2022年全等三角形判定经典 .pdf

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1、1 11.2 三角形全等的判定ABCDEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ” 。表示方法：如图所示，在 ABC 和DEF 中，ABDEACDFBCEF，ABCDEF（SSS） 。例 1. 如图所示， ABCD，ACDB。求证： ABCDCB。ABCD分析：由已知可得 ABCD，ACDB，又因为 BC 是两个三角形的公共边，所以根据 SSS可得出 ABCDCB。证明： 在ABC 和DCB 中，ABCDACDBBCCB，ABCDCB（SSS）评析：证明格式：点明要证明的两个三角形；列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；条件

2、按照“SSS ”顺序排序；得出结论，并把判断的依据注在后面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，BEBCEFCF，ABCDEF（ASA） 。例 2. 如图所示， ABCD，AFDE，BECF，求证： ABCD。ABEFCD分析： 要证明 ABCD，由于 AB、CD 分别是 ABF 和DCE 的边，可尝试证明 ABFDCE，由已知易证： BC，AFBDEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实

3、上，由BECF 可证得 BFCE，由 ASA 即可证明两三角形全等。证明： ABCD，BC（两直线平行，内错角相等）又AFDE， AFCDEB（同上）AFBCED（等角的补角相等）又BECF， BEEFCFEF，即 BFCE 在ABF 和DCE 中，()()()BCBFCEAFBCED已证已证已证ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 （3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ AAS” 。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF

4、中，ADBEBCEF，ABCDEF（AAS ） 。例 3. 如图所示， RtABC 中， ACB90，ACBC，ADCD 于 D，BFCD 于 F，AB 交 CD 于 E，求证： ADBFDF。ABCDEF分析：要证 ADBFDF， 观察图形可得 CFCDDF， 只需证明 CFAD，CDBF 即可， 也就是要证明 CFBADC。 由已知 BCAC， CFBADC90，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BFCD，ACB90，易证得 CBFACD，问题便得到证明。证明： ACB90，BFCD ACDBCD90， CBFBCD90CBFACD（同角的余角相等）又ADCD， CFBADC90在CFB

5、 和ADC 中，CBFACDCFBADCBCAC（已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的对应边相等）又CFCDDF ADBFDF 评析：由条件 ACBC 和垂直关系可得， AC、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成 “边角边”或 “SAS” 。表示方法：如图所示，在ABC 和 DEF 中，ABDEBEBCEF， ABCDEF（S

6、AS） 。例 4. 已知：如图所示， ABDE，BDEF，BECF。求证： ACDF。ABCDEF分析：欲证 ACDF，可通过证明 ACBF，由平行线的判定定理即可得证。而ACB 与F 分别是 ABC 和DEF 的内角，所以应先证明 ABCDEF。由 BECF 易得 BCEF，再结合已知条件ABDE，BDEF 即可达到目的。证明： BECF，BEECCFEC，即 BCEF。在ABC 和DEF 中，ABDEABCDEFBCEF，ABCDEF（SAS） 。ACBF。ACDF。评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列ABCD精选

7、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ HL” 。表示方法：如图所示，在RtABC 和 RtDEF 中，ABDE，BCEF，RtABC RtDEF（HL） 。ABCDEF注意：三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在ABC和ABD 中，ABAB，ACAD，BB，显然它们不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。精选学习资料 - - -

8、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 例 5. 如图所示， RtABC 中， C90，AC10cm，BC5cm，一条线段 PQAB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动。问点 P 运动到 AC 上什么位置时， ABC 才能和 PQA 全等？BCAPQM分析： 要使ABC 与PQA 全等，由于 CPAQ90，PQAB，则只需 APCB 或 APCA， 由 HL 即可知道它们全等，从而容易确定 P 点的位置。解：由题意可知， CPAQ90，又 ABPQ，要使 ABCPQA，则只需 APCB 或 APCA

9、 即可，从而当点 P 运动至 AP5cm，即 AC 中点时， ABCQPA；或点 P 与点 C 重合时，即 APCA10cm时， ABCPQA。评析： 要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发， 借助相关的几何知识， 探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。 本题中涉及到分类讨论的思想， 要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。例 6. 如图， ABC 和EBD 都是等腰直角三角形， A、B、D 三点在同一直线上，连结 CD、AE，并延长 AE 交 CD 于 F。（1）求证： ABECBD。（2）直线 AE 与 CD 互相垂直吗？请证

10、明你的结论。分析：根据已知条件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90正好是ABE 和CBD 全等的条件。对于AE 与 CD 垂直关系的证明需要推证出CFA90。证明： （1） ABC 和EBD 都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90ABECBD（SSA）（2）AECD，在 ABE 和CEF 中， EABECF，AEBCEF，且ABE90，ECFCEF EABAEB ECFCEF180（ EABAEB）即AFCABE90AECD。评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。ABCEFD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

11、总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 拓展提高1.(07北京中考 ) 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点DE，分别在ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A，12DCBEBCA请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（ 3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点DE，分别在ABAC，上，且12DCBEBCA探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论1. 解：（

12、1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （ 2）与 A相等的角是BOD （或 COE ）四边形 DBCE 是等对边四边形. （ 3）此时存在等对边四边形DBCE. 证明 1：如图，作CG BE于 G点，作 BF CD交 CD的延长线于F 点. DCB= EBC=12A，BC为公共边 BGC CFB BF=CG BDF= ABC+ DCB= ABE+ EBC+ DCB= ABE+ A GEC= ABE+ A BDF CEG BD=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形。证明 2：如图，在BE上取一点F，使得 BF=CD ，连接 CF. 易证 BCD CBF ，故 BD=CF ， FCB= D

13、BC. CFE= FCB+ CBF= DBC+ CBF= ABE+2 CBF= ABE+ A CEF= ABE+ A CF=CE BF=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形. BOADEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 ABCDEFMNPEDAN2.(09 宣武一模 ) 已知等边三角形 ABC中，点 D 、E、F分别为边 AB 、AC 、BC的中点，M为直线 BC上一动点， DMN 为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图 1，当点 M在点 B左侧时，请你连结EN ，并判断 EN与

14、MF有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图 2，当点 M在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF的数量关系是否仍然成立 ? 若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若点 M在点 C右侧时，请你判断（ 1）的结论中 EN与 MF的数量关系是否仍然成立 ? 若成立 , 请直接写出结论；若不成立，请说明理由（第 23 题图 1）（第 23 题图 2）（第 23 题图 3）2解：（1）判断：EN=MF ，点 F 在直线 NE 上证明：如答图1, 连结 DE、DF、EF ABC 是等边三角形，AB=AC=BC 又 D、E、

15、F 是三边的中点，DE、DF、EF 为ABC 的中位线DE=DF=EF ， FDE= DFE60 DMN 是等边三角形， MDN 60 ，DM=DN FDE NDF= MDN+ NDF ， MDF= NDE 在DMF 和 DNE 中，DF=DE ， MDF= NDE， DM=DN ，（第 23 题答图1） DMF DNE MF=NE 设 EN 与 BC 交点为 P，连结 NF由ABC 是等边三角形且D、F 分别是 AB 、BC 的中点可得 DBF 是等边三角形， MDN= BDF 60 , NFEDCBAMA E F D B N C M FEDCBAME精选学习资料 - - - - - - -

16、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 NMABCDEF MDN BDN = BDF BDN ，即 MDB= NDF. 在DMB 和 DNF 中， DM=DN ， MDB= NDF，DB=DF ， DMB DNF DBM= DFN ABC =60 ， DBM =120 ， NFD =120 . （第 23 题答图 2） NFD+ DFE =120 +60 =180 . N、 F、 E三点共线，F与 P重合， F在直线 NE 上 4 分（2）成立。证明：如答图2，连结 DE、DF、 EF ABC 是等边三角形，AB=AC=BC 又 D，E，F 是三边的中点，

17、DE，DF，EF 为ABC 的中位线DE=DF=EF ， FDE=60 又 MDF+ FDN=60 ，NDE+ FDN=60 ， MDF= NDE 在DMF 和 DNE 中， DF=DE ，MDF= NDE ， DM=DN ， DMF DNE MF=NE 6 分（ 3） MF=NE 仍成立7 分（第 23 题答图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 3.(09 崇文一模 ) 在等边ABCD的两边 AB 、AC所在直线上分别有两点M 、N ，D为ABCV外一点，且60MDN?,120BDC? ,BD=DC. 探究：

18、当 M 、N分别在直线 AB 、 AC上移动时，BM 、 NC 、 MN之间的数量关系及AMND的周长 Q与等边ABCD的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I ）如图 1，当点 M 、N边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_ ； 此时QL= _；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM1DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB 、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_ （用x、L 表示） 3.解： （I）如图 1， BM 、NC、MN 之间的

19、数量关系BM+NC=MN 此时32LQ（II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC 至 E，使 CE=BM ，连接 DECDBD,且120BDC30DCBDBC又ABC是等边三角形，90MBDNCDo在MBD与ECD中：DCBDECDMBDCEBMMBDECD(SAS) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 DM=DE, CDEBDM60MDNBDCEDN在MDN与EDN中：DNDNEDNMDNDEDMMDNEDN(SAS) MN=NE=NC+BM AMN的周长 Q=AM+AN+MN =AM+AN+(NC+B

20、M) =(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB 而等边ABC的周长 L=3AB 3232ABABLQ. （III ）如图 3，当 M、N 分别在 AB、 CA 的延长线上时，若AN=x，则 Q= 2x+L32（用x、 L 表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 课堂试题 （答题时间： 60 分钟）一. 选择题1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（）A. 有两边和夹角对应相等B. 有三边分别对应相等C. 有两边和一角对应相等D. 有两角和一边对应相等2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（

21、）A. 有三个角相等B. 有一条边和一个角相等C. 有一条边和一个角相等D. 有一条边和两个角相等3. 如图所示，已知ABCD，ADBC，那么图中共有全等三角形（）A. 1 对B. 2 对C. 4对D. 8 对4. 如图所示，已知 AD， 12， 那么要得到 ABCDEF，还应给出的条件是（）A. EB B. EDBC C. ABEF D. AFCD 5. 如图所示，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 边上， DE 交 AC 于 F，若 12，EC，AEAC，则 （）A. ABCAFE B. AFEADC C. AFEDFC D. ABCADE 6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条

22、件，有（）A. 5 种B. 4 种C. 3种D. 2 种7. 如图所示， AB EFCD， ABC90，ABDC，那么图中的全等三角形有（）A. 1 对B. 2 对C. 3对D. 4 对8. 如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D，且 BC6cm，则 BD的值（）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cmABCDE12第4题FABCDE123第5题FABCDEF第7题ABCD第8题ABCDO第3题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 9. 如 图 所 示 ， DE AB ， DF AC ，

23、AE AF ， 则 下 列 结 论 成 立 的 是（）A. BDCD B. DEDF C. BC D. ABAC 二. 填空题10. 如图所示， ACBD，ACBD，那么 _ ，理由是 _. 11. 已知 ABCABC，AB 6cm，BC7cm，AC9cm，A70，B80，则 AB_，BC_，AC_ C_，C_. 12. 如图所示，已知 ABAC，在ABD 与ACD 中，要使 ABD ACD，还需要再添加一个条件是_. 13. 如图所示，已知 ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC 5cm，CF2cm， A 70， B65，则 D_，F_，DE_，BE_. 14. 如图，点 D、E 分别在

24、线段 AB、AC 上，BE、CD 相交于点 O， AEAD， 要使 ABEACD， 需添加一个条件是 _（只要求写一个条件） . ABCDEF第9题ABCDO第10题ABCD第12题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 15. 如图，AC、BD 相交于点 O，AD，请你再补充一个条件， 使得 AOBDOC，你补充的条件是 _. 三. 解答题16. 已知：如图， 12，CD，求证： ACAD. 17. 如图， A、E、B、D 在同一直线上，在ABC 和DEF 中， ABDE，ACDF，ACDF. （1）求证： A

25、BCDEF； （2）你还可以得到的结论是_（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）18. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点 O 上下转动，立柱 OC 与地面垂直 . 当一方着地时， 另一方上升到最高点 . 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA 、BB有何数量关系？为什么？ABCD12ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 19. MN、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的 B、E 两处，这时他们分

26、别从B、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D 两点，他们的行走路线AB、DE 平行吗？请说明你的理由 . 20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、 B 的距离的方案， 请你分析一下两种方案的理由. 方案一：小明想出了这样一个方法，如图所示，先在AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 CDBC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在同一条直线上，测得 DE 的长就是 AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法， 如图所示， 先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B 的点 C，连结 A

27、C 并延长到点 D，使 CDCA，连结 BC并延长到 E，使 CECB，连结 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？COAABBMNPQABCDEABCDEFABCED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 课堂试题答案1. C 2. D 3. C 4. D 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. AOCBOD；AAS 或 ASA 11. 6cm7cm9cm30 3012. BDCD 或BAD CAD 13. 70 45 4cm2cm14. BC、A

28、EB ADC、CEOBDO、ABAC、BDCE（任选一个即可）15. AODO 或 ABDC 或 BOCO 16. 证ACBADB 17. （1）证明：ACDF，AD，在ABC 和DEF 中ABDEADACDF，ABCDEF（SAS）（2）答案不唯一，如： AEDB，C F，BCEF 等. 18. 答：AABB，证 AAOBBO 19. 平行. 理由如下：由已知条件得， ABDE，BCCE，在 RtABC 和 RtDCE 中，AB=DE BC=CE RtABCRtDCE（HL） ， ABCDEC，ABDE. 20. 小明的做法有道理，其理由如下：因为 ABBF，DEBF，所以 ABCEDC，又因为 A、C、E 三点在同一条直线上，所以 ACBECD，且 BCDC，所以 ABCEDC（ASA） ，所以 ABDE（全等三角形的对应边相等）. 小军的做法有道理，其理由如下：因为在 ABC 和DCE 中，CDCA，ACBDCE（对顶角相等），CEBC，所以 ABC DEC（SAS） ，所以 ABDE（全等三角形的对应边相等）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页