2022年历届高考数学真题汇编专题7平面向量理 .pdf

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1、- 1 - 【高考试题】一、选择题（共28 题）1 （安徽卷）如果111A B C的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则A111A B C和222A B C都是锐角三角形B111A B C和222A B C都是钝角三角形C111A B C是钝角三角形，222A B C是锐角三角形D111A B C是锐角三角形，222A B C是钝角三角形2 （北京卷）若a与bc都是非零向量，则“a ba c”是“()abc”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件3 （福建卷）已知OA=1，OB=3,OBOA=0, 点C在AOB内

2、，且AOC=30，设OC=mOA+nOB(m、nR)，则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页- 2 - 4 （福建卷）已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5 （B）4 （ C ）3 （ D）1 解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3| | cos120|2a babb，222|2|abaa bb， 21393|bb，则b=1( 舍去 ) 或b=4，选 B. 5 （广东卷）如图1 所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CDA.12BCB

3、A B. 12BCBA C. 12BCBA D. 12BCBA解析：BABCBDCBCD21，故选 A. 6 （湖北卷） 已知向量(3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b，则bA （3 1,22） B （13,22） C （1 3 3,44） D （1 , 0）7 （湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则baA. 41 B. 4 C. 21 D. 2 解：由a2b与a2b互相垂直（a2b） （a2b） 0a24b20 即|a|24|b|2|a| 2|b| ，故选 D 8 （湖南卷） 已知|2| 0ab, 且关于x的方程2|0 xa xa b有实根 , 则a与b的夹

4、角的取值范围是 ( ) ADCB图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页- 3 - A.0,6 B.,3 C.2,33 D.,69 （湖南卷）已知向量),2, 1 (),2(bta若1tt时，ab；2tt时，ba，则 A1, 421tt B. 1,421tt C. 1, 421tt D. 1,421tt10 （湖南卷） 如图 1：OMAB，点 P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界） . 且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是A)43,41(B. )32,32( C. )43,41( D.

5、 )57,51(解析：如图，OMAB，点 P 由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）. 且OByOAxOP，由图知， x0，当x=41时，即OC=41OA，P 点在线段 DE上，CD=41OB，CE=45OB，而414345， 选 C. 11 （ 辽 宁 卷 ）ABC的 三 内 角,A B C所 对 边 的 长 分 别 为, ,a b c设 向 量(,)pac b,(,)qba ca, 若/pq, 则角C的大小为(A)6 (B)3 (C) 2 (D) 23A B O M 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

6、 3 页，共 43 页- 4 - 12 （辽宁卷）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B, 点P是线段AB上的一个动点,APAB, 若OP ABPA PB, 则实数的取值范围是(A)112 (B) 2112 (C) 12122 (D) 221122【点评】本题考查向量的表示方法, 向量的基本运算, 定比分点中定比的范围等等. 13 （辽宁卷）已知等腰ABC的腰为底的2 倍，则顶角A的正切值是（）323158157解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151 tan1 ()215AAA，选 D 14 （全国卷I ）ABC的内角 A、B、C的对边分别

7、为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca，则cosBA14 B34 C24 D23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页- 5 - 15 （全国卷I ）设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则A1230bbb B1230bbb C 1230bbb D 1230bbb16 （全国卷I ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的 5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面

8、积为A28 5cm B26 10cm C23 55cm D220cm解：用 2、 5连接， 3、4 连接各为一边，第三边长为6 组成三角形，此三角形面积最大，面积为26 10cm，选 B. 17 （全国卷I ）已知向量ab、满足1,4,ab，且2a b，则a与b的夹角为A6 B4 C3 D218 （全国 II ）已知向量a（ 4，2） ，向量b（x，3） ，且a/b, 则x（A） 9 (B)6 (C)5 (D)3 解：a/b4 32x 0，解得x6，选 B 19 （山东卷）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c= 精选学习资料 - - - - - - -

9、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页- 6 - 1 （ B）2 （C）31 （D）320（山东卷） 设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1, 2) ， 若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2, 6) 解：设d（ x，y） ，因为 4a（ 4， 12） ，4b2c（ 6，20） ，2(ac) （ 4， 2） ，依题意，有4a（ 4b 2c） 2(ac) d0，解得 x 2，y 6，选 D 21 （山东卷）设向量a=(1, 3),b=( 2,4)

10、, 若表示向量4a、3b2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为(A) （1， 1） (B)（ 1， 1 ） (C) （ 4，6） (D) （4， 6）解： 4a（ 4， 12） ，3b2a（ 8，18） ，设向量c（ x，y） ，依题意，得4a（ 3b2a）c0，所以 48x 0， 1218y0，解得 x4，y 6，选 D 22( 陕西卷 ) 已知非零向量AB与AC满足 (AB|AB| +AC|AC|) BC=0 且AB|AB|AC|AC| =12 , 则ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形23( 上海卷 ) 如图，在平

11、行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC；（B）ADABAC；（C）ABADBD；（D）ADCB0解：由向量定义易得，（C）选项错误；ABADDB；24 （四川卷） 如图，已知正六边形123456PP P P P P，下列向量的数量积中最大的是A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页- 7 - （A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP25 （四川卷）设, ,a b c分别是ABC的三个内角,A B C所对的边，则2ab bc是2AB的（A）

12、充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件26 （浙江卷）设向量, ,a b c满足0abc,| 1,| 2ab ab, 则2|c(A)1 (B)2 (C)4 (D)5 27 ( 重庆卷 ) 与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1 的向量是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页- 8 - (A) 53,54 (B) 53,54或53,54（C）31,322（D ）31,322或31,322解析：与向量7 117,2 222ab的夹角相等，且模为1 的向量为(x ， y)

13、 ，则22171172222xyxyxy，解得4535xy或4535xy，选 B. 28 ( 重庆卷 ) 已知三点(2,3),( 1, 1),(6, )ABCk， 其中k为常数。若ABAC， 则AB与AC的夹角为（A）24arccos()25（B）2或24arccos25（ C）24arccos25（D）2或24arccos25二、填空题（共15 题）29 （安徽卷）在ABCD中，,3ABa ADb ANNC， M 为BC 的中点，则MN_。 （用ab、表示）解：343AANNCANCa由得，12AMab，所以3111()()4244MNababab。30. （ 北 京 卷 ） 若 三 点(2

14、,2),( ,0),(0,)(0)AB aCbab共 线 ， 则11ab的 值 等 于_. 31 （北京卷）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页- 9 - 解：sin:sin:sin5:7:8ABCa b c5 7 8 设 a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得B的大小为3. 32. （北京卷）若三点A(2 ，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于。解：AB（a2，2） ，AC（ 2，2） ，依题意，向量AB与AC共线，故有2（

15、a2） 40，得 a4 33. （ 北 京 卷 ） 在 ABC中 ，A，B，C所 对 的 边 长 分 别 为a,b,c. 若sinAsinBsinC=578, 则abc= , B的大小是 . 34（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin), 且 ab，那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是 . 35. （湖北卷）在ABC中，已知433a，b4，A 30，则 sinB 32 . 解：由正弦定理易得结论sinB 32。36. （湖南卷）如图2,OM AB,点 P在由射线 OM 、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内( 不含边界 ) 运动 , 且OPxOAyOB, 则x

16、的取值范围是 ;当12x时,y的取值范围是 . 解析 : 如图 , ABOM /, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内 ( 不含边界 ) 运动 , 且OByOAxOP，由向量加法的平行四边形A O M P B 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页- 10 - 法则， OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和 OA的反向延长线为两邻边， x的取值范围是( ， 0)；当21x时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上， CD=21OB ，CE=23OB ， y的取值范围是(21，23

17、). 37. （江苏卷）在 ABC 中，已知BC 12，A60， B45，则AC 38. （江西卷）已知向量(1 sin)a，(1 cos )b，则ab的最大值为解：ab|sincos | 2|sin （ 4） |2。39. （全国II ）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB 1，BC 4，则边BC上的中线AD的长为解析 : 由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而 A+B+C= 可得3BAD为边 BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD。本题主要考察等差中项和余弦定理, 涉及三角形的内角和定理, 难度中等。40. （ 天 津 卷 ） 设 向 量a与b的

18、夹 角 为，(3 3)a，2( 11)ba， 则c o s解 析 ： 设 向 量a与b的 夹 角 为,且(3,3), 2( 1,1),aba (1,2)b， 则cos9| | 325a bab31 010。41. （浙江卷）设向量 a,b,c满足 a+b+c=0,(a- b)c,a b, 若 a =1, 则 a22| b+c2的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 43 页- 11 - 解析：10000,babacbcabababacbcacbabacba222bac，所以42

19、22cba【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。42. （ 上 海 春 ） 在 ABC中 ， 已 知5, 8ACBC， 三 角 形 面 积 为12 ， 则C2c o s . 43. （上海春）若向量ba、的夹角为150，4,3ba，则ba2 . 三、解答题（共11 题）44. （ 湖 北 卷 ） 设 函 数( )()f xa bc， 其 中 向 量(sin,cos )axx，(sin, 3cos )bxx，(cos ,sin)cxx，xR。（） 、求函数( )f x的最大值和最小正周期；（）、将函数( )f x的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心

20、对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页- 12 - 45. （湖北卷）设向量a(sinx，cosx) ，b(cosx，cosx) ，xR，函数f(x)a(ab). （）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)23成立的 x 的取值集。解： （）222sincossincoscos11321sin2cos21sin(2)22224fxa aba aa bxxxxxxxx（）

21、fx的最大值为3222，最小正周期是22。（）由（）知3323sin(2)sin(2)02224243222,488fxxxkxkkxkkZ即32fx成立的x的取值集合是3|,88x kxkkZ. 46 （湖南卷）如图3,D 是直角 ABC 斜边 BC上一点 ,AB=AD,记CAD=, ABC=. 证明sincos20; B D C A 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页- 13 - 若 AC=3DC,求的值 . 解： (1) 如图 3，(2 )2,sinsin(2)cos2222，即sincos2047

22、 （江西卷） 在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS，求b的值解： （1）因为锐角 ABC 中， A BC ，2 2sin3A，所以 cosA13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cosA171cosA1cosBC21cosA33（ ） （ ） （ ）（2）ABCABC112 2S2Sbcsin Abc223因为，又，则bc3。将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos A中得42b6b90 解得 b348. （江

23、西卷）如图，已知ABC 是边长为1 的正三角形，M 、N分别是边 AB、AC上的点，线段 MN经过 ABC的中心 G，设MGA （233）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页- 14 - 试将 AGM 、AGN 的面积（分别记为S1与 S2）表示为的函数（2）求 y221211SS的最大值与最小值因为233，所以当3或23时， y 取得最大值ymax 240 当2时， y 取得最小值ymin216 49.（全国卷 I ）ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最

24、大值。. 解: 由 A+B+C= , 得B+C2 = 2A2 , 所以有 cosB+C2 =sinA2 . cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1 2sin2A2 + 2sinA2=2(sinA212)2+ 32当 sinA2 = 12 , 即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为3250. （全国 II ）已知向量a(sin ，1)，b(1 ，cos) ，22（）若ab，求 ；（）求ab的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页- 15 - 本题主要考察以下知识点1. 向量垂直

25、转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3. 三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大51. （全国 II ）在2 545 ,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC(2) 若点DAB是的中点，求中线CD 的长度。解：（1）由255cossin55CC得,23 10sinsin(18045)(cossin)210ACCC由正弦定理知103 10sin3 2sin1022ACBCAB（2）105sin2sin522ACABCB112BDAB由余弦定理知222cos21182 1 3 2132CDBDBCBD BCB52.（四川卷）已知,A B

26、 C是三角形ABC三内角，向量1, 3 ,cos ,sinmnAA，且1m n（）求角A；（）若221sin 23cossinBBB，求 tanC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页- 16 - （）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B2tantan20BBtan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去tan2BtantanCABtan ABtantan1tantanABAB2312 385 311 53 （四川卷）已知A、

27、B、C是ABC 三内角，向量( 1, 3),m(cos,sin),nAA且1.m n（）求角A （）若, 3sincos2sin122BBB求 tanB. 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12 分。（）由题知221 2sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B2tantan20BB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页- 17 - tan2B或tan1B, 而tan1B使22coss

28、in0BB，舍去tan2B54. （天津卷）如图，在ABC中，2AC，1BC，43cosC（1）求AB的值；（2）求CA2sin的值 . 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力. 满分 12 分. （）解：由余弦定理，2222.cosABACBCACBCC34122 12.4那么，2.AB55( 上海卷 ) 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10 海里C处的乙 船 ，试 问乙 船 应朝 北偏 东 多少 度的 方

29、 向沿 直线 前 往B处 救援 （ 角度 精确 到1） ？ 解 连接 BC,由余弦定理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 43 页- 18 - BC2=202+10222010COS120 =700.于是 ,BC=107. 710120sin20sin ACB, sin ACB=73, ACB90 ACB=41 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援 . 【2005 高考试题】1. （ 全 国 卷 ）ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H，)(OCOBOAmOH，则实数m =

30、 1 2 （全国卷）已知点 A （3， 1） ，B（0，0）C（3，0）. 设BAC的平分线AE与 BC相交于 E，那么有其中,CEBC等于（ C ）A2 B21C 3 D313 （全国卷） 点 P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4， 3） （即点 P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v| 个单位 . 设开始时点P的坐标为（ 10，10） ，则 5 秒后点 P的坐标为（ C ）A （ 2， 4）B （ 30，25）C （10， 5）D （5， 10）4. （全国卷III） 已知向量( ,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且 A、B、C 三点共线，则k=235. （北京

31、卷） 若| 1,|2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为 (C ) （A）30 （B）60 （C）120 （D）1506.（上海卷）直角坐标平面xoy中，若定点)2, 1 (A与动点),(yxP满足4OAOP，则点 P的轨迹方程是x+2y-4=0 _ 。7.（天津卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1) 和点 B(-3,4)，若点 C在AOB的平分线上且 |OC |=2,则OC=10 3 10,558. （福建卷）在 ABC 中， C=90 ，),3, 2(),1 ,(ACkAB则 k 的值是（ D ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

32、 - -第 18 页，共 43 页- 19 - A5 B 5 C23D239. （广东卷）已知向量(2,3)a，( ,6)bx，且ab，则 x 为_4_10. （湖北卷）已知向量|)., 5(),2, 2(bakba若不超过5，则k 的取值范围是 6，2 11. （江苏卷）在ABC中，O为中线 AM上一个动点，若AM=2 ，则)(OCOBOA的最小值是 _-2_ 。12.（江西卷） 已知向量的夹角为与则若cacbacba,25)(,5|),4, 2(),2, 1(（ C ）A30 B 60 C120D15015. （全国 I ）点 O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA

33、，则点 O是ABC的（ B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点16.( 湖南 )P 是ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC的（ D ）A外心B内心C重心D垂心【2004 高考试题】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 43 页- 20 - 一）选择题1(2004. 全国理 ) 已知 a、 b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a+3b|= （C ）A7B10C13D4 3 （2004. 福建理）已知a、b 是非零向量且满足

34、(a2b) a，(b 2a) b，则a与 b 的夹角是（ B ）A6B3C32D654 （2004. 重庆理）若向量a与b的夹角为60，| 4,(2 ).(3 )72babab, 则向量a的模为 （ C ）A2 B4 C6 D 12 5、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54) ，点 O(0,0) 和点 A(1,-2)在l上的射影分别为O和A，则 AOe，其中 =（ D ）A 511 B -511 C 2 D -2 6 （04. 上海春季高考）在ABC中，有命题BCACAB；0CABCAB；若0)()(ACABACAB，则ABC为等腰三角形；若0ABAC，则ABC为

35、锐角三角形. 上述命题正确的是（ C ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 43 页- 21 - （A） （ B） （ C） （ D）10、 （2004. 上海理） 已知点 A(1, 2), 若向量AB与a=2,3 同向 ,AB =213, 则点 B的坐标为 (5,4) . 三）解答题11 （2004. 湖北理）（本小题满分12 分）如图，在 RtABC中，已知 BC=a，若长为 2a的线段 PQ以点 A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. 11本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则

36、，考查运用向量及函数知识的能力，满分 12 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 43 页- 22 - 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 . .)()()().2,2(),(),(),().,(),(.| ,2|), 0(),0,(),0,0(,|22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设.0,)(0, 1cos.cos.cos.|cos2222其最大值为最大时方向相同与

37、即故当CQBCBCPQaaCQBPabycxabycxBCPQBCPQ12. （ 04. 上 海 春 季 高 考 ） （ 本 题 满 分12 分 ）在 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 点)22cos2,1cos2(xxP和点)1,cos(xQ，其中,0 x. 若向量OP与OQ垂直，求x的值 . 12. 由OQOP，得0)22cos2()1cos2(cosxxx，利用1cos22cos2xx，化简后得0coscos22xx，于是0cosx或21cosx，,0 x，32或x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 43

38、页- 23 - 【2003 高考试题】一、选择题3.（2001 江西、山西、天津文） 若向量a=（3，2） ，b= （0，1） ，则向量 2ba的坐标是 （）A.（3， 4）B. （ 3， 4）C.（3，4）D. （ 3， 4）4. （2001 江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OBOA等于（）A.43B.43C.3 D. 3 5. （2001 上海） 如图 51， 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若BA1=a，11DA=b，AA1=c. 则下列向量中与MB1相等的向量是（）A.21a+21b+c B. 21a+21

39、b+cC. 21a21b+c D. 21a图 51 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 43 页- 24 - 21b+c7.(2000江西、山西、天津理，4) 设a、b、c是任意的非零平面向量, 且相互不共线 , 则（ab）c（ca）b=0 |a| |b|ab| （bc）a（ca）b不与c垂直（ 3a+2b） （3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命题的有（）A. B. C. D.8.（1997 全国， 5）如果直线l沿x轴负方向平移3 个单位，再沿y轴正方向平移1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（）A

40、.31B.3 C. 31D.3 二、填空题9. （2002 上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120，且 |a|=2， |b|=5，则（ 2ab）a=_. 10. （2001 上海春， 8）若非零向量、 满足 | +|=| | ，则 与 所成角的大小为 _. 11.（2000 上海， 1）已知向量OA=（ 1，2） ，OB=（3，m） ，若OAAB，则m= . 12. （1999 上海理， 8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转4得到向量b，则向量b的坐标为 _. 13.（1997 上海， 14）设a=（m+1）i3j，b=i+（m1）j， （a+b）（ab） ，则m=_. 14

41、. （1996 上海， 15）已知a+b=2i8j，ab=8i+16j，那么ab=_. 15.（1996 上海， 15）已知O（0，0）和A（6，3）两点， 若点P在直线OA上，且21PAOP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 43 页- 25 - 又P是线段OB的中点，则点B的坐标是 _. 三、解答题18. （2002 上海， 17） 如图 54， 在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3， AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点， 若OPBD， 求OP与底面AOB所成角的大小 .（结果用

42、反三角函数值表示）图 53 图 54 图 55 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 43 页- 26 - 21. （ 2001 江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h. （1）求 cos ；（2）记面BCV为 ，面DCV为 ，若BED是二面角VC 的平面角，求BED. 图 56 图 57 图 58 22. （2001 上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且

43、AEA1B，AFA1D. （1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）. 则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等 . 试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5 时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小 .（用反三角函数值表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 43 页- 27 - （ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（ABAD）AP的绝对

44、值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系， 并由此猜想向量这一运算（ABAD） AP的绝对值的几何意义. 25.（2000 上海，18） 如图 59 所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直， 且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos1010，求四面体ABCD的体积 . 图 59 图 510 图 5 11 26. （2000 天津、江西、山西）如图510 所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点 . （1）求BN的长；（2）求 cos 的值；（3）求证：A1BC1M. 精

45、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 43 页- 28 - 28. （1999 上海， 20）如图 512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角 . （1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小 . 29. （1995 上海， 21）如图 513 在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（21,23， 0） ， 点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30.（1）

46、求向量OD的坐标；（2）设向量AD和BC的夹角为，求 cos 的值 . 答案解析图 512 图 5 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 43 页- 29 - 3. 答案： D 解析：设（x，y）=2ba=2（0， 1）（ 3， 2）=（ 3， 4）. 评述：考查向量的坐标表示法. 4. 答案： B 5. 答案： A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 43 页- 30 - 解析：)(21111BCBAAABMBBMB=c+21（a+b）=21a+

47、21b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法. 考查学生的空间想象能力. 6. 答案： B 解析：设c=ma+nb，则（ 1，2）=m（1，1）+n（1， 1）=（m+n，mn） . 21nmnm2321nm评述：本题考查平面向量的表示及运算. 7. 答案： D 解析：平面向量的数量积不满足结合律. 故假；由向量的减法运算可知|a| 、|b| 、 |ab| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直 . 故假；（ 3a+2b） （3a2b）=9

48、aa4bb=9|a|24|b|2成立 . 故真 . 评述：本题考查平面向量的数量积及运算律. 8. 答案： A 解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3 个单位，向上平移1 个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1 即y=kx+3k+b+1 因为此直线与原直线重合，所以两方程相同. 比较常数项得3k+b+1=b. k=31. 评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系. 9. 答案： 13 解析： （2ab）a=2a2ba=2|a|2|a| |b| cos120=2425 （21）=13. 评述：本题考查向量的运算关系. 精选学习资料 - - - - - -

49、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 43 页- 31 - 11. 答案： 4 解析：OA= 1，2 ，OB=3 ，m，OAOBAB=4 ，m2 ，又OAAB，14+2（m2）=0，m=4. 评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件. 12. 答案：（223,22）解析：设a=OA=2+i ，b=OB，由已知OA、OB的夹角为4，由复数乘法的几何意义，得OB=OA（cos4+isin4）=（2+i ）ii22322)2222(. b=（223,22）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及

50、运用数学知识解决问题的能力. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 43 页- 32 - 14. 答案： 63 解析：解方程组得ab=（ 3）5+4（ 12）=63. 评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15. 答案：（4， 2）解析：设P（x，y） ，由定比分点公式12113210,22116210yx，则P（2，1） ，又由中点坐标公式，可得B（4， 2）. COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角 . 在 RtCA1O中，CO=23m，CA