中学数学中的分形几何 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中学数学中的分形几何广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣 （ 542502）桂林市第十八中学数学组蒋雪祥 （ 541004）内容提要：本文论述了规章图形的容量维， 对容量维的运算作了说明， 同时仍对 4 个较为闻名的与中学有关的， 或是可以用于启示同学思维的分形问题进行了分析。关键字：容量维Sierpinski三角毯Koch曲线Koch 岛Sierpinski-Menger海绵1973 年，曼德勃罗 B.B.Mandelbrot 在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形Fracta

2、l一词，是曼德勃罗制造出来的，其原意具有不 规章、支离破裂等意义， 分形几何学是一门以非规章几何形状为讨论对象的几何学。由于不规章现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的 几何学。数千年来， 几何学的进展从来没有二十世纪产生的分形几何那样对物理学和数学进展产生如此庞大的影响。分形几何对我们大多数人来说是生疏的，由于它看起来离我们太远。 其实分形就在我们身边， 在近年的竞赛与高考中， 分形的影子已经显现。中学数学中的分形与数学讨论中的分形所看的角度与讨论目标 都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。一、规章图形的容量维为了描述混沌学中古怪吸引子的这种

3、奇妙结构，曼德尔布罗特Mandelbrot最早 （1975 年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。 也可以说， 维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母d 表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段， 将该线段的长度乘2，就得到另一个线段， 长度为 n=2 个原线段长度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一正方形，每边长 2，得到一个大的正方形，它等于4 个原先大小的正方形。一立方体，每边长 2，得到一个大的立方体，它等于8 个原先大小的立方体。由此可以推得， 一个 d 维的几何对象， 它的每一个独立方向都增长L 倍，结果得到 N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个原先的对象，这三者的关系为LdN,两边取自然对数，得维数dln N 。在ln L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本例的正方体中，假如是L=2,就必有 N=8,于是就有 dln Nln Lln 83 ，

5、即立方ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结体是三维的。将上式的定义加以推广， 就得到 d 不必肯定是整数， 它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母 D 表示。对于规章的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L 。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L 倍，而是测量单位缩小为原先的倍，L ，测量长度次数随减小而增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大，记为（ ），这时分维定义为：Dln N 0ln 1。上式定义的分维称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结容量维

6、 D ，又称为柯尔莫哥洛夫（.Kolmogorov ）容量维。可以证明，拓扑维 d 和分维 D 满意如下关系： dD式中取等号是对一般规章几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。如图示，考虑一闭合线段0,1 ，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段再分别三等分和舍弃中段，如此连续下去，最终剩下的点的总体就是康托集合。它是一种到处稀疏的对象（自相像结构） ，其拓扑维 d=0，现在来求它的分维 D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1/3，N=2。当 1/9， N=4。.亦即当1 nn时， N= 2。于是可得康托3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合的容量维为Dln N ln 2n 11ln 20.631由此可见康托集合满意关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnln n13ln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dD。古怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必需的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息， 对它的细致讨论将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本的分析和熟悉问题。二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子例 1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形。再将剩下的图形的各边的中点连结，各得一个三角形，挖去所得三角形。如此连续下去，第七

8、次总共可得多少个三角形（例如其次次挖去后，总共有 13 个三角形）？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一次（ 4 个）其次次（ 13 个）第三次（ 40 个）这个问题就是分形几何学中所说的Sierpinski 三角毯，在我们竞赛中是一个数列问题， 而在分形几何中， 它是一个规章的分形。 其中白色的三角形共有3n（n为第 n 次挖取）。当然在

9、分形几何中，所讨论的不是三角形的个数，而是利用下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结述公式从测度的角度把规章图形的维度D 确定为 Dln N 0 。这里的 ln 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是测量单元的尺寸，N 是测度得到的规章图形的测量单元数。本例中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N = 3n ，= 1 n 于是得到此分形图的容量维为Dln 3nln 31.585可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ln1ln 2可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结1 n2例 2、如图，挖去线段中间的1 后，加上等边三角形的二边，形成四段等长3线段组成的折线，如此无限的进行下去，形成到处连续、但到处不行微的Koch曲线。在数学竞赛中，本问题是要求折线的条数。第n 次变换后有 4n 条。但在分形几何中，用上述的公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式 Dln N 0可以运算此分形图的容量维可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln 1ln 4nln 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 Dln1ln 31n 31.262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、如图，这是闻名的

11、n 级三分 Koch 岛，在我们的问题中，一是可能问及的问题是，每次三分后，边长如何变化。二是当其进行无限次等分后， 其面积是多少。 前者是数列通项问题， 后者是数列与极限问题。 在分形几何中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其容量维仍为 Dln 4ln 41.262。可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品名师归纳总结nln1ln 31 n 3例 4、正方体 27 等分（沿三条棱三等分）成27 个小正方体，挖去中心和6 个面中心位置上总共6 个小正方体，留下20 个小正方体，如此无限进行，试求 当进行到第 n 次时，有多少个小正方体。其容量维为多大？此为分形几何中闻名的Sierpinski-Menger 海绵，其中正方体有20 n 个，其容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量维为 Dln 20ln 202.777可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nln1ln 31 n 3上述几个例子说明白分形几何已经成为中学数学的一个问题源。这只是分形几何中与中学学习中最

13、能让我们懂得的几个问题，仍有很多问题需要我们很多同行去讨论挖掘。 不难看出， 这些问题仍只是处于其最常见的变形为数列或几何问题，其基本数学思想仍没有进入中学。某些的区已经将分形几何作为中同学学习 内容，可以预见， 分形几何不仅在内容上走进中学，其根本的思想也将在不久的将来进入中学课堂。 同学常常问数列的一些问题是如何来的，一些立体几何问题为什么那么看起来无聊而又一再考试，这些都是应当看到和说明的。 老师应当明白一点分形几何， 从而拓宽自己的数学问题源，让自己的学问更加丰富， 通过这些好玩的学问调动同学的学习积极性、激发同学的求知欲， 这无疑是一个很好的挑选。老师为学习分形几何可以参考的书有很多，笔者所阅读的书列于本文之后的参考资料。参考资料： Thomas L.Pirnot著 Mathematics AllAround机械工业出版社，20XX 年 1月第 1 版孙霞等编著分形原理及其应用中国科技高校出版社，20XX 年 10 月第 1 版加拿大 B.H.Kaye著 徐新阳等译分形闲逛东北高校出版社，1994 年 12 月第 1 版可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载