2015年高级中学数学《直线与圆锥曲线的位置关系》自检验测试题.doc

/. 2015年高中数学《直线与圆锥曲线的位置关系》自测试题 【梳理自测】 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．(教材改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交　　　　　　　　B．相切 C．相离 D．不确定 2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　) A. B. C. D．4 答案：1.A　2.C　3.C ◆以上题目主要考查了以下内容： 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y后得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 二、圆锥曲线的弦长 1．(教材改编)过抛物线y2＝－4x的焦点，最短的弦长为________． 2．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________． 答案：1.4　2. ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝＝|x1－x2| ＝|y1－y2|.抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋ . 【指点迷津】　 1．一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 2．二种方法 ①方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合韦达定理和判别式，建立等式关系或不等式关系． ②点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 考向一　直线与圆锥曲线位置关系的确定 例题1　(2012高考安徽卷)如图，点F1(－c，0)、F2(c，0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q. (1)如果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程； (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点． 【审题视点】　(1)建立QF2直线方程，求Q点坐标，用a，c表示． (2)建立PQ直线方程，求PQ与椭圆的交点，确定一个． 【典例精讲】　(1)由条件知，P， 故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－. 因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为 y＝x－， 故Q. 由题设知，＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1. 故椭圆方程为＋＝1. (2)证明：直线PQ的方程为＝， 即y＝x＋a. 将上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0， 解得x＝－c，y＝. 所以直线PQ与椭圆C只有一个交点． 【类题通法】　在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有一元二次方程才有判别式，另外还应注意讨论斜率不存在的情形．有时根据定点与圆锥曲线的位置关系，判定直线与曲线的关系． 变式训练 1．求证：不论m取何值，直线l：mx－y－m＋1＝0与椭圆＋＝1总有交点． 证明：证法一：由 消去y得＋＝1.(*) 整理，得(16m2＋9)x2－32m(m－1)x＋16m2－32m－128＝0. ∵Δ＝322m2(m－1)2－4(16m2＋9)(16m2－32m－128) ＝576(15m2＋2m＋8) ＝576＞0， ∴方程(*)恒有实根． ∴原方程组恒有解． 故直线l与椭圆总有交点． 证法二：直线l的方程可化为m(x－1)＋(－y＋1)＝0， 故直线l恒过x－1＝0和－y＋1＝0的交点A(1，1)． 又点A在椭圆＋＝1内部， ∴直线l与椭圆总有交点．考向二　根据直线与圆锥曲线的位置求参数 例题2　(2014合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) xKb 1. Com A.　　　　　　　B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 【审题视点】　设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 【典例精讲】　由题意得Q(－2，0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0， ∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 【答案】　C 【类题通法】　由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况． 变式训练 2．(2014沈阳模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选D.由 得(1－k2)x2－4kx－10＝0， ∴ 直线与双曲线右支有两个不同交点， 解得－＜k＜－1.故选D. 考向三　弦长问题 例题3　过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点． (1)求|AB|； (2)求S△AOB的面积． 【审题视点】　(1)AB是确定的直线，按弦长公式可直接求弦长． (2)求出O到AB的距离，则可计算面积． 【典例精讲】　(1)由双曲线的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)． 直线AB的方程为y＝(x－3)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得5x2＋6x－27＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. (2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0. ∴原点O到直线AB的距离为 d＝＝. ∴S△AOB＝|AB|d ＝＝. 【类题通法】　直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线、圆锥曲线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解． 变式训练 3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60，＝2. (1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0. (1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝. 联立，得 (3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因为＝2，所以－y1＝2y2. 即＝2. 得离心率e＝＝. (2)因为|AB|＝|y2－y1|， 所以＝. 由＝得b＝a，所以a＝，得a＝3，b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. 考向四　直线与圆锥曲线位置关系的应用 例题4　已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(，)，离心率是. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l过点E(－1，0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程． 【审题视点】　(1)设椭圆方程，待定系数法求解． (2)建立方程组，转化|EA|＝2|EB|为x1＋2x2＝－3，待定斜率k. 【典例精讲】　(1)设椭圆C的标准方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 由已知可得 解得a2＝4，b2＝1. 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1，0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A(－1，)，B(－1，－)，显然|EA|＝2|EB|不成立． 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)． 由 整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0. 则Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 故x1＋x2＝－，① x1x2＝.② 因为|EA|＝2|EB|，即x1＋2x2＝－3.③ ①②③联立解得k＝. 所以直线l的方程为x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0. 【类题通法】　利用直线与曲线的位置关系求直线方程或曲线方程时，往往是待定系数法，直线待定斜率后，要考虑斜率不存在的情况是否适合题意． 变式训练 4．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，求此双曲线的方程． 解析：设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则a2＋b2＝()2＝7.① 由消去y得－＝1. 整理得(b2－a2)x2＋2a2x－a2－a2b2＝0.(*) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1和x2为方程(*)的根， 于是x1＋x2＝. 由已知得＝－， ∴＝－， 即5a2＝2b2.② 由①②得 故所求双曲线方程为－＝1. 　　 直线与圆锥曲线交点个数和相切概念不清 典型例题　已知点A(0，2)和双曲线x2－＝1，过点A与双曲线只有一个交点的直线的条数为(　　) A．1　　B．2 C．3 D．4 【正解】　设过点A(0，2)的直线为y＝kx＋2 由得(4－k2)x2－4kx－8＝0 当k2＝4即k＝2时，方程只有一解，即只有一个交点． 当k2≠4时，方程有一解时 ∴Δ＝(－4k)2－4(4－k2)(－8)＝0 ∴k2＝8，∴k＝2，为切线的斜率． 共有4条直线． 【答案】　D 【易错点】　得出方程(4－k2)x2－4kx－8＝0后，不考虑k2＝4，直接由Δ＝0，得k＝2.错选为B. 【警示】　直线与双曲线只有一个交点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可与其渐近线平行，故一个交点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用． 真题体验 1．(2013高考福建卷)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析：已知F1(－c，0)，F2(c，0)， 直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为， ∴倾斜角∠MF1F2＝60. ∵∠MF2F1＝∠MF1F2＝30， ∴∠F1MF2＝90，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c. 由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a， ∴离心率e＝＝＝－1. 答案：－1 2．(2013高考江西卷)已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 解析：选C.根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解． 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则＝＝， 则|MH|∶|MN|＝1∶， 即|MF|∶|MN|＝1∶. 3．(2013高考北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点． (1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形． 解析：(1)因为四边形OABC为菱形， 所以AC与OB互相垂直平分． 所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1， 即t＝. 所以|AC|＝2. (2)证明：假设四边形OABC为菱形． 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0. 由消去y并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－，＝k＋m ＝， 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0， 所以直线OB的斜率为－. 因为k≠－1，所以AC与OB不垂直． 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． ======*以上是由明师教育编辑整理======