广东省广州市越秀区2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

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1、 2020 学年第一学期学业水平调研测试学年第一学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷高一年级数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 设12 3 4 51214 5UAB=， ， ， ， ， ， ，则UAB（ ） A. 1 B. 2 C. 12 3， ， D. 12 4 5， ， ， 2. 命题“(0,)x +，ln1xx= ”的否定是（ ） A. (0,)x +，ln1xx= B. (0,)x +，ln1xx C.

2、(0,)x +，ln1xx= D. (0,)x +，ln1xx 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点( 3 4)P ，则cos=（ ） A. 35 B. 45 C. 325 D. 425 4. 16sin3的值等于（ ） A. 12 B. 32 C. 12 D. 32 5. 为了得到函数()cos 31yx=的图象，只需把cos3yx=的图象上的所有点（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移13个单位 D. 向右平移13个单位 6. 函数( )ln23fxxx=+的零点所在的一个区间是（ ） A. 10,2 B.

3、 1,12 C. 31,2 D. 3,22 7. 设3log 0.6a =，0.3log0.6b =，则（ ） A. 0abab+ B. 0abab+ C. 0abab+ D. 0abab+ 8. 当生物死后，它体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率） ，大约每经过 5730 年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳 14 检测，检测出碳 14的残留量约为初始量的55.2%，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ） （参考数据：0.5log0.5520.8573，0.5log0.4481.1584) A. 2919

4、年 B. 2903年 C. 4928年 D. 4912年 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对得全部选对得 5 分，有选错分，有选错的得的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 设1a，在下列函数中，图像经过定点(11)，的函数有（ ） A. ayx= B. 1xya= C. log1ayx=+ D. 31yax=+ 10. 已知函数( )2sin(3)6f xx=，则（ ） A. ( )f x的最大值是 2 B. (

5、 )f x的最小正周期为3 C. ( )f x在06，上是增函数 D. ( )f x的图像关于点(0)6，对称 11. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “xA”是“xAB”的充分条件 B. “ab”是“22acbc”的必要条件 C. “mn”是“0.20.2mn”的充要条件 D. “”是“tantan”的充要条件 12. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比，若在距离车站 10km处建仓库，则1y为 1 万元，2y为 4 万元，下列结论正确的是（

6、） A. 11yx= B. 20.4yx= C. 12yy+有最小值 4 D. 12yy无最小值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 函数1( )lg(1)2f xxx=+的定义域是_. 14. 函数( )2sin()4sincosf xxx=+的最大值是_. 15. 已知函数32( )(2)2xxf xf xx=+， 则3(log 2)f的值等于_. 16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 12m3的部分 3 元/m3 超过 12 m3但不超

7、过 18 m3的部分 6 元/ m3 超过 18 m3的部分 9 元/ m3 若某户居民本月交纳水费为 66 元，则此户居民本月用水量为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤骤 17. 已知 1与 2 是三次函数3( )()f xxaxb abR=+，的两个零点. （1）求ab，的值； （2）求不等式210axbx+ 的解集. 18. 问题：是否存在二次函数2( )(0)f xaxbxc abcR=+， ，同时满足下列条件：(0)3f=，( )f x的最大值为 4，_?若存在，求出

8、( )f x的解析式；若不存在，请说明理由.在(1)(1)fxfx+=对任意xR都成立， 函数(2)yf x=+的图像关于y轴对称，函数( )f x的单调递减区间是1,2+这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知tan()24= . （1）求tan2tan的值； （2）求21 cossin21 cos2+的值. 20. 已知函数2( )()31xf xa aR=+. （1）判断( )f x在R上的单调性，并证明你的结论； （2）是否存在a，使得( )f x是奇函数？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由. 21. 如图 1

9、，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图 2，某摩天轮最高点Q距离地面高度AQ为 110m，转盘直径为 100m，设置有 48 个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置P进舱，转一周需要 30min. （1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10min后距离地面的高度； （2）以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，PQ所在的直线为y轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动mint后距离地面的高度为ym，求在转动一周的过程中，y关于t的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱

10、里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到 0.1m）. 参考公式：sinsin2cossin22+=. 参考数据：sin0.207915，sin0.065448 22. 已知函数( )logaf xx=（0a ，且1a ）. （1）若120 xx，且( )A tf t，(2(2)B tf t+，(4(4)C tf t+，(2)t 三点在函数( )yf x=的图像上，记ABC的面积为S，求( )Sg t=的表达式，并求( )g t的值域. 2020 学年第一学期学业水平调研测试学年第一学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷高一

11、年级数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 设12 3 4 51214 5UAB=， ， ， ， ， ， ，则UAB（ ） A. 1 B. 2 C. 12 3， ， D. 12 4 5， ， ， 【答案】C 【解析】 【分析】先由补集的概念得到UB，再由并集的概念得到结果即可 【详解】根据题意得U2 3B =，则U 12 3AB=， ， 故选：C 2. 命题“(0,)x +，ln1xx= ”的否定是（ ） A. (0,

12、)x +，ln1xx= B. (0,)x +，ln1xx C. (0,)x +，ln1xx= D. (0,)x +，ln1xx 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可 【详解】命题“(0,),ln1xxx +=”否定是“(0,),ln1xxx +” 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点( 3 4)P ，则cos=（ ） A. 35 B. 45 C. 325 D. 425 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】解：由题意知：角的终边经过点( 3 4)P ，

13、故()2233cos534= +. 故选：A. 4. 16sin3的值等于（ ） A. 12 B. 32 C. 12 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得16sin3的值. 【详解】163sinsin 5sin3332=+= = . 故选：D. 5. 为了得到函数()cos 31yx=的图象，只需把cos3yx=的图象上的所有点（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移13个单位 D. 向右平移13个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移规律可得结论. 【详解】因为()1cos 31cos 33yxx=， 所以，为了得到函

14、数()cos 31yx=的图象，只需把cos3yx=的图象上的所有点向右平移13个单位. 故选：D. 6. 函数( )ln23fxxx=+的零点所在的一个区间是（ ） A. 10,2 B. 1,12 C. 31,2 D. 3,22 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数( )f x的单调性，利用零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数lnyx=、23yx=均为()0,+上的增函数，所以，函数( )f x为()0,+上的增函数， ( )110f= ，即( )3102ff， 因此，函数( )ln23fxxx=+的零点所在的一个区间是31,2. 故选：C. 7. 设3log 0.6a =，0.3l

15、og0.6b =，则（ ） A. 0abab+ B. 0abab+ C. 0abab+ D. 0abab+ 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的图象和性质知，00ab，则0ab .又因为11ababab+=，根据已知可算出其取值范围，进而得到答案. 【详解】解：因为33log 0.6log 10a =，所以0ab ， 又abab+=1a1b=0.60.60.6log3log0.3log0.9(01)+=， 所以0 abab+1，所以0abab+”是“22acbc”的必要条件 C. “mn”是“0.20.2mn”的充要条件 D. “”是“tantan”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分

16、析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】因为AB是集合 A 的子集，故“xA”是“xAB”的必要条件， 故选项 A 为假命题； 当22acbc时，则ab，所以“ab”是“22acbc”的必要条件， 故选项 B 为真命题； 因为0.2xy =是R上的减函数，所以当mn时，0.20.2mn， 故选项 C 为假命题； 取30=，300= ，但tantan，利用待定系数法分别求出12,y y关于x的解析式，即可判断，对 C，利用基本不等式即可判断；对 D，根据12yy在()0,+上的单调性即可判断. 【详解】解：对 A，设()111,0,0kykxx=， 由题意知：函数过点()10,1

17、， 即110k =， ()110,0yxx=，故 A错误； 对 B，()222,0,0yk x kx=， 由题意得：函数过点()10,4， 即2410k=， 解得：20.4k =， ()20.4 ,0yxx=，故 B正确； 对 C，1210100.420.44yyxxxx+=+=， 当且仅当100.4xx=，即5x =时等号成立，故 C正确； 对 D，12100.4yyxx=在()0,+上单调递减， 故12yy无最小值，故 D 正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 函数1( )lg(1)2f xxx=+的

18、定义域是_. 【答案】()1,2 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域列出不等式组即可求解. 【详解】由题意可得1020 xx ，解得12x的解集. 【答案】 （1）7,6ab= =； （2）11,7 【解析】 【分析】 （1）根据函数零点的定义得( )( )1020ff=，解方程即可得答案； （2）由（1）得27610 xx+ ，进而根据二次函数性质解不等式即可. 【详解】解： （1）因为 1与 2是三次函数3( )()f xxaxb abR=+，的两个零点 所以根据函数的零点的定义得：( )( )1102820fabfab= +=+=，解得：7,6ab= =. （2）由（1）得()()2

19、217617110axbxxxxx+ = + = +， 根据二次函数的性质得不等式的解集为：117xx 所以不等式的210axbx+ 解集为11,7 18. 问题：是否存在二次函数2( )(0)f xaxbxc abcR=+， ，同时满足下列条件：(0)3f=，( )f x的最大值为 4，_?若存在，求出( )f x的解析式；若不存在，请说明理由.在(1)(1)fxfx+=对任意xR都成立， 函数(2)yf x=+的图像关于y轴对称，函数( )f x的单调递减区间是1,2+这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】若选择，2( )23

20、f xxx= +；若选择，21( )34f xxx= +；若选择， 2( )434f xxx= + 【解析】 【分析】由(0)3f=可得3c =，由所选的条件可得( )f x的对称轴，再由( )f x的最大值为4，可得关于, a b的方程，求解即可. 【详解】解：由(0)3f=，可得：( )03fc=， 2( )3f xaxbx=+； 若选择， (1)(1)fxfx+=对任意xR都成立， 故( )f x的对称轴为1x =， 即12ba=， 又( )f x的最大值为 4， 0a且( )134fab=+=， 解得：1,2ab= =， 故2( )23f xxx= +； 若选择， 函数(2)yf x=

21、+的图像关于y轴对称， 故( )f x的对称轴为2x =， 即22ba=， 又( )f x的最大值为 4， 0a且( )24234fab=+=， 解得：1,14ab= =， 故21( )34f xxx= +； 若选择， 函数( )f x的单调递减区间是1,2+， 故( )f x的对称轴为12x =， 即122ba=， 又( )f x的最大值为 4， 0a且11134242fab=+=， 解得：4,4ab= = ， 故2( )434f xxx= +. 19. 已知tan()24= . （1）求tan2tan的值； （2）求21 cossin21 cos2+的值. 【答案】 （1）14； （2）1

22、6 【解析】 【分析】 （1）根据正切的差角公式求得tan，再利用正切的二倍角公式可求得答案； （2）根据同角三角函数的关系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案 【详解】 （1）因为tan()24= ，所以tantan421+tantan4= ，即1tan21+tan= ，解得tan3= ， 所以22tan3tan21tan4=，所以3tan214tan34= ， （2）222221 cossin2sin+2sin costan+2tan11 cos22sin2tan6+= 20. 已知函数2( )()31xf xa aR=+. （1）判断( )f x在R上的单调性，并证明你的结论； （2）

23、是否存在a，使得( )f x是奇函数？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）减函数，证明见解析； （2）1a =，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由单调性定义判断； （2）根据奇函数的性质由(0)0f=求得a，然后再由奇函数定义验证 【详解】 （1）( )f x是R上的减函数 设12xx，则12033xx，所以1203131xx+ +，即12223131xx+，12223131xxaa+，所以12()()f xf x， 所以( )f x是R上的减函数 （2）若( )f x是奇函数，则02(0)031fa=+，1a =， 1a =时，21 3( )13131xxx

24、f x= =+， 所以1 331()( )311 3xxxxfxf x= +，所以( )f x为奇函数 所以1a =时，函数( )f x为奇函数 21. 如图 1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图 2，某摩天轮最高点Q距离地面高度AQ为 110m，转盘直径为 100m，设置有 48 个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置P进舱，转一周需要 30min. （1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10min后距离地面的高度； （2）以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，PQ所在的直线为y轴建立

25、直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动mint后距离地面的高度为ym，求在转动一周的过程中，y关于t的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到 0.1m）. 参考公式：sinsin2cossin22+=. 参考数据：sin0.207915，sin0.065448 【答案】 （1）85m； （2）50sin60,152030tyt=+ ； （3）100 sinsin481548ht=，030t ；6.5m 【解析】 【分析】 （1）设0mint =时，游客甲位于()0

26、, 50P，得到以OP为始边的角，即初相，再利用周期性和最值得到函数的解析式，令10t =求解即可. （2）由（1）的求解过程即可得出答案. （3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则24824AOB=，分别求出mint后甲和乙距离地面的高度，从而求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可. 【详解】 （1）设0mint =时，游客甲位于()0, 50P，得到以OP为始边的角为2， 根据摩天轮转一周需要 30min，可知座舱转动的速度约为/ min15rad， 由题意可得，50sin60152ht=+， （030t ） ， 当10t =时，50

27、sin106050sin60851526h=+=+=， 所以游客甲坐在摩天轮的座舱后， 开始转到 10min后距离地面的高度为85米. （2）由（1）可得，50sin60152yt=+，030t ； （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则24824AOB=， 经过mint后，甲距离地面的高度为150sin60152ht=+， 点B相对于A始终落后24rad， 此时乙距离地面的高度21350sin601524ht=+， 则甲、乙高度差为121350 sinsin1521524hhhtt=， 利用sinsin2cossin22+=， 可得100 sinsin481548ht=，030t

28、 ， 当15482t=或32，即7.8t 或22.8， 所以h的最大值为100 sin6.548米， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为6.5米. 22. 已知函数( )logaf xx=（0a ，且1a ）. （1）若120 xx，且( )A tf t，(2(2)B tf t+，(4(4)C tf t+，(2)t 三点在函数( )yf x=的图像上，记ABC的面积为S，求( )Sg t=的表达式，并求( )g t的值域. 【 答 案 】（ 1 ） 当01a时 ，1212()()()22xxf xf xf+时 ，1212()()()22xxf xf xf+； （2）( )()()222

29、log4tg tt t+=+；4,log3a 【解析】 【分析】 （1）根据题意分别代入求出1212()()(),22xxf xf xf+，再比较1212,2xxx x+的大小，利用函数的单调性即可求解. （2）先表示出( )Sg t=的表达式，再根据函数的单调性求( )g t的值域. 【详解】解： （1）当01a时，( )logaf xx=在()0,+上单调递减； 1212()log22axxxxf+=， 121212()()11logloglog222aaaf xf xxxx x+=+=， 又120 xx， 故1212()()()22xxf xf xf+时，( )logaf xx=在()0

30、,+上单调递增； 1212()log22axxxxf+=， 121212()()11logloglog222aaaf xf xxxx x+=+=， 又120 xx， 故1212()()()22xxf xf xf+， 综上所述：当01a时，1212()()()22xxf xf xf+时，1212()()()22xxf xf xf+； （2）由题意可知： ( )()()()( )()111( )2224244222Sg tf tf tf tf tf tf t=+ + +()( )()224f tf tf t=+ ()()2222log2loglog4ttt=+ ()()222log4tt t+=+，(2)t ， 1a ，故( )logaf xx=在)2,+上单调递增； 令( )()()2224144tg tt ttt+= +，(2)t ， 当2t 时，24ytt=+在)2,+上单调递增； 故( )2414g ttt= +在)2,+上单调递减； 故( )()()222log4tg tt t+=+在)2,+上单调递减； 故( )( )()()2max2242loglog2243aag tg+=+， 故( )g t的值域为：4,log3a.