2022年判定平行四边形的五种方法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等； （3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图 1，已知 ABC 是等边三角形，D、 E分别在边BC 、 AC上，且 CD=CE ，连结 DE并延长至点F，使 EF=AE ，连结 AF、BE和 CF (1) 请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2) 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解： （1）选证 BDE FEC证明： ABC 是等边三角形，BC

2、=AC ，ACD=60 CD=CE ，BD=AE ，EDC 是等边三角形DE=EC ，CDE= DEC=60 BDE= FEC=120 又EF=AE ，BD=FE ， BDE FEC（ 2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（ 1）知， ABC 、EDC 、AEF 都是等边三角形CDE= ABC= EFA=60 AB DF ，BD AF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中， G是 CD上一点，延长B

3、C到 E，使 CE=CG ，连结 BG并延长交DE于 F (1) 求证： BCG DCE ； (2) 将DCE绕点 D顺时针旋转90得到 DAE ，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于 ABCD 是正方形，所以有AB DC ，又通过旋转CE=AE 已知CE=CG ，所以 EA=CG ，这样就有BE =GD ，可证EBGD是平行四边形。A F B D C E 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载解： （1）ABCD是正方形，BCD= DCE=90 又 CG=CE，BCG

4、 DCE（ 2） DCE绕 D顺时针旋转 90得到 DAE ，CE=AE ， CE=CG，CG=AE ，四边形ABCD是正方形BE DG ， AB=CD AB- AE =CD -CG，即 BE =DG四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图 3 所示，在 ABC 中，分别以AB 、AC 、BC为边在 BC的同侧作等边 ABD ，等边 ACE ，等边BCF 。求证：四边形DAEF 是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解： ABD 和F

5、BC都是等边三角形DBF+ FBA= ABC+ FBA=60 DBF= ABC又BD=BA ， BF=BC ABC DBFAC=DF=AE 同理 ABC EFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例 4 已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和 BD相交于 O，AE BD 于 E，BF AC 于 F，CG BD于 G，DH AC 于 H，求证：四边形EFGH 是平行四边形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

6、，共 4 页学习必备欢迎下载图 4 分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG ，OF=OH ，则问题可获得解决。证明： AE BD ，CG BD ，AEO= CGO ，AOE= COG ， OA=OC AOE COG ，OE=OG同理 BOF DOHOF=OH四边形EFGH 是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例 5 将两块全等的含30角的三角尺如图1 摆放在一起四边形 ABCD是平行四边形吗？理由。(1) 如图 2，将 RtBCD沿射线 BD方向平移到

7、RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解： （1）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下：ABC= ABD+ DBC=30 +90=120，ADC= ADB+ CDB=90 +30=120又A=60 ， C=60 ，ABC= ADC ，A=C（ 2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将 RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时，有RtC1BB1RtADD1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA= ABD+ C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1= BC1B1+ B1C1D1=D1AD+ DAB= D1AB 所以四边形ABC1D1是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知 ABCD 是平行四边形， AB CD ，将RtBCD沿射线 BD方向平移到RtB1C1D1的位置时，始终有AB C1D1，故 ABC1D1是平行四边形。= = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页