广东省汕头市潮阳区2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

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1、 潮阳区潮阳区 2020-2021 学年度第一学期高一级教学质量监测试卷学年度第一学期高一级教学质量监测试卷 数学数学 本试题满分本试题满分 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟. 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,2,3,4A=，集合3,4,5,6B =，则AB等于（ ） A. 1,2,3,4,5,6 B. 3,4 C. 3 D. 4 2. 7sin6=（ ） A. 32 B. 32 C. 12

2、D. 12 3. 函数( )()ln 1 5xf x =的定义域是 A. (),0-? B. ()0,1 C. (),1 D. ()0,+? 4. 设( )()1232,2log1 ,2xexf xxx B. acb C. abc D. acb 7. 关于( )3cos 26f xx=，xR，下列叙述正确的是（ ） A. 若( )()123f xf x=，则12xx是2的整数倍 B. 函数( )f x的图象关于点,06对称 C. 函数( )f x的图象关于直线6x =对称 D. 函数( )f x在区间0,4上为增函数. 8. 已知函数( )22log,0269,2xxf xxxx，若正实数a、

3、b、c、d互不相等，且( )( )( )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围为（ ） A. ()8,9 B. )8,9 C. ()6,9 D. )6,9 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知集合 A=02xx，集合0Bx x=，则下列关系正确的是（ ） A. 1A B. AB C. ()UAB D. 2ABx x=“

4、”的否定是“xR ，20 xx”是“2230 xx+”的充分不必要条件 C. “22acbc”的必要不充分条件是“ab” D. 函数4sin0,sin2yxxx=+的最小值为 4 12. x表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ） A. 0.51= B. (,0 x ，21x = C. 21log23= D. 3333log 1log 2log 3log 243857+= 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知一扇形的弧所对的圆心角为 54，半径r20cm，则扇形的周长为_cm. 14. 若不等式2510axx+ 的

5、解集为1123xx ，则不等式13xax的解集为_. 15. 函数( )f x在R上单调递增，且为奇函数，若(2)1f=，则满足1(2)1f x +的x的取值范围为_ 16. 函数( )()222ln141axaxxf xxa+ +=+，若( )f x最大值为M，最小值为N，1,3a，则MN+的取值范围是_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤. 17. （1）已知02a，且1a ). （1）判断函数( )( )f xg x的奇偶性，并予以证明； （2）求使( )( )0f xg

6、x的 x的取值范围. 20. 若二次函数( )()20f xaxbxc a=+满足()( )12f xf xx+=，且( )01f=. （1）求( )f x的解析式； （2）若在区间1,2上，不等式( )2f xxm 得，0 x ，故函数( )()ln 1 5xf x =的定义域是(),0，故选 A. 4. 设( )()1232,2log1 ,2xexf xxx=，则( )()2ff的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，结合指数，对数运算计算即可得答案. 【详解】解：由于( )()2332log21log 31f=, 所以( )()(

7、 )1 12122fffe=. 故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，指数运算，分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题. 5. 已知 f(x)g(x)均为1，3上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是（ ） x 1 0 1 2 3 f(x) 0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) 0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A. (1，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (2，3) 【答案】C 【解析】 【分析】 设 h(x)=f(x)g(x)，利用 h(0)=f(0)g(0)=0.440，即可得出结论

8、. 【详解】设 h(x)=f(x)g(x)，则 h(0)=f(0)g(0)=0.440， h(x)的零点在区间(0，1)， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用问题，解题思路如下： （1）先构造函数 h(x)=f(x)g(x)； （2）利用题中所给的有关函数值，得到 h(0)=0.440； （3）利用零点存在性定理，得到结果. 6. 1.1log0.9a =，1.31.1b =，sin1c =，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. abc D. acb 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性得到0a ，根据正弦函数的单

9、调性得到01c. 【详解】易知1.11.1log0.9log 10a =， 因为012 ，函数sinyx=在区间0,2内单调递增，所以0sin1 1c=， 所以acb. 故选：D. 7. 关于( )3cos 26f xx=，xR，下列叙述正确的是（ ） A. 若( )()123f xf x=，则12xx是2的整数倍 B. 函数( )f x的图象关于点,06对称 C. 函数( )f x的图象关于直线6x =对称 D. 函数( )f x在区间0,4上为增函数. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个结论是否正确，从而得出结论. 【详解】对于 A，( )3cos

10、26f xx=的周期为22T=,若( )()123f xf x=，则12xx是的整数倍,故 A错误； 对于 B,当 6x = 时，( )3cos2=3cos=0662f x= ，则函数( )f x的图象关于点,06中心对称，B正确； 对于 C,当 6x =时，( )3 33cos 2=3cos=6662f x=， 不是函数最值， 函数( )f x的图象不关于直线6x =对称， C错误； 对于 D，0,4x，26x ,6 3 ，则( )3cos 26f xx=不单调，D错误 故选：B. 8. 已知函数( )22log,0269,2xxf xxxx，若正实数a、b、c、d互不相等，且( )( )(

11、 )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围为（ ） A. ()8,9 B. )8,9 C. ()6,9 D. )6,9 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的定义作出函数( )f x的图象，不妨设abcd，根据图象可得出a，b，c，d的范围同时a，b还满足22loglogab=，即可得答案 【详解】解析：如图所示：正实数a、b、c、d互不相等，不妨设abcd ( )( )( )( )f af bf cf d= 则22loglogab=，122loglogab=，1ab = 且234cd，6cd+=，()()68,9abcdcc= 故选：A 二、多选题：本题共二、多选题：本

12、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知集合 A=02xx，集合0Bx x=，则下列关系正确的是（ ） A. 1A B. AB C. ()UAB D. 2ABx x=，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】A=02xx. 1A,A正确，=AB ，B错误，()UAB ,C正确，2ABx x=“”的否定是“xR ，20 xx”是“2230 xx+”的充分不必要条件 C. “

13、22acbc”的必要不充分条件是“ab” D. 函数4sin0,sin2yxxx=+的最小值为 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定，充分不必要条件，必要不充分条件及基本不等式依次判断各选项即可. 【详解】对于 A.命题2000,0 xR xx“”的否定是“xR ，20 xx”，故 A 错误； 对于 B. 2230 xx+等价于(3)(1)0 xx+，解得3x 故“1x ”是“2230 xx+”的充分不必要条件，B 正确； 对于 C.由22acbc可知20c ，则,ab即22, bacbca反之 20abc，,22acbc不成立，所以“ab” 是“22acbc”的必要不充

14、分条件，C 正确； 对于 D.44sin2 sin4sinsinyxxxx=+=当且仅当4sinsinxx=，即sin2x = 取等号，显然等号无法取得，故最小值不是 4，设sintx=，则(0,1 ,t 4ytt= +在(0,1 ,t上为减函数，当1t =时，y取最小值 5，故 D错误； 故选：BC. 12. x表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ） A. 0.51= B. (,0 x ，21x = C. 21log23= D. 3333log 1log 2log 3log 243857+= 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用取整函数的概念和对数的运算法则即可求解. 【详解】选项

15、 A：因为不超过0.5的最大整数为1，所以0.51= ，所以选项 A正确； 选项 B：因为对(),0 x ，021x，所以20 x =；当0 x =时，21x =，所以选项 B错误； 选项 C：因为2221112logloglog1432 = ，所以21log23= ，所以选项 C 正确； 选项 D：3log 10=，因为30log 21，所以3log 20=， 3log 31=，因为331log 4log 82，所以3log1x =，3,8x， 3log 92=，因为332log 10log 263，所以3log2x =，9,26x， 3log 273=，因为333log 28log 804

16、，所以3log3x =，27,80 x， 3log 814=，因为334log 82log 2425 【解析】 【分析】由三个二次的关系求a，根据分式不等式的解法求不等式13xax的解集. 【详解】不等式2510axx+ 的解集为11 |23xx 12，13是方程2510axx+ =的两根， 6a =， 13xax可化为303x 3x 不等式13xax的解集为 |3x x ， 故答案为： |3x x . 15. 函数( )f x在R上单调递增，且为奇函数，若(2)1f=，则满足1(2)1f x +的x的取值范围为_ 【答案】 4,0 【解析】 【详解】根据题意,f(x)为奇函数,若 f(2)=

17、1,则 f(2)=-1， f(x)在(,+)单调递增,且1f(x2)1,即 f(-2)f(x2)f(2)， 则有2x22， 解可得 0 x4， 即 x的取值范围是4,0； 故答案为4,0. 16. 函数( )()222ln141axaxxf xxa+ +=+，若( )f x最大值为M，最小值为N，1,3a，则MN+的取值范围是_. 【答案】8,10 【解析】 【分析】先化简( )f x，然后分析( )()22ln11xxg xx+ +=+的奇偶性，将( )f x的最大值和小值之和转化为和a有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出MN+的取值范围. 【详解】( )()()22222ln1ln144

18、11axaxxxxf xaxaax+ + +=+=+， 令( )()22ln11xxg xx+ +=+，( )g x定义域为R关于原点对称， ()()()( )2222221lnln1ln1+1111xxxxxxgxg xxxx+ + += = +， ( )g x为奇函数，( )( )maxmin0g xg x+=， ( )( )maxmin42f xf xMNaa+=+=+， 1,3a，由对勾函数的单调性可知( )4h aaa=+在)1,2上单调递减，在(2,4上单调递增， ( )( )min24h ah=，( )( )1315,33hh=，( )( )max15h ah=， ( )4,5h

19、 a ， 428,10MNaa+=+， 故答案为：8,10. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数( )g x奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤. 17. （1）已知02a，4sin5，求tan的值； （2）若tan4=，求()()()sin2cos2sincos +的值. 【答案】 （1）43； （2）43. 【解析】 【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos5=

20、,即可求得tan的值； (2)把要求的式子利用诱导公式化为sinsincos,进而而求得结果. 【详解】解： （1）02，4sin5， 2cos1 cos= 243155= sin4tancos3= （2）若tan4=， 则()()()sin2cos2sincos +sin2sinsincos+=sintan4sincostan13=. 18. 函数( )21axbf xx+=+是定义在()1,1上的奇函数，且1225f=. （1）确定函数( )f x的解析式； （2）用定义证明( )f x在()1,1上是增函数. 【答案】 （1）( )21xf xx=+； （2）证明见解析. 【解析】 【分

21、析】 （1）由函数( )f x是定义在()1,1上的奇函数，则( )00f=，解得b的值，再根据1225f=，解得a的值从而求得( )f x的解析式； （2）设1211xx ，化简可得()()120f xf x，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果 【详解】解： （1）依题意得( )00,12,25ff=20,1 022,1514bab=+=+ 1,0,ab=( )21xf xx=+ （2）证明：任取1211xx ，( )()()()()()121212122222121211111xxx xxxf xf xxxxx=+ 1211xx ，120 xx，2210 x+， 由1211xx 知，1

22、211x x . ()()120f xf x，且1a ). （1）判断函数( )( )f xg x的奇偶性，并予以证明； （2）求使( )( )0f xg x的 x的取值范围. 【答案】 （1）是奇函数，证明见解析； （2）3,02. 【解析】 【分析】 （1）先根据对数函数的定义得函数( )( )f xg x的定义域关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断即可； （2）由已知条件得log (32 )log (32 )aaxx+，再分01a两种情况讨论，结合对数函数的单调性列出不等式组，求出 x的取值范围即可. 【详解】 （1）函数( )( )f xg x是奇函数. 证明：要使函数( )( )

23、f xg x的解析式有意义， 需( )log (32 ), ( )log (32 )aaf xx g xx=+=的解析式都有意义， 即320,320,xx+解得3322x， 所以函数( )( )f xg x的定义域是3322xx， 即log (32 )log (32 )aaxx+. 当1a 时，有3232 ,320,320,xxxx+ 解得302x； 当01a时，有3232 ,320,320,xxxx+ 解得302x时，x 的取值范围是30,2， 当01a时，x的取值范围是3,02. 【点睛】 该题考查的是有关函数的问题， 涉及到的知识点有本题函数的奇偶性的判断与证明对数函数的单调性根据单调性

24、解不等式，不用对参数进行讨论，属于中档题目. 20. 若二次函数( )()20f xaxbxc a=+满足()( )12f xf xx+=，且( )01f=. （1）求( )f x的解析式； （2）若在区间1,2上，不等式( )2f xxm. 【解析】 【分析】(1)由条件列关于 a，b，c 的方程，解方程求 a，b，c，由此可得函数( )f x的解析式，(2)由已知可得231mxx+在 1,2上恒成立，即2max(31)mxx+，由此可求 m的范围. 【详解】解： （1）由( )01f=得，1c =.( )21f xaxbx=+ 又()( )12f xf xx+=，()()()2211112

25、a xb xaxbxx+ += 即22axabx+= 22,0,aab=+=1,1.ab= ( )21f xxx=+ （2）不等式( )2f xxm+等价于231xxm+ 函数( )231g xxx=+在1,2上的最大值为()15g = 5m . 21. 某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入成本为( )C x.当年产量不足90千件时，( )21103C xxx=+（万元） ；当年产量不小于90千件时，( )10000511300C xxx=+（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润=销售收入总成本） （1）写出年利润L（万

26、元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】 （1）( )2140300,090,3100001000,90,xxxxNL xxxxNx+=+； （2）6万件. 【解析】 【分析】 （1）由题意，分别写出090 x与90 x 对应的函数解析式，即可得分段函数解析式； （2）当090 x时，利用二次函数的性质求解最大值，当90 x 时，利用基本 不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值. 【详解】解： （1）当090 x，xN+时， ( )22500 10001110300403001000033xL xxxxx= + 当9

27、0 x ，xN+时， ( )500 10001000010000511300300100010000 xL xxxxx=+=+ ( )2140300,090,3100001000,90,xxxxNL xxxxNx+=+ （2）当090 x，*xN时，( )()21609003L xx= +， 当60 x =时，( )L x取得最大值()60900L=（万元） 当90 x ，*xN时， ( )1000010000100010002800=+=L xxxxx 当且仅当10000 xx=，即100 x =时等号成立. 即100 x =时，( )L x取得最大值800万元 综上，所以即生产量为6万件时

28、，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元 【点睛】 与函数相关的应用题在求解的过程中需要注意函数模型的选择， 注意分段函数在应用题中的运用，求解最大值时注意利用二次函数的性质以及基本不等式求解. 22. 设a为实数，函数( )()()21f xxaxaa a=+. （1）若( )6f a ，求a的取值范围； （2）讨论( )f x的单调性； （3）是否存在a满足：( )f x在, c d上的值域为, c d.若存在，求a的取值范围. 【答案】 （1）3,2-； （2）( )f x在(), a +上单调递增，在(),a上单调递减； （3）不存在. 【解析】 【分析】 （1）直接求出( )

29、()1f aa a=+，从而通过解不等式可求得a的取值范围； （2）根据二次函数的单调性即可得出分段函数的单调性； （3）首先判断出2caaa+，从而得到, c d, a，即( )f x在, c d上单调递增；然后把问题转化为( )f xx=在), a +上有两个不等实数根的问题，从而判断出不存在a的值. 【详解】 （1）( )()1f aa a=+， ()16a a+，即260aa+，所以32a ， 所以a的取值范围为3,2-. （2）易知( )()()2222212,2122 ,xaxaxaf xxaxaa xa+=+， 对于()221212uxaxa=+，其对称轴为21122axaa=，

30、开口向上， 所以( )f x在(),a上单调递减， 综上知，( )f x在(), a +上单调递增，在(),a上单调递减； （3）由（2）得( )( )2minf xf aaa=+， 又( )f x在, c d上的值域为, c d，所以2caaa+， 又( )f x在(), a +上单调递增， ( )( )f ccf dd=，即( )f xx=在), a +上有两个不等实数根， 即()22212xaxax+=在), a +上有两个不等实数根， 即22220 xaxa+=在), a +上有两个不等实数根， 令( )2222g xxaxa=+，则其对称轴为xa=，所以( )g x在),xa+上不可能存在两个不等的实根， 不存在a满足( )f x在, c d上的值域为, c d.