详解数列求和的方法典型例题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要肯定的技巧。第一类：公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1n2a n na1nn1d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等比数列的前n 项和公式na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1 1q n a1an q q1可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品名师归纳总结1q1q3、常用几个数列的求和公式n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、 Snk123k 1nn n1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、 Snnk212k1223 2n 21 n n61 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、 Snnk 313k12333n 3 12nn1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次类：乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 anbn 的前 n 项和，其中 an ， bn 分别是等差数列和等

3、比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：求数列 nqn1 q 为常数 的前 n 项和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：、如q =0 ， 就Sn =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 q =1 ，就 Sn123n1 n n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 q 0 且 q 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 Sn12q3q 2nqn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - -

4、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结qSnq2q 23q3nqn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式式：1q Sn1 qq2q 3qn 1nq n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn111qqq 2q 3q n 1nq n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S11q

5、nn1q1qnqn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q nnqnSn1q 21q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述：Sn0q1 nn201 q1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q1q 2nqq1q0且q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：数列 nq n1 是由数列n 与q n 1对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要留意应按以上三种情形进行分类争论

6、，最终再综合成三种情形。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、 a n1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、 an（ 3）、 a n2nnn2n 21 2n111n211 122n1112n n112n11n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）、可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品名师归纳总结n21a nnnn122n1n1nn12 n1n2 n 11n1 2 n, 就Sn11n12 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、根式形式，如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1nn1nn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：求数列1，1，12231，341nn，的前 n 项和 Sn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1nn11=1) nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111Sn122331Sn1n111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3：求数列1，1，13241，351nn，的前 n 项和 Sn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于：1111=）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就：

9、 Snn n2111232nn2111124nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS1 123Sn1112n1n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42n22n4解析： 要先观看通项类型，在裂项求和时候，特别要留意：到底是像例2 一样剩下首尾两项，仍是像例3 一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 a1an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：如函数f x 对任意 xR 都有f x

10、f 1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） anf 0f 1 nf 2nf n1 nf 1 ，数列 an 是等差数列吗？是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明你的结论。（ 2）求数列1ana n 的的前 n 项和1Tn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结

11、归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）、 a nf 01f n2f nf n1 nf 1 （倒序相加）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an101nf 1n1 nf n1 fn2n2 nn n2 n1f 1 nf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就，由条件：对任意xR 都有f xf 1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an2222（2 n1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ann1an 1n2an 1a

12、n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而：数列（ 2）、 an 是 a112, d11的等差数列。11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1n1 n2T =111n1n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n233445（ n1） n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1Tn =211133411n1n2112n2n2n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n故： Tn =2n4解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，仍利用了裂项相消法。在数列问

13、题中， 要学会敏捷应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法1n有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5：求数列 1+ nn n12 的前 n 项和 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 a n1nn1bnn2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1b1 a2b2 a3b3 anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1a2a3an b1b2b3bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111112233nnSn11Sn1n112232 211n222 n 1 322n2 n 1 可编辑资料

15、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 Tn122322n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2Tn2222323n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式式：12) Tn1222232n 1n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tn1222232n 1n2n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结12 nTn12n2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nTn n121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故： Sn11n1n12 n121n12 nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6：求数列 x n1 2 的前 n 项和 Sxnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 将 ax n1 2 用完全平方和公式绽开，再将其分为几个数列的和进行求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a nx n1 2x n= xn 22xn1xn 1 2 =x nx2

17、n21x2 n= x2 n2 1x 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS x 21 22x x 41 42x x 2n1 2n2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS x2x4x 2n 2221 2x1 4x1 2n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（首项x2 ，公比x2 等比数列）（常数列）（首项 1 2 ，公比x1 2 等比数列）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、令 Tnx 2x 4x 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下

18、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， Tnx2x4x 2n = 111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， Tnx 2x 4x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22n2xxx2n 22xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1x 2x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、令 M n2222n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

19、 - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、令 Gn 1 2x 1 4x 1 2nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， Gn 1 2x1 4x 1 2n111nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， G n 1 2x 1 4x 1 2nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 2 1

20、2n 1 2112 n 22 n 2x22x2n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2=xxx1 2= xxx 21= xxx 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2n1x2 x2x2x 2x2x 2 x 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=x 2x2 n 2=x21x2nx 2x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2n1=x 2n x 21综上所述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， SnTnM nGnn2nn4n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 n 2x2x 2n1可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 时， SnTnM nGnx212nx 2n x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个题，除了留意分组求和外，仍要留意分类争论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中， 我们先争论通项， 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式， 再代入公式求和。例 7：求数列9， 99， 999，的前 n 项和 Sn分 析 ： 此 数 列 也 既 不 是 等 差 数 列 也 不 是 等 比 数 列 启 发 学 生 先 归 纳 出 通 项 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na10n1 可转化为一个等比数列与一

22、个常数列。分别求和后再相加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：由于：an101就： Sn99999可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS10111021103110n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS10110210310n 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1010 n10Snn110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

23、- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10n 110Snn9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8： S = 1 12 13 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn248211解：由于：annnnn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就： Sn = 123n 1112481 （等差 +等比，利用公式求和）2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 1 n n1211 1211 1 n 212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=n n1 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：依据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。这篇文章中， 有 6 类重要方法， 8 个典型例题， 大部分常见数列的前n 项和都可以求出来了，由于学问的不完备，在该类学问上仍有些缺憾，在此期望这篇文章可以带给学习数列的同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载