2022年华师大版九年级数学上册课本教材 .pdf

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1、第 25 章解直角三角形 . 2 25. 1 测量. 3 25. 2 锐角三角函数 . 41. 锐角三角函数 . 42用计算器求锐角三角函数值 . 7 25. 3 解直角三角形 . 9阅读材料 . 13 小结. 14 复习题. 15 课题学习 . 18精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页第 25 章解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题222cbaabBtan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页25. 1 测量当你走进

2、学校， 仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题图 25.1.1 如图 2511，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度如果就你一个人，又遇上阴天， 那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识试一试如图 2512 所示，站在离旗杆BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角 BAC 为 34，并已知目高AD 为 1.5 米现在若按1500 的比例将 ABC画在纸上，并记为A BC，用

3、刻度直尺量出纸上BC的长度，便可以算出旗杆的实际高度你知道计算的方法吗？图 25.1.2 实际上，我们利用图2512（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理） ，那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容练习1小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度2请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、-第 3 页，共 39 页习题 251 1如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部300 米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40，目高 15 米试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度 （精确到 01米）（第 1 题）2在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1 米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2 米，问这里水深多少？3如图，在一棵树的10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘A 处另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度（第 3 题）25. 2 锐角三角函数1. 锐角三角函数

5、在 251 中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即ABC ABC按5001的比例，就一定有5001ACCABCCB，5001就是它们的相似比当然也有ACBCCACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为RtABC ，直角 C 所对的边AB 称为斜边，用 c 表示，另两条直角边分别为A 的对边与邻边，用a、b 表示（如图252 1） 图 25.2.1 前面的结论告诉我们，在RtABC 中，只要一个锐角的大小不变（如A34） ，那么不管这个

6、直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值思考一般情况下，在RtABC 中，当锐角A 取其他固定值时，A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图 25.2.2 观察图 2522 中的 Rt11CAB、Rt22CAB和 Rt33CAB，易知Rt11CABRt _Rt_，所以111ACCB_可见，在 RtABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA、cosA、tanA 、cotA，即sinA斜边的对边A，

7、cosA斜边的邻边A，tanA的邻边的对边AA，cotA的对边的邻边AA分别叫做锐角A 的 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A 的三角函数 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0sinA1，0cosA1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页根据三角函数的定义，我们还可得出AA22cossin1，tanAcotA1图 25.2.3 例 1 求出图 252 3 所示的 RtABC 中 A 的四个三角函数值解1728922ACBCAB，sinA178ABBC，cosA1715ABAC，tanA158ACBC，cotA815

8、BCAC探索根据三角函数的定义，sin30是一个常数用刻度尺量出你所用的含30角的三角尺中，30角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30是多少通过计算，我们可以得出图 25.2.4 sin3021斜边对边，即斜边等于对边的2 倍因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页思考上述结论还可通过逻辑推理得到如图2524，RtABC 中， C90， A 30，作 BCD60，点 D 位于斜边AB 上，容易证明BCD 是正三角形，

9、DAC 是等腰三角形，从而得出上述结论做一做在 RtABC 中， C90，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列A 的四个三角函数值：（1）A30； （2）A60； （3）A45为了便于记忆，我们把30、 45、 60角的三角函数值列表如下：sincostancot3021451 1 6021练习1如图，在 RtMNP 中， N90P 的对边是 _， P 的邻边是 _；M 的对边是 _， M 的邻边是 _(第 1 题) （第 2 题）2求出如图所示的RtDEC（ E90）中 D 的四个三角函数值3设 RtABC 中， C90， A、 B、 C 的对边分别为

10、a、b、c，根据下列所给条件求 B 的四个三角函数值：（1）a3，b4； （2）a5，c 134求值：2cos60 2sin30 4tan452用计算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角（1）求已知锐角的三角函数值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页例 2 求 sin635241的值（精确到00001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：(SETUP) 显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0897859012所以 sin63 5241 08979例 3 求

11、 cot7045的值（精确到00001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示） ，按下列顺序依次按键：显示结果为03492156334所以 cot70 45 03492（2）由锐角三角函数值求锐角例 4已知 tanx 07410，求锐角x （精确到1）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示） ，按下列顺序依次按键：(1tan) 显示结果为36 53844577再按键：显示结果为4 .182336SHIFT MODE 3 D sin 63 o”tan 52 o”o”41 = D 1 70 o”45 o”= D SHIFT tan 0 4 7 0 1 = SHIFT o”精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页所以 x 3632例 5 已知 cotx 01950，求锐角 x （精确到1）分析根据xxcot1tan，可以求出tanx 的值，然后根据例4 的方法就可以求出锐角x的值练习1使用计算器求下列三角函数值（精确到 00001）sin24， cos514220， tan7021， cot702已知下列锐角 的各三角函数值，使用计算器求锐角 （精确到1）（1）sin02476； （2）cos04174；（3）tan01890； （4）cot13773习题 252 1在 RtABC 中， C90，已知AC

13、 21，AB 29，分别求 A、 B 的四个三角函数值2在 RtABC 中， C90， BCAC 34，求 A 的四个三角函数值3求下列各式的值（1）sin3045sin22tan3160；（2）)60cos430)(cot60tan30sin4(4用计算器求下式的值 （精确到0 0001）sin813217 cos38 43475已知 cotA31748，利用计算器求锐角A （精确到1）25. 3 解直角三角形我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具例 1 如图 2531 所示， 一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10 米处折断倒下，树顶落

14、在离树根24 米处大树在折断之前高多少？图 25.3.1 解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页26241022，26 1036（米）所以，大树在折断之前高为36 米在例 1 中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角像这样， 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形图 25.3.2 例 2 如图 2532，东西两炮台A、B 相距 2000 米，同时发现入侵敌舰C，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东40的方向，炮台B 测得敌舰 C 在它

15、的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1 米）解在 Rt ABC 中，CAB 90 DAC 50，ABBCtanCAB ，BCAB tanCAB 2000tan50 2384（米）ACABcos50，AC50cos200050cosAB3111（米） 答：敌舰与 A、B 两炮台的距离分别约为3111 米和 2384 米在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角练习1在电线杆离地面8 米高的地方向地面拉一条长10 米的缆绳， 问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2海船以 326 海

16、里 /时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30处， 半小时后航行到B 处， 发现此时灯塔Q 与海船的距离最短， 求灯塔 Q 到 B 处的距离 （ 画出图形后计算，精确到01 海里）读一读精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页图 25.3.3 如图 2533，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角例 3 如图 25 3 4， 为了测量电线杆的高度AB， 在离电线杆22 7 米的 D 处，用高 1 20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角 22

17、，求电线杆AB 的高 （精确到01 米）图 25.3.4 解在 RtACE 中，AECEtanDB tan 227tan22 917，AB BEAE AECD 917120 104（米） 答：电线杆的高度约为104 米练习1如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高度AC1200 米，从飞机上看地面控制点 B 的俯角 1631，求飞机A 到控制点 B 的距离（精确到 1 米）（第 1 题）（第 2 题）2两座建筑AB 与 CD，其地面距离AC 为 504 米，从 AB 的顶点 B 测得 CD 的顶部 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、 -第 11 页，共 39 页的仰角 25，测得其底部C 的俯角 50，求两座建筑物AB 与 CD 的高（精确到01 米）读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度如图 2535，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i，即lhi图 25.3.5 坡度通常写成1m 的形式，如i16坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有lhitan显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡例 4 如图 2536，一段路基的横断面是梯形，高为42 米，上底的宽是1251 米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和 28求路基下底的宽 （精确到 01 米）图 25.3

19、.6 解作 DE AB，CFAB ，垂足分别为E、F由题意可知DECF42（米） ，CDEF1251（米） 在 RtADE 中，iAEAEDE2.4tan32，AE32tan2. 4672（米） 在 RtBCF 中，同理可得BF28tan2. 4790（米）ABAEEF BF 6721251790271（米）答：路基下底的宽约为271 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽 62 米，坝高235 米，斜坡AB 的坡度1i1 3，斜坡 CD 的坡度2i125求：（1）斜坡

20、 AB 与坝底 AD 的长度；（精确到01 米）（2）斜坡 CD 的坡角 （精确到1）习题 253 1在 RtABC 中， C90，由下列条件解直角三角形：（1）已知 a156，b56，求 c; （2）已知 a 20，c220，求 B；（3）已知 c 30，A60，求 a；（4）已知 b 15，A30，求 a2 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1 2 米 台阶被拆除后， 换成供轮椅行走的斜坡根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到01 米）3两幢大楼相距110 米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26，如果甲楼高35 米，那么乙楼的高为

21、多少米？（精确到1 米）（第 3 题）（第 4 题）4一艘船向东航行，上午8 时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59，距离为72海里的 A 处；上午10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正北方向求这艘船航行的速度（精确到 1 海里 /时）阅读材料葭生池中今有方池一丈，葭生其中央，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问：水深、葭长各几何？（采自杨辉详解九章算法，1261 年）这是我国数学发展史上著名的“葭生池中”问题它的解法可以由下图获得中世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bhaskara，

22、11141185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花问题”平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃湖面之上不复见，入秋渔翁始发现残花离根二尺远，试问水深尺若干这类问题还有很多很多你看，关于勾股定理应用的丰富有趣的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？小结一、 知识结构应用直角三角形两个锐角互余30角所对的直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页二、概括1理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；2能

23、应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题复习题A 组1某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽 a4m，高 b 3m，长 d35m，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积（第 1 题）（第 2 题）2如图，正方形ACDE 的面积为252cm，测量出AB 12cm，BC13cm，问 E、A、B 三点在一条直线上吗？为什么？3已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长4求下列各式的值（1）2cos30 cot60 2tan45；（2）60cos45sin22；（3）60cot60tan30cos30sin22225求下列各直角三角形中字母的值（第 5 题）6小明放一个线长为1

24、25 米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39角他的风筝有多高？（精确到1 米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页7在 RtABC 中， C90，A60， A 的平分线 AM 的长为 15cm，求直角边 AC 和斜边 AB 的长（精确到 0.1cm）8已知在 RtABC 中， C90，直角边AC 是直角边BC 的 2 倍，求 B 的四个三角函数值9如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y） ，且 OP 与 x 轴的正半轴的夹角 的正切值是34，求：（1）y 的值；（2）角的正弦值（第 9 题

25、）（第 10 题）10如图，飞机 A 在目标 B 的正上方1000 米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30，求地面目标B、之间的距离 （结果保留根号）11如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下 24 米处由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8 米的点 B 挖掘考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1，距离精确到01 米）（第 11 题）（第 12 题）B 组12如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角 和坝底宽 AD （iCEED，单位米，结果保留根号）13如图，两建筑物

26、的水平距离BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角 30，测得点C 的俯角 60，求 AB 和 CD 两座建筑物的高 （结果保留根号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页（第 13 题）C 组14如图，为了测得电视塔的高度AB，在 D 处用高 12 米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A 的仰角为42，再向电视塔方向前进120 米，又测得电视塔的顶端A 的仰角为61，求这个电视塔的高度AB （精确到 1 米）（第 14 题）15如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得

27、ABC 60， ACB 45，量得BC 长为 30 米（1）求河的宽度（即求ABC 中 BC 边上的高）； （精确到1 米）（2）请再设计两种测量河的宽度的方案（第 15 题）（第 16 题）16折竹抵地（源自九章算术） ：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3 尺远问原处还有多高的竹子？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页课题学习高度的测量我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、 旗杆

28、、大树等等 .如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：1可以用什么测量方法？2每一种方法要用到哪些工具？3应测量得到哪些有关的数据？4如何计算最后的结果？写出你们的计划，再实际做一做，看看最后的结果如何与其他的小组比较一下，看谁的效果较好第 26 章随机事件的概率 . 226.1 概率的预测 . 31什么是概率 . 32在复杂情况下列举所有机会均等的结果 . 6阅读材料 . 926.2 模拟实验 . 10 1. 用替代物做模拟实验 . 10 2用计算器做模拟实验 . 28 小结. 31 复习题. 32 课题学习 . 33 附表随机数表 . 34精选学习资料

29、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 39 页第 26 章随机事件的概率班级联欢会上举行抽奖活动：每个同学的名字都写在小纸条上投入抽奖箱，其中男生 22名， 女生 20名 老师闭上眼睛从搅匀的小纸条中抽出一张，恰好抽中男同学的概率大，还是抽中女同学的概率大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 39 页26.1 概率的预测1什么是概率我们已经知道，抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能的结果：“出现正面”和“出现反面”这两个结果发生的可能性相等，所以各占50%的机会 50%这

30、个数表示事件“出现正面”发生的可能性的大小表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率（probability ） 例如，抛掷一枚硬币，“出现反面”的概率为21，可记为P（出现反面）21再例如，投掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字1”的概率为61，可记为P（出现数字1）61这两个问题比较简单，都可以经过分析得出概率，但有很多问题， 人们也经常采取重复实验、观察频率值的办法，这种办法我们已经比较熟悉了让我们一起回顾已经做过的几个实验及其结果，并完成表2611表 2611 做过的几个实验及其实验结果实验关注的结果频率稳定值所有机会均等的结果关注结果发生的概率抛掷一枚硬币正面0 5 左右正

31、面；反面21抛掷两枚硬币两个正面0 25 左右两个正面；两个反面；先正后反；先反后正41投掷一枚四面体骰子掷得“ 4”0 25 左右数字： “1” ； “ 2” ；“3” ； “4”41投掷一枚六面体掷得“ 6”0 167 左右精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 39 页骰子从一副没有大小王的扑克牌中随机地抽一张黑桃0 25 左右我们发现， 原来这几个动手实验观察到的频率值也可以开动脑筋分析出来，当然， 最关键的有两点：（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；（2）要清楚所有机会均等的结果（1） 、 （2）两种结果个数

32、之比就是关注的结果发生的概率，如P（掷得“ 6” ）61，读作：掷得“ 6”的概率等于61问题 1 掷得“ 6”的概率等于61表示什么意思？有同学说它表示每6 次就有 1 次掷出 “6” ， 你同意吗？请你再做投掷骰子实验，一旦掷到“6” ，就算完成了1 次实验，然后数一数你投掷了几次才得到“6”的看看能否发现什么小明的实验结果如表2612 所示，在他10 次实验中，有时很迟才掷得“6” ，有时很早就掷得“ 6” ，平均一下的话，平均每5 4次掷得一个“6” 你是平均几次掷得“6”的？表 2612 平均投掷骰子几次得到1 次“ 6”实验每次掷得的点数投掷次数第 1 次实验4 3 4 5 3 1

33、 5 2 1 2 2 4 5 3 6 15 次第 2 次实验4 6 2 次第 3 次实验2 5 2 5 5 4 5 4 1 6 10 次第 4 次实验2 4 6 3 次第 5 次实验5 3 5 5 4 6 6 次第 6 次实验5 6 2 次第 7 次实验5 1 2 3 1 1 6 7 次第 8 次实验2 6 2 次第 9 次实验5 6 2 次第 10 次实验5 5 2 5 6 5 次10 次实验的平均值（15210 3627225） 1054 从实验结果看， 原来这句话应该表示：如果掷很多很多次的话，那么平均每6 次有 1次掷出“ 6” 思考1已知掷得“ 6”的概率等于61，那么不是“ 6”

34、（也就是 15）的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？2我们知道，掷得“6”的概率等于61也表示：如果重复投掷骰子很多很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到61附近这与“平均每6 次有 1 次掷出 6 ”互精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 39 页相矛盾吗？练习投掷一个均匀的正八面体骰子，每个面上依次标有1、 2、3、4、5、6、7 和 8（1）掷得“ 7”的概率等于多少？这个数表示什么意思？（2）掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数表示什么意思？（3）掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数

35、表示什么意思？在以前的学习中，我们主要是通过大数次的实验，用观察到的频率来估计概率的这样做的优点是能够用很直观的方法解决许多日常生活中与随机性有关的问题，如游戏公平性问题、中奖机会问题等它的缺点是估计值必须在实验之后才能得到，无法预测这一节，我们主要学习在较为简单的问题情境下如何预测概率例 1 班级里有20 个女同学， 22 个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀如果老师闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大？分析全班 42 个学生名字被抽到的机会是均等的解P（抽到男同学名字）42222111，P（抽到女同学名字）42

36、2021102111，所以抽到男同学名字的概率大思考1抽到男同学名字的概率是2111表示什么意思？2P（抽到女同学名字）P（抽到男同学名字）100%吗？如果改变男女生的人数，这个关系还成立吗？3下面两种说法你同意吗？如果不同意，想一想可以采用哪些办法来说服这些同学（1）有同学说：抽到男同学名字的概率应该是21，因为“抽到男同学名字”与“抽到女同学名字”这两个结果发生的机会相同（2）有同学说：虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽一张纸条的话，概率实际上还是一样大的例 2 一只口袋中放着8 只红球和16 只黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别袋中的球已经搅匀蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出

37、黑球与红球的概率分别是多少？解P（取出黑球）241632，P（取出红球）1P（取出黑球）31，所以，取出黑球的概率是32，取出红球的概率是31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 39 页例 3 甲袋中放着22 只红球和8 只黑球，乙袋中则放着200 只红球、 80 只黑球和10 只白球， 这三种球除了颜色以外没有任何其他区别两袋中的球都已经各自搅匀蒙上眼睛从口袋中取1 只球，如果你想取出1 只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？思考小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多， 成

38、功的机会也比较大；小丽则认为都一样，因为只摸1 次，谁也无法预测会取出什么颜色的球你觉得他们说得有道理吗？解在甲袋中， P（取出黑球）308154，在乙袋中， P（取出黑球）29080298308，所以，选乙袋成功的机会大练习袋中装有大小相同的3 个绿球、 3 个黑球和6 个蓝球，闭上眼从袋中摸出1 个球，求以下6个事件发生的概率（1）摸出的球颜色为绿色；（2）摸出的球颜色为白色；（3）摸出的球颜色为蓝色；（4）摸出的球颜色为黑色；（5）摸出的球颜色为黑色或绿色；（6）摸出的球颜色为蓝色、黑色或绿色2在复杂情况下列举所有机会均等的结果例 4 抛掷一枚普通的硬币3 次 有人说连续掷出三个正面和先

39、掷出两个正面再掷出一个反面的概率是一样的你同意吗？分析对于第 1 次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第 2 次抛掷来说也是这样 而且每次硬币出现正面或反面的机会都相等由此，我们可以画出图2611图 26.1.1 在图 2611 中，从上至下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的机会相等解抛掷一枚普通的硬币3 次，共有以下8 种机会均等的结果：正正正，正正反，正反正，正反反，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 39 页反正正，反正反，反反正，反反反，P（正正正）P（正正反）81，所以，这一说法正确在分析这一问

40、题的过程中，我们采用了画图的方法这幅图好像一棵倒立的树，因此我们常把它称为 树状图 （ treediagram） ，也称树形图、树图它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明思考有的同学认为：抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4 种情况：（1）全是正面；（2）两正一反；（3）两反一正；（4）全是反面 因此这四个事件出现的概率相等你同意这种说法吗？为什么？问题 2 口袋中装有1 个红球和2 个白球，搅匀后从中摸出1 个球，会出现哪些可能的结果？有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和摸出白球这两个事件是等可能的也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球，摸出白1

41、球，摸出白2 球，这三个事件是等可能的你认为哪种说法比较有理呢？如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3 种结果：（1）都是红球；（ 2）都是白球；（3）一红一白这三个事件发生的概率相等吗？分析先用画树状图的方法看看有哪些等可能的结果：图 26.1.2 从图 2612 可以看出， 一共有 9 种可能的结果， 这 9 个事件出现的概率相等在摸出“两红” 、 “两白”、 “一红一白”这三个事件中，“摸出 _”的概率最小，等于_，“摸出一红一白”和“摸出_”的概率相等，都是_思考在分析问题2 时，一位同学画出如图2613 所示的树状图图 26.1.3 精选学习资料 - - -

42、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 39 页从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大他的分析有道理吗？为什么？问题 3 掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其数值是多少？我们可以用表2613 来列举所有可能得到的点数之积表 2613 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 表中

43、每个格子里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为_的概率最大， 其数值等于 _练习1同时投掷两枚正四面体骰子，下列事件出现的概率相等吗？（1）所得点数之差的绝对值恰为偶数；（2）所得点数之差的绝对值恰为奇数；（3）所得点数之差的绝对值恰为质数2 在九九乘法表的运算结果中随意抽取一个，将下列事件出现的概率从小到大排序：（ 1）恰为偶数；（ 2）恰为奇数；（3）小于 10； （4）大于 100； （5）末尾是0； （6）3的倍数习题 261 1你同意以下说法吗？请说明理由（1）“从布袋中取出一只红球的概率是99%” ，这句话的意思就是：肯定会取出一只红球，因为概率已经很大了；（2）“从布袋中取出一

44、只红球的概率是0” ，这句话的意思就是：取出一只红球的可能性很小；（3）布袋中有红、白、黑三种颜色的球，这些球除颜色外没有任何其他区别因为我对第1 枚积第2 枚精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 39 页取出一只红球没有把握，所以我就说“从布袋中取出一只红球的概率是50%” ；（4）“从布袋中取出一只红球的概率是01%” ，这句话的意思就是说话的人认为一定取不到红球2班级里有15 个女同学， 27 个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀（1）如果班长闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么每个同学

45、被抽中的概率是多少？男同学被抽中的概率是多少？女同学被抽中的概率是多少？（2）如果班长已经抽出了6 张纸条 2 个女同学、 4 个男同学， 他把这 6 张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7 张纸条， 那么这时余下的每个同学被抽中的概率是多少？男同学被抽中的概率是多少？女同学被抽中的概率是多少？3在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其他区别，其中有白球5 只、红球3 只、黑球1 只袋中的球已经搅匀（1）闭上眼睛随机地从袋中取出1 只球，分别求取出的球是白球、红球、黑球的概率；（2）若取出的第1 只球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地

46、取出 1 只球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？（3）若取出的第1 只球是黑球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出 1 只球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？4在分别写有数字1 到 20 的 20 张小卡片中，随机地抽出1 张卡片试求以下事件的概率（1）该卡片上的数字是5 的倍数；（2）该卡片上的数字不是5 的倍数；（3）该卡片上的数字是质数；（4）该卡片上的数字不是质数5如果抛掷四枚普通的硬币，那么所有机会均等的结果有哪些？6有人说： “投掷两个普通的正方体骰子，掷得两个6 的概率应是61的一半，也就是121 ”请用树状图或列表说明为什么这一说法是

47、错误的7取三枚硬币：在第一枚的正面贴上红色标签，反面贴上蓝色标签；在第二枚的正面贴上蓝色标签， 反面贴上黄色标签；在第三枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签同时抛掷三枚硬币，求下列事件出现的概率：硬币落地后，（1）颜色各不相同； （2）两黄一红；（3）都是红色；（4）两红一蓝；（5）两黄一蓝阅读材料电脑键盘上的字母为何不按顺序排列电脑在今天已走进了千家万户，大大提高了人们学习与工作的效率当你的指尖敲打着电脑键盘的时候，不知是否想过：键盘上的字母为什么不按顺序排列？我们不妨一起来做一项统计：先选取一篇文章（见附文），然后统计总的字母数、每个字母出现的频数及频率（见附表）， 可以发现灵活手指管辖

48、的区域中字母出现的频率一般较高，这样就体现出了不按字母顺序排列的优越性这个实验的方法并不复杂，有兴趣的话，你不妨尝试一下，多选几篇类型不同的文章，看看是否有新的发现？前面所做过的许多实验告诉我们，实验的次数越多，就越能得到与机会的真实值更为接近的估计值 这里也一样， 统计的文章越多越长，你就越能看出电脑键盘不按字母顺序排列的好精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 39 页处附文：An old man died and left his son a lot of money But the son was a foolish

49、young man ， and he quickly spent all the money ， so that soon he had nothing left Of course， when that happened，all his friends left him When he was quite poor and alone， he went to see Nasreddin， who was a kind， clever old man and often helped people when they had troubles “My money has finished an

50、d my friends have gone ， ” said the young man “ What will happen to me now? ”“Dont worry ， young man， ” answered Nasreddin “Everything will soon be all right again Wait， and you will soon feel much happier ” The young man was very glad “Am I going to get rich again then? ” he asked Nasreddin“No， I d