[理学]1 概率论的基本概念.ppt

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1、理学理学1 概率论的基本概率论的基本概念概念7/10/20222概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。3u第一章 概率论的基本概念v 1.1 随机试验v 1.2 样本空间v 1.3 概率和频率v 1.4 等可能概型（古典概型）v 1.5 条件概率v 1.6 独立性u第二章 随机变量及其分布v 2.1 随机变量v 2.2 离散型随机变量及其分布v 2.3 随机变量的分布函数v 2.4 连续型随机变量及其概率密度v 2.5 随机变量的函数的分布u第三章 多维随机变量及其分布v 3.1 二维随机变量v 3.2 边缘分布 v 3.3 条件分布v 3.4 相互独立的随机变量v 3.5 两个随

2、机变量的函数的分布4u第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望4.2 方差4.3 协方差及相关系数4.4 矩、协方差矩阵u第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 u第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布5u第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 u第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验u第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试

3、验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归6u第十章 随机过程及其统计描述10.1 随机过程的概念10.2 随机过程的统计描述10.3 泊松过程及维纳过程u第十一章 马尔可夫链11.1 马尔可夫过程及其概率分布11.2 多步转移概率的确定11.3 遍历性u第十二章 平稳随机过程12.1 平稳随机过程的概念12.2 各态历经性12.3 相关函数的性质12.4 平稳过程的功率谱密度7关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章 概率论的基本概念81 随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象确定确定不确定

4、不确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象v例：v 向上抛出的物体会掉落到地上 打靶，击中靶心 买了彩票会中奖9不确定现象：个别现象 随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确 定性，但在大量重复试验中其结 果又具有统计规 律性。10概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。11概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。 它具有以下特性：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 v例： 抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；122

5、 样本空间随机事件( (一一) )样本空间样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空样本空 间间，记为S=e， 称S中的元素e为样本点样本点，一个元素的单点集称为基本事件基本事件S=0,1,2,；S=S=正面，反面正面，反面 ；S=(x,y)|T0yxT1；S= x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数v 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y记录一批产品的寿命x13(二) 随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，简称事件事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件事件A发生发生。随机事件有如下特征： v任意一事件A是相应的样本

6、空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示； v事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现； v事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。 14v 随机变量随机变量: 表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.维恩图 ( Venn ).事件的三种表示 用语言语言、用集合集合、用随机变量随机变量.事件的表示15S=0,1,2,；记 A=至少有10人候车=10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。基本事件。如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件必然事件。为方

7、便起见，记为不可能事件不可能事件，不包含任何样本点。 16v例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A=x+y为奇数，B=两次的骰子点数奇偶性不同 ，则 2 ABABBA1 ：事件 发生一定导致 发生ABABBABABASAB(三) 事件的关系及运算事件的关系及运算v事件的关系（包含、相等）17v 事件的运算 | ABx xAxBAB或： 与 至少有一发生。121121,ninininiAAAAAAAA：至 少 有 一 发 生：同 时 发 生SBASABSBAAB A与B的和事件，记为,AB A B AB

8、A与B的积事件，记为 | ABx xAxBAB且： 与 同时发生。当AB= AB= 时，称事件A A与B B是互是互不相容的，或互斥的。 18 “和”、“交”关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA ；AB AB ABABABABSABASA | 事件 对事件 的差事件：且A BABx xAxBAB , ,逆事件记为互逆(互为的, 若,对立事件)称 AASABSAAA BA AA B 例：设A A= 甲来听课 ，B B= 乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来19德莫根公式;ABABABAB1111;nnnniiiiiii

9、iAAAA20 概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统”。 v例： 由n个部件组成的系统，记串联系统： 并联系统：第i个部件没有损坏 ，i=1,2, ,A系统没有损坏iAn1niiAA1niiAA213 频率与概率( (一一) )频率频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率频率。An()；nAfAnn( )nfA1 n；( )12 1675%nfA ( )nfA某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A=听课迟到

10、，则 例：中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度频繁程度。 22* 频率的性质：频率的性质： 121110( )12( )13,()()nnkkkniniiifAfSA AAfAfA。 。 。 若,两两互不相容，则 试验序号n =5n =50n =500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.36

11、0.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率24实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005表表 2 225* 频率的重要性质：频率的重要性质： 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p( )nfA26 定义 2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件为事件A A的概率的概率。12111( )02(

12、 )13,()()。 。 。 ,.,.,（ij）kijiiiiP AP SA AAA APAP Av (二) 概率 定义 1： 的稳定值p定义为A A的概率的概率，记为P(A)=p ( )nfA27性质：(1,2,.),nAn证：令1,.nijnAA Aij111()()()nnnnnPPAP AP 1 ()0 P()0.()0)PP 12112,()()nnnijiiiiA AAA AijPAP A。 ,.,(1,2,.),n kAk证：令, ,1,2,.ijA Aij i j 1111()()()().nniiiiiiiiPAPAP AP A284()( )( ) 若，则有 ABP BAP

13、 BP A3 ()1()P AP AAAS证：( )( )1P AP A()()证：BAA BABABAAB( )( )()P BP AP AB( )( )()()0P BP AP ABP BA( )( )P BP A()?P BA问题：一般情况下()( )()P BAP BP AB答案：( )( ),( )( )1于是有P BP AP AP S29( )0( )1P AAP BBS注：已知不能；已知不能.305 ()( )( )()概率的加法公式：P ABP AP BP AB()ABABA证：()( )()P ABP AP BA()( )( )()P ABP AP BP AB#5。的推广1：

14、1111121()()()()( 1)()nniiijiij ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC()()( )()P ABCP ABP CP ACBC证：( )( )()( )()()()P AP BP ABP CP ACP BCP ABC#5。的推广2(一般情形）：31例：甲乙丙例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至，其中至少有两人参加的概率为少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为，都参加的概率为0.05，求，

15、求3人中至少有一人参加的概率。人中至少有一人参加的概率。解解：设A, B, C分别表示甲, 乙, 丙参加，由条件知P(A) = P(B) =P(C) = 0.4, P(AB AC BC) = 0.3, P(ABC) = 0.05 .由0.3P(AB AC BC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) 2P(ABC), 得 P(AB) + P(AC) + P(BC) = 0.3 + 2P(ABC) = 0.4, 因此，P(甲乙丙至少有一人参加）= P(A B C)= P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC)+ P(ABC) = 0.85 .324 等可能

16、概型（古典概型）定义：若试验E满足：vS中样本点有限(有限性)v出现每一样本点的概率相等(等可能性) AP AS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型等可能概型( (或古典概型或古典概型) )。33v例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。（1）从袋中随机摸一球，记A= 摸到红球 ，求P(A) （2）从袋中不放回摸两球， 记B=恰是一红一黄，求P(B)v 解：(1) 11235815(2) ( )/53.6%28P BC CC 38P AS=1,2,8,A=1,2,3 34()/, 0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC （注：

17、当Lm或L0，i=1,2,n；则称：12nAASABABABijABABij与不相容1( )()(|)njjjP AP BP A B为全概率公式全概率公式1( )()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA证明：证明： 注：注：在运用全概率公式时，一个关键是构造一在运用全概率公式时，一个关键是构造一 组合适的划分。组合适的划分。51* 全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：11njjpSP1P2.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A BPn52 更进一步，设试验E的样本空间为S，A

18、和C为E的事件。B1,B2,Bn为S的一个划分，P(BiC)0，i=1,2,n；P(C )0, 则称： 为条件概率的全概率公式。11()()()(|)nnjjjjjP A CP AB CP B CP A B C531() (|)(|)() (|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)()iiP B AP BAP A定理：接上面全概率公式的条件，且P(A)0,则 称此式为BayesBayes公式。公式。54例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为70%，若甲出差，则乙出差的概率为10%；若甲不出差，则乙出差的概率为60%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知

19、乙近期出差在外，求甲出差的概率。 ( )0.70, (|)0.10, (|)0.60P AP B AP B A已知 1 ( )()P BP ABAB( ) ( | )( ) ( | )P A P B AP A P B A0.7 0.1 0.3 0.6 25% ()()72 ( | )( )()()25P ABP ABP A BP BP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率全概率公式公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差55v 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(

20、C)=0.005，问这种方法能否用于普查？(|)5%, (|)5%,P A CP A C()( | )( )P ACP C AP A( )(|)0.087( ) (|)( ) (|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。56v 例：有三个箱子，第1箱装有5件正品2件次品，第2箱装有4件正品2件次品，第3箱装有3件正品2件次品。现从第一箱中随机取1件放到第2箱，再从第2箱中随机取1件放到第

21、3箱，然后从第3箱中随机取1件，求最后取到的是次品的概率。( )( ) (|)( ) (|)P CP A P C AP A P C A解：设A,B,C分别表示从第1，2，3箱取到次品，3 34 217()() (|)() (|)7 67 642P C AP B A P C BAP B A P C BA由条件概率全概率公式，2 35 216()() (|)() (|)7 67 642P C AP B A P C BAP B A P C BA2 175 1657( )( ) (|)( ) (|)7 427 42147P CP A P C AP A P C A问题：直接可以用全概率公式吗？576 独

22、立性v 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响58定义：设定义：设A A，B B为两随机事件，如果为两随机事件，如果 P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)* *P(B)P(B)， 则称则称A A，B B 相互独立相互独立. . 若若 ， P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)* *P(B)P(B)等价于等价于P(B|A)=P(B)P(B|

23、A)=P(B)， P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)* *P(B)P(B)也等价于也等价于P(A|B)=P(A).P(A|B)=P(A).( )0, ( )0P AP B59 注意：,A BA BA BA B相互独立相互独立相互独立相互独立1212112,2, ,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA设为 个随机事件，若对定义： 均有：则称相互独立1 两两独立不能相互独立2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性， 而是由实际情形来判断其独立性。 1P ABP A P BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B证： 当时60 n重贝努利试验：

24、 设试验E只有两个可能的结果： , p(A)=p, 0p0p0，但很小很小，他独立重复进行了，但很小很小，他独立重复进行了n n次操作，次操作， 求求(1) n(1) n次都不发生事故的概率；次都不发生事故的概率；(2) (2) 至少有一次发生事故的概率。至少有一次发生事故的概率。 上式的意义为：上式的意义为： “ “小概率事件小概率事件”在大量独立重复在大量独立重复试验中试验中“至少有一次发生至少有一次发生”几乎是必然的。几乎是必然的。解：设A=n次都不发生事故,B=至少有一次发生事故,Ci=第i次不发生事故,i=1,2,n1,.,()1niCCP Cp 则相互独立，1( )()(1)nnP

25、 AP CCp( )1( )1(1) ,lim( )1nnP BP ApP B 注意到66 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列：附： 排列与组合公式!(1).(1)()!rnnPn nnrnr 67组 合 组合：!()!rrnnnPnCrr nrr 11rn rnrCr 重复组合：68 求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注 意69加法原理 完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.乘法原理 完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.7/10/2022课件待续!