2022年北师大版高中数学选修11椭圆的简单几何性质教案 .pdf
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1、圆的简单几何性质(第一课时)(一)教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质,掌握标准方程中、以及、的几何意义,、之间的相互关系,明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质(二)教学过程【复习引入】由学生口述,教师板书:问题 1椭圆的标准方程是怎样的?问题 2在直角坐标系内,关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系?【探索研究】1椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一根据曲线的条件列出方程如果说是解析几何的手段,那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质(
2、1)范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页引导学生从标准方程,得出不等式,即,这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里(如图),注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点(2)对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2设问:为什么“把换成,或把换,或把、同时换成、时,方程解不变则图形关于轴、轴或原点对称”呢?事实上, 在曲线方程里,如果把换成,而方程不变, 那么当点在曲线上时,点关于轴的对称点也在曲线上,所以曲线关于轴对称类似地可以证明其他两个命题同时应向学生指出:如果曲线具有关于轴对称,关于轴对称和关于原
3、点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称最后强调:轴、轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心即椭圆中心进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点,对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关因而是曲线的固有性质(3)顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点,只须令得,点、是椭圆与轴的两个交点;令得,点、是椭圆与轴的两个交点应该强调:椭圆有四个顶点、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页同时还需指出:(1)线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和;(2)、的几何意义:是椭圆长半轴的长,是椭圆短半轴的长(3)椭圆的
4、顶点即是椭圆与对称轴的交点,一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点这时教师可作如下小结:由椭圆的范围,对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较正确的图形(4)离心率由于离心率的概念比较抽象,教师可直接给出离心率的定义:椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率先分析离心率的取值范围:,再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响:(1)当趋近于 1 时,趋近于,从而越小,因此椭圆越扁平:(2)当趋近于 0 时,趋近于 0,从而趋近于,因此椭圆越接近于圆【例题分析】例 1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形精选学习资料 - - - - -
5、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页分析:只要化为椭圆的标准方程即可求解解:把已知方程化成标准方程是这里,因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是和,离心率,两个焦点分别是和,椭圆的四个顶点是、(前一部分请一位学生板演,教师予以纠正,后一部分教师讲解,以引起学生重视)步骤如下:列表:将已知方程变形为,根据,在的范围内算出几个点的坐标01234543.93.73.22.40描点作图: 先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(如图)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
6、页,共 29 页例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)经过点,;(2)长轴长等于20,离心率等于解:由椭圆的几何性质可知,、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点,于是得,又因为长轴在轴上,所以所求椭圆的标准方程为(2)由已知得,由于椭圆的焦点可能在轴上, 也可能在轴上,所以所求椭圆的标准方程为或(三)随堂练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页(四)总结提炼方程图形范围,对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称顶点,离心率(五)布置作业(六)板书设计8.2 椭圆的简单几何性质(一)(一)复习提问(三)例
7、题与练练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页问题 1问题 2(二)椭圆的几何性质1234习例 1例 2(四)小结一)教学目标进一步掌握椭圆的几何性质,掌握椭圆的第二定义,能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题,明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的,可以互相推出(二)教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质,哪一位同学回答:问题 1椭圆有哪些几何性质?问题 2什么叫做椭圆的离心率?以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题教师可进一步提出问题:离心率的几何意义是什么呢?让我们先来看一个问题点与定点的距离和它
8、到定直线的距离的比是常数(),求点的轨迹【探索研究】椭圆的第二定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页(按求轨迹方程的步骤,学生回答,教师板演)解:设是点直线的距离,根据题意,如图所求轨迹就是集合由此得将上式两边平方,并化简得设,就可化成这是椭圆的标准方程,所以点的轨迹是长轴长为,短轴长为的椭圆由此可知,当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时,这个点的轨迹是椭圆,一般称为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离心率对于椭圆,相应于焦点的准线方程是根据椭圆的对称性,相应于焦
9、点的准线方程是,所以椭圆有两条准线可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义至此教师可列出下表,由学生归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页图形相同点长轴长短轴长离心率不同点方程焦点、顶点、准线【例题分析】例 1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程可请一位学生演板,教师纠正,答案为,焦点,顶点,准线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页例 2 已知椭圆上一点到其左、右
10、焦点距离的比为1:3,求点到两条准线的距离可在学生练习后请一位学生回答解答如下:由椭圆标准方程可知,由于,设到左准线与右准线的距离分别为与,根据椭圆的第二定义,有,即到左准线的距离为,到右准线的距离为例 3 已知椭圆内有一点,是椭圆的右焦点,在椭圆上有一点,使的值最小,求的坐标(如图)分析:若设,求出,再计算最小值是很繁的由于是椭圆上一点到焦点的距离,由此联想到椭圆的第二定义,它与到相应准线的距离有关故有如下解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页解:设在右准线上的射影为由椭圆方程可知,根据椭圆的第二定义,有即显然
11、,当、三点共线时,有最小值过作准线的垂线由方程组解得即的坐标为(四)总结提炼1列出椭圆的几何意义(投影展示上表)2通过椭圆的第二定义,可进一步了解椭圆的离心率的几何意义,它反映椭圆的圆扁程度,决定着椭圆的形状两准线间的距离为是不变量(五)布置作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 29 页(六)板书设计8.2 椭圆的简单几何性质(二)(一)复习提问问题 1问题 2(二)椭圆的第二定义(三)例题与练习例 1例 2例 3学生练习(四)小结椭圆的简单几何性质(第三课时)(一)教学目标1能利用椭圆中的基本量、熟练地求椭圆的标准方程
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