例1一项项目工程甲队单独做完要12天乙队单独做完要10天.doc

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1、. 例 1 一项工程，甲队单独做完要 12 天，乙队单独做完要 10 天，两队合做多少天就可以完成 ？ 【分析 1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的，乙队每天完成工程的 1 12 1 10 ，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含几个，就是两队合做完成这个工程的天 11 60 11 60 数. 【解法 1】两队合做 1 天完成的工程？ = 1 12 1 10 11 60 两队合做多少天完成这项工程？ 1=（天） 11 60 5 511 综合算式： 1（+） 1 12 1 10 =1=（天）. 11 60 5 511 【分析 2】用最小公倍解法.因为 12 和 10 的最小公倍数是

2、60，所以可假设这项工程为 60. 那么甲队工作效率为 6012=5，乙队工作效率为 6010=6，甲乙合做效率为 5+6=11.用总工作 量 60 除以甲乙效率和 11，即得两队合做完成这个工程的天数. 【解法 2】假设这项工程总工作量为 60. 60（6012+6010） =60（5+6）=6011=（天）. 5 511 【分析 3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做 1 天 的工作量由乙队独做需要 1+天，即天.所以乙队 10 天完成的这项工程，两队合做要用 10 =（天）完成. 【解法 3】 10（1+1012） . =10（1+）=10=（天）. 【分析 4

3、】甲队 12 天的工作量，乙队 10 天即可完成，所以乙队 1 天的工作量，甲队要用 天完时，即天。那么甲乙两队合做 1 天的工作量，甲队要用 1+=（天）.所以乙队 1 0 天完成的这项工程，两队合做要用 12=（天）. 【解法 4】 12（1+1210） =12（1+） =12=（天）. 答：两队合做天就可以完成. 【评注】解法 1 是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法 2 是利用求公倍 数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工 程量. 例 2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过 9 小时相遇，相遇后两车都 继续以原速

4、前进。已知货车又行了 6 小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？ （湖南省长沙市东区）（湖南省长沙市东区） 【分析 1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行 1 小时行完全程的，货车 1 小时可 行全程的，即.那么客车 1 小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个 ，就是客车行全程需要多少小时. 【解法 1】 1（-） . =1=（小时）. 【分析 2】货车行全程需 9+6=15（小时），9 和 15 的最小公倍数是 45，所以两站全程可 假设为 45，那么两车同时行 1 小时可行 459=5，货车 1 小时可行 4515=3，所以客车每小时 可行 5-3=2.甲乙两站全程 45 内包

5、含多少个 2，就是客车行全程需要多少小时. 【解法 2】假设甲乙两站全程为 45. 45459-45（9+6） =45459-4515 =455-3=（小时）. 【分析 3】两车 9 小时行完的路程，货车要用 9+6=15（小时）行完.而客车 9 小时行完的路 程，货车只需 6 小时行完.那么货车 1 小时行完的路程，客车需要 96=1.5（小时）.所以货车 1 5 小时的行程，客车需要 1.515=22.5（小时）. 【解法 3】 96（9+6） =9615=1.515=22.5（小时）. 【分析 4】两车同时行全程需 9 小时，货车行全程需要 9+6=15（小时），那么客车行 9 小 时恰

6、好行完全程的6=，所以客车每小时行全程的9=.由此可求客车行全程的时 间. 【解法 4】 1（69） =1（9） =1=（小时）. . 【分析 5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需 9+6=15（小时），而货车 6 小时的行程和客车 9 小时的行程恰好相同，由此可求出客车 9 小时行全程的6=，即 9 小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间. 【解法 5】 9（6） =9（6）=9=（小时）. 答：客车行完全程需要小时. 【评注】比较以上五种解法，解法 1 是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解 和掌握；解法 5 是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且

7、运算简便，这两 种解法是本题的较好解法. 例 3 一件工作，甲乙合做 8 天可以完成，甲独做 12 天可以完成.现在甲乙合做若干天后， 余下的由乙继续做 3 天才完成.乙一共做了多少天？ （河南省南阳地区）（河南省南阳地区） 【分析 1】乙每天完成这件工作的，那么乙 3 天完成了这件工作的 ，再求出甲乙合做的工作量 1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天 ，即乙先做了几天.再加上余下 3 天即得乙共做多少天. 【解法 1】 1-（）3+3 =1-3+3 =1-+3 . =+3=10（天）。 【分析 2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一 等量关系列方程，先求乙先做

8、了几天，再加上 3 天即得乙共做了多少天. 【解法 2】设甲乙合做了 x 天. +=1 =1- x=7 7+3=10 【分析 3】假设总工作量为 24，那么甲乙效率和是 248=3，甲的效率是 2412= 2，所以乙的效率是 3-2=1，它 3 天完成了 13=3.因此，甲乙合做（24-3）3=7（天 ），即乙先做了 7 天，再加上 3 天即得乙共做的天数. 【解法 3】假设工作总量为 24. 24-（248-2412）3（248）+3 =24-（3-2）3）3+3 =24-33+3 =213+3=10（天）. 【分析 4】假设甲乙合做了 5 天，那么比实际少完成 1-5-（-）3= ，甲乙继

9、续合做还要用=2（天）.所以乙共做了 5+2+3=10 天. 【解法 4】假设甲乙合做了 5 天. . 1-5-（-）3+5+3 =1-5-3+5+3 =+5+3=10（天）. 答：乙一共做了 10 天. 【评注】解法 1 和解法 2 是较好的解法.解法 1 是工程应用题的一般解法，虽思路 较繁，但容易想到. 例 4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请 计算：甲、乙两队合做 4 天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务 ？ （广东省深圳市）（广东省深圳市） 【分析 1】先求出甲、乙两队合做 4 天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程 ，再除以丙队每天

10、的工作量，即得丙队还要做的天数. 【解法 1】甲、乙合做 4 天完成的工程？ 剩下的工程有多少？ 1-= . 丙队还要几天完成？ （天） 综合算式： 1- =1-4 =1- =（天）. 【分析 2】先求出甲、乙合做 4 天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工 程用的 15 天减去这个天数，即得丙队还要做的天数. 【解法 2】甲、乙合做 4 天完成多少？ = 甲、乙合做的工程由丙独做需几天？ =11（天） 剩下的工程丙队还要几天完成？ 15-11=4（天） 综合算式： 15- . =15-4 =15- =15-11=4（天）. 【分析 3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合

11、做后剩下的工程 ，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完. 【解法 3】甲、乙合做了工程的几分之几？ 还剩下全工程的几分之几？ 1-= 丙队完成剩下的工程还需几天？ 15=4（天） 综合算式： 151- =151- =15=4（天）. 【分析 4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解. 【解法 4】设丙队还要 x 天完成. . =1- =1- x= x=4 答：丙队还要做 4 天才能完成任务. 【评注】比较以上四种解法，解法 1 和解法 3 是较好的解法.解法 1 是解工程应用 题的一般方法，容易理解.解法 3 是运用分数乘法应用题的解法，比解法

12、1 的思路更直 接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下. 例 5 一项工程，甲、乙两队合做 20 天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是 4 5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ （福建省福州市）（福建省福州市） 【分析 1】甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是 45，由此运 用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲 乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数. 【解法 1】甲队每天完成多少工程？ 乙队每天完成多少工程？ 甲队独做全工程需几天？ 1=45（天） . 乙队独做全工程需几天？ 1=36（天） 综合算式：甲队：1（）

13、=1=45（天） 乙队：1（）=1=36（天）. 【分析 2】因为“工作量工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和 工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是 45，所以甲 20 天完成了全工程的， 乙队 20 天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天. 【解法 2】甲队独做全工程需要多少天？ 20=20=45（天） 乙队独做全工程需要多少天？ 20=20=36（天） 【分析 3】由分析 2 可知，甲乙完成工作量的比是 45.因为他们的工作效率一定 ，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队 的独做时间. 【解法 3】设甲队独做需 x

14、天完. 204=x（4+5） 4x=209 x=2094 . x=45 设乙队独做全工程需要 y 天. 205=y（4+5） 5y=209 y=2095 y=36 答：略. 【评注】解法 1 是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法 2 是 运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解 法.解法 3 虽与解法 2 的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的. 例 6 修一段公路，甲队单独修需要 16 小时完工.甲乙两队合修 4 小时后，剩下的 由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？ （黑龙江省哈尔滨市南岗区）（黑龙江省哈尔滨市南

15、岗区） 【分析 1】乙队先后共修了 4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几 ，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独 修需几小时. 【解法 1】乙队共修了全长的几分之几？ 1-4= 乙队先后共修了几小时？ 4+=（小时） 乙队每小时修全长的几分之几？ . 乙队独修全长需几小时？ 1=14（小时） 综合算式： 1（1-4）（4+） =1（1-） =1 =1=14（小时）. 【分析 2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析 1 可知，乙队先后共修了 小时，修了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时. 【解法 2】 （4+）（1-4） =1

16、4（小时）. 【分析 3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解. 【解法 3】设乙队独修需 x 小时完. 4+（4+）=1 . =1- x=1 x=14 答：这段公路由乙队独修需 14 小时完工. 【评注】比较以上三种解法，解法 2 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳 解法. 例 7 一项工程甲队单独做要 15 天才能完成，乙队单独做 12 天才能完成，如果甲 队先做 3 天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？ （四川省成都市）（四川省成都市） 【分析 1】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用 剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得

17、甲、乙队合做还要多少天完. 【解法 1】甲队先做了多少？ 3= 剩余的工作有多少？ 1-= 两队合做还要多少天完？ （）=（天） 综合算式： （1-3）（） . =（1-） =（天）. 【分析 2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天， 再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成. 【解法 2】甲乙合做全工程需要几天？ 1（）=（天） 两队要合做全工程的几分之几？ 1-3= 两队还要多少天可以完成？ =（天） 综合算式： 1（）（1-3） =1 =（天）. 【分析 3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解. 【解法 3】设两队

18、还要 x 天完成. . 3+（）x=1 x=（1-） x= 【分析 4】剩余的工作由甲独做要用 15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么 所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解. 【解法 4】设两队合做还要 x 天完. （15-3）=（）x 12=x x= x= 答：剩余的工作两队还要天可以完成. 【评注】以上四种解法各有特点.解法 1 是一般解法，最容易想到，运算较简便， 是较好的解法.解法 2 是分数应用题的解法，思路更直接.解法 3 和解法 4 都是方程解法 ，但等量关系不同.读者可灵活选用. 例 8 仓库有 45 吨化肥，甲汽车单独运 10 小时完成，乙汽车单独运 15 小

19、时完成. 用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？ . （江苏省江都县）（江苏省江都县） 【分析 1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨 数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间. 【解法 1】甲车每小时运多少吨？ 4510=4.5（吨） 乙车每小时运多少吨？ 4515=3（吨） 两车每小时运多少吨？ 4.5+3=7.5（吨） 两车同时运需几小时运完？ 457.5=6（小时） 综合算式： 45+（4510+4515） =45（4.5+3） =457.5=6（小时）。 【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几？再求两车每小时共运多少 吨，再看总吨数里包含几

20、个这样的吨数，就是两队合运需几小时. 【解法 2】两车每小时运货的几分之几？ 两车每小时运货多少吨？ 45=7.5（吨） 两车合运几小时完成？ 457.5=6（小时） . 综合算式： 4545（） =4545 =457.5=6（小时）. 【分析 3】甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的，两车每小时运化 肥的（）=.把化肥总吨数看作“1”，“1”里包含几个，就是两车同运 几小时完成. 【解法 3】1（）=1=6（小时）. 【分析 4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解. 【解法 4】设两车同运 x 小时完. x+x=1 （）x=1 x=1 x=6 或 （）x=1 . x=

21、1（） x=6 答：两车同时运 6 小时可以完成. 【评注】比较以上四种解法，解法 3 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳 解法. 例 9 甲乙两地相距 630 千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完 全程需 14 小时，货车行完全程需 21 小时.两车相遇时各行了多少千米？ （上海市徐汇区）（上海市徐汇区） 【分析 1】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速 度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米. 【解法 1】客车每小时行多少千米？ 63014=45（千米） 货车每小时行多少千米？ 63021=30（千米） 两车几小时相遇？ 630（45+30）=

22、（小时） 相遇时客车行多少千米？ 45=378（千米） 相遇时货车行多少千米？ 30=252（千米） 综合算式： . 客车： 63014630（63014+63021） =45630（45+30） =45=378（千米） 货车： 630-378=252（千米） 【分析 2】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后 用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程. 【解法 2】客车每小时行多少千米？ 63014=45（千米） 两车几小时相遇？ 1()=（小时） 客车行了多少千米？ 45=378（千米） 货车行多少千米？ 630-378=252（千米） 综合算式

23、： 客车：（63014）1（） =451=45=378（千米） 货车：630-378=252（千米） . 【分析 3】 因为“路程速度=时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于 速度比即=32.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米. 【解法 3】客车与货车所行路程的比？ =32 客车行了多少千米？ 630=378（千米） 货车行了多少千米？ 630=252（千米） 综合算式：客车：630=378（千米） 货车：630=252（千米）. 答：略. 【评注】比较以上三种解法，解法 1 最繁，但其思维难度小，也最容易想到.解法 3 的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果

24、由分析 3 继续分析，运用分数 应用题解法也可求出两车各行多少千米. 例 10 一项工程，甲单独做 40 天完成，乙单独做 30 天完成，二人合做若干天后 ，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用 27 天.求乙单独工作了多少天？ （黑龙江省哈尔滨市）（黑龙江省哈尔滨市） 【分析 1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然 后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用 27 天减去甲乙合做 的天数，即得乙单独做了多少天. . 【解法 1】 乙共完成工程的几分之几？ 27= 甲完成了工程的几分之几？ 1-= 甲乙合做了多少天？ =4（天） 乙单独做了多少

25、天？ 27-4=23（天） 综合算式： 27-（1-27） =27- =27-4=23（天）. 【分析 2】假设甲没有被调走，那么甲乙合做 27 天要超过全工程的（） 27-1=.这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就 是乙单独又做了几天. 【解法 2】甲乙的效率和是多少？ = . 甲乙合做 27 天完成工程的几分之几？ 27= 超过全工程的几分之几？ -1= 乙单独工作了多少天？ =23（天） 综合算式： （）27-1 =27-1 =-1 =23（天）. 【分析 3】 根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解. 【解法 3】设乙单独工作了 x 天.

26、（）（27-x）+x=1 27-x+x=1 . （-）x=27-1 x=23 【分析 4】 甲乙合做全工程需要 1（）=（天），那么实际多用 2 7-=（天）.这是因为甲应完成的工作由乙天完成，由此可求若甲不调走， 甲还应做（天），所以乙独做的时间为+=23（天）. 【解法 4】 甲乙合做全工程需几天？ 1（）=（天） 全工程延长了几天？ 27-=（天） 乙天的工作量甲需几天完？ （天） 乙单独做了几天？ +=23（天）. 【分析 5】假设乙独做 27 天完成全工程，那么比它实际每天多做全工程的 .这是因为把甲完成的工作量平均分了 27 等份，每份恰是.因此把 . 每份工作量乘以 27 即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率，即得甲乙合做天 数，由此可求乙独做了多少天. 【解法 5】 27-（）27 =27-2740 =27-4=23（天）. 答：乙单独工作了 23 天. 【评注】比较以上五种解法，解法 1、解法 2、解法 5 各有特点，是本题的较好解 法.读者可根据实际情况，选择合适的方法.