概率第一章到第三章知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结第一讲 随机大事及其概率1. 明白样本空间 基本领件空间 的概念, 懂得随机大事的概念, 把握大事的关系及运算2. 懂得概率、条件概率的概念,把握概率的基本性质,会运算古典型概率和几何型概率,把握概率的 加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及 贝叶斯 Bayes 公式3. 懂得大事独立性的概念, 把握用大事独立性进行概率运算 。懂得独立重复试验的概念, 把握运算有关大事概率的方法 .主要内容与典型例题一 随机试验与随机大事1. 随机试验 随机试验满意以下三个特点：试验的全部可能结果（不止一个）是确定的。每次试验会发生什么结果是无法事先预知的。试验可以在相同的条件下重复进

2、行。但也有不少的随机试验不满意这个条件.2. 样本点与样本空间试验的每一个可能结果称为样本点, 用表示。全部样本点组成的集合就是样本空间,用表示。3. 随机大事, 基本领件, 必定大事, 不行能大事 :样本空间的子集称为随机大事,简称大事,用 A,B, C 等记之。由单个样本点构成的随机大事成为基本领件,样本空间为必定大事,不含任何样本点的大事称为不行能大事。二 大事的关系与运算1. 包含关系 : 大事 A 发生必导致大事 B 发生 , 记为 AB 。2. 相等关系 :如 AB 且 BA。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 并大事 : AB A, B至少发生一个 ,nAi 。

3、i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 差大事 :ABAB A发生, B不发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 交大事 :ABAB A, B同时发生n,Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 互斥大事 : A和 B不同时发生。7. 对立大事 :A A不发生 , AA.8. 大事的运算律:交换律 : ABBA , ABBA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合律 : ABC ABCABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC ABCA BC 。

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结安排律 : ABCACBC, ABC ACBC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对偶律 :ABAB , ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 大事的概率及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 : 设随机试验的样本空间为,如对每个大事 A,有且只有一个实数P A与之对应,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并满意以下公理：（

5、非负性） 0P A1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（规范性）P1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（可列可加性）对任意一列两两互斥大事A1 , A2 ,有 PiAi 1P Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 P A 为大事 A 的概率。2. 性质 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P 0 。P A1P A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A1, A2 , An互斥,就nPAi i 1nP Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

6、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P ABP AP BPAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P ABC P AP BPCP AB P AC PBC P ABC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AB ,就P APB ,且P BAP BP A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广：P BAP BP AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四 条件概率与大事的独

7、立性1. 条件概率 :设有两个大事 A 和 B ,P A0 ,称已知 A 发生的条件下B 发生的概率为 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的条件概率,记为PB A ,且有P B APAB 。P A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 独立性 :如两大事 A 和 B 满意PB APB或 P ABP AP B ,就称 A 和 B 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结互独立。类似的仍有A1, A2 , An两两独立和相互独立的定义。可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品名师归纳总结3. 简洁性质 :在 A 和 B , A 和 B , A 和 B , A 和 B 这四对大事中, 只要其中有一对独立, 就其余三对也独立。五 重要的概率模型1. 古典概型 :古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个。各个可能结果是等可能的。设试验一共有 n 个可能结果,而所考察的大事A 含有其中的 k 个,就大事 A 的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AknA包含的样本点数样本点总数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 古典概率的运算难点在于A 包含的样本点数的运算。在运算样本点数的时候,常用到以下排列组合公式：可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品名师归纳总结n从 n 个不同元素取 r 的排列数为：P rn.。nr .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 n 个元素中有返回的取r 个的排列数：nr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 n 个不同元素取 r 的组合数为：rn.Cnr. n。r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 几何概型： 向某个可度量的有界区域D 内随机的投掷一点, 假如落在 D 内任何两个测度相等的子区域的可能性相等,就随机点落在D的子区域 A 内的概率为可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AA的测度D的测度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 假如 D 和 A 是数轴上区间（平面区域或立体区域）,就测度就是区间长度（面积或体积）。几何概率的运算关键是找出大事A 所对应的子区域,并运算其测度。3. 贝努利概型：在 n 重贝努利试验中,大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ak A恰好发生 k 次 0kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的概率为：P Ak k pn 1p n k 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cn六 重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

11、结1. 乘法公式：P ABP APB AP B P A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A1 A2An P A1 P A2 A1P An A1 A2An1 2. 全概率公式：设大事A1, A2 , An 两两互斥,且P Ai 0 1in 。大事 B 满意nBBAii 1就有nPBP Ai PB Ai 。i 13. 贝叶斯公式：设大事A1, A2, An 两两互斥,且 P Ai 0 1in , PB0 , 大事B 满意nBBAii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有P Ai BP Ai PB Ai n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P

12、Ai P B Ai i 1其次讲 随机变量及其分布1. 懂得随机变量的概念, 懂得分布函数的概念及性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质, 会运算与随机变量相联系的大事的概率 .2. 懂得离散型随机变量及其概率分布的概念, 把握 0-1 分布、二项分布 、泊松Poisson 分布及其应用.3.懂得连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握匀称分布 、正态分布 、指数分布及其应用 .4. 会求随机变量函数的分布 .主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1. 随机变量对于给定的随机试验,是其样本空间 , 如对, 有且只有一个实数X 与之对应 , 就称此定义在上的实值

13、函数 X 为随机变量。2. 分布函数 设 X 是一个随机变量,称函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xP Xx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为随机变量的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 0F x1 （x）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意两点x1 , x2 ,当x1x2 时,有F x1 F x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limxF x0 。 limxF x1 。可编辑资料 - -

14、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limF xF x0 （x0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PaXbF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注记 满意上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 分布律Xx1x2xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p 2pi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 0pi1 ,pi1。i

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 密度函数 设随机变量 X 的分布函数为F x , 如非负函数f x , 对任意的 x ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xxf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 X 为连续型随机变量,f x为 X 的概率密度函数 , 并称 X 的分布是连续型分布 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质

16、 f x0 。f xdx1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PaX（满意上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数）bb) f xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F x 是连续函数 , 且在f x 的连续点处有F xf x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对cR ,有P Xc) 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意的a,b

17、R ab ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PaXbPaXbPaXbPaXbbf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 重要的一维分布011. （0-1 ）分布 分布律为 X , 0p1 。1ppCn2. 二项分布 在 n 重贝努利试验中,大事A 发生的次数 X 的分布为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xkk pk 1p n k k0,1,2,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X Bn,p 。当 n1时,二项分布即为（

18、 0-1 ）分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 泊松分布 分布律为P Xk ke kk.0,1,2,L,记为X P 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 匀称分布 密度函数和分布函数分别为10,xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x,axbba和0,otherF xxaaxb ba1,xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X U a,b .5. 指数分布 密度函数和分布函数分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

19、归纳总结f xex ,x00,other和 F x0,x01ex ,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记为 X E 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 正态分布 密度函数为f x x221e222, 都是常数,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X N ,2 。当0,1 时,密度函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx21e 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 X 听从标准正态分布,记为X N 0,1

20、 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 标准正态分布的密度函数为偶函数,所以有x1 x ,其中x 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2N, 的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 X N,2 ,就有 X N 0,1,继而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PaXb b a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 随机变量函数的分布1. 离散情形 设离散型随机变量X 的分布律为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Xx1x2xk可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2pk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就Yg X 的分布律为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Yg X g x1gx2 gxk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2pk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 g x1 、g x2 、gxk 、具有各不相同的值。如g xi 的值中有相同的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品名师归纳总结就应把那些相同的值分别合并,同时把对应的概率pi 相加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 连续情形 设 X 的密度函数为先求 Y 的分布函数：f X x, 求Yg X 的密度函数的步骤为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FY yPYyP g X yg xfxdxXy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再求 Y 的密度函数：fY yFY y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三讲 多维随机变量及其分布1. 懂得二

23、维离散型随机变量的概率分布、边缘分 布和条件分布,懂得二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度, 会求与二维随机变量相关大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的概率.2. 懂得随机变量的独立性的概念, 把握随机变量相互独立的条件 .3. 把握二维匀称分布, 明白二维正态分布的概率密度,懂得其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简洁函数的分布,会求多个相互独立随机变量简洁函数的分布 .主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 设试验 E 的样本空间为,对于每一个样本点 w,都有确定的两个实数X w可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 Yw 之对应,称有序数对 X w, Yw 为二维随机变量 （或 二维随机向量 ）,简记为 X , Y 。并称 X 和 Y 是二维随机变量 X , Y 的两个重量。2. 分布函数 设 X , Y 是二维随机变量,称二元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, yP Xx Yy记为P Xx,Yy , x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 0F x, y1 。且 lim F

25、x, yx y0 。 lim F x, y1。x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任一固定的x ,limyF x, y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任一固定的 y ,limxF x, y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F x, y 关于 x 和 y 是单调不减的。 F x, y 关于 x 和 y 均为右连续函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P x1Xx2, y1Yy2F x2, y2F x1, y2F x2 , y1 F x1, y1 。可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 关于 X 的边缘分布函数： 关于Y 的边缘分布函数：FX xFY ylimylimxF x, yF x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 独立性的判定 X 与 Y 独立F x, yFX xFY x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 二维离散型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 假如二维随机变量 X ,Y全部可能取值只有有限多对或无穷可列多对,就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 X , Y 为二维离散型随机变量 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.

27、联合分布律 设二维离散型随机变量 X ,Y 的全部可能取值为 xi , y j , i , j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 X ,Y 取各可能值得概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxi , Yy j pij, i, j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或写成表格形式：Xx1p11p12p1 jx2p 21p22p2 jxipi1pi 2pijYy1y2y j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称或为 X , Y 的联合分布律 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品名师归纳总结性质 0pij1, i , j1,2,。pij1 。ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. X 的边缘分布律 ： P Xxi 记成pijpij 1i1,2, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Y 的边缘分布律 ： PYy j 记成pijp ji 1 j1,2, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 独立性判定 X 与Y 相互独立的充要条件是对一切i, j1,2,都有可编辑资料 -

29、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxi ,Yy j P Xxi P Yy j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 二维连续型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 设 F x, y为二维随机变量X ,Y 的联合分布函数, 如存在一个非负可积的二元函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 f x, y ,使得对于任意的实数x 、 y ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, yxyf u,vdudv 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

30、 - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 X ,Y 为二维连续型随机变量 ,称f x,y 为 X , Y 的联合密度函数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 f x, y0 。f x, ydxdy1。 设 G 是 xoy平面上的区域,就 X ,Y 落入区域 G 内的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PX ,YGf x, ydxdy 。G可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 f x, y 的连续点,有2 F x, yf x,y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y可编辑资料 -

31、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 关于 X 的边缘密度函数：f X xf x, y dy ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于Y 的边缘密度函数 ：f Y yf x, ydx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 独立性判定 X 与 Y 相互独立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, yf X xf Y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 f x, y 、f X x 、f Y y的一切公共连续点上都成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四 常见的二维分布1. 二维匀称分布联合密度函数为f x, y