyxyxyxC、yxyxyxyx D、yxyxyxyx3、甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米 /小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（）A. SabB. Sa

16、vbC. SavabD. 2Sab4 如果关于 x 的方程2313xmxm有增根，则的值等于（）A. 3B. 2C. 1D. 3 5 、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和 1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克设一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A9001500300 xxB9001500300 xxC 9001500300 xxD 9001500300 xx填空1. 当 x时，分式x31有意义2. 化简1(1)(1)1mm的结果是 . 3. 化 简： （2xx+2-xx-2）xx2-4的结果为。4.

17、 已知分式235xxxa，当 x2 时，分式无意义，则a，当 a6 时，使分式无意义的 x 的值共有个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆5. 当 x2 时，分式11x的值是6. 当 x时，分式x31有意义7. 当x= 时，分式22xx的值为零 . 8. 化简：2222222ababaabbab_9. 若关于x的分式方程3132xmx有增根，则m= 。10 解分式方程（3）（4）（5）22416222xxxxx（6）（ ）11244222xxxx（）22332726xx5511xxxxxx2

18、1321xxx1512精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆应用题1、南宁市 20XX年的污水处理量为10 万吨/ 天，20XX年的污水处理量为 34 万吨/ 天，20XX年平均每天的污水排放量是20XX年平均每天污水排放量的1.05倍，若 20XX年每天的污水处理率比20XX年每天的污水处理率提高40%（污水处理率污水处理量污水排放量） （1）求南宁市 20XX年、20XX年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市 20XX年平均每天的污水排放量比20XX年平均每

19、天污水排放量增加20%，按照国家要求“ 20XX年省会城市的污水处理率不低于70%” ，那么我市 20XX年每天污水处理量在20XX 年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？2、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道 温（州）福（州）铁路全长298千米将于 20XX年 6 月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2 小时已知福州至温州的高速公路长 331 千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01 小时） 精选学习资料 - - - - - - - - -

20、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆3、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 4、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做 2 天后，再由两队合作 10 天就能完成全部工程 已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？5、 某超级市场销售一种计算器， 每个售价 48 元 后来， 计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%这种计算器原来每个进

21、价是多少元？（利润售价进价，利润率100%利润进价）你们是用9 天完成 4800 米长的大坝加固任务的? 我们加固600 米后 ,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆6、今年 4 月 18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便例如，京沪线全长约1500 公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用871小时已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了4

22、0 公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？分式方程巩固练习1 下列各分式中，最简分式是( ) A、yxyx8534 B、2222xyyxyx C、yxxy22 D、222yxyx2 下列分式中，计算正确的是( ) A、32)(3)(2acbacbB、bababa122C、1)()(22babaD、xyyxxyyx12223、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作甲队单独工作2 天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1 天，总量全部完成那么乙队单独完成总量需要（） 6 天 4 天 3 天 2 天 4 、炎炎夏日， 甲安装队为A小区安装66 台空调， 乙安装

23、队为B小区安装 60 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2 台设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）A 66602xx B 66602xxC66602xx D 66602xx5 如果分式23273xx的值为 0，则 x 的值应为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆6当 x= 时，112x7、 若 m 为正实数，且13mm，221mm则= 8. 化简aaa111=_9、 化简：x2- 9x-3= 10、 轮船先顺水航行 46 千米再逆水航行 34 千米

24、所用的时间，恰好与它在静水中航行 80 千米所用的时间相等，水的流速是每小时3 千米，则轮船在静水中的速度是千米/ 时11、某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20% ，他用 1500元所购该书数量比第一次多10本当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的4 折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了 （不考虑其它因素） ？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？12、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、 乙队每天的工作费用为550元根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？13、A、B两地相距 18 公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道已知甲工程队每周比乙工程队少铺设 1 公里，甲工程队提前 3 周开工，结果两队同时完成任务， 求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页