2022年等腰三角形和勾股定理 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾1等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_；等腰三角形两底角_( 即等边对 _) ；等腰三角形_合一；等腰三角形是 _图形，它的对称轴是_。2等腰三角形的判定：有_边相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即等角对_） 。3等边三角形的性质：等边三角形各条边_，各内角 _，且都等于 _；等边三角形是_图形，它有 _条对称轴。4等边三角形的判定：有_边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是_的三角形是等边三角形。5直角三角形的性质：直角

2、三角形两锐角_；直角三角形斜边上的中线等于_；直角三角形两直角边的平方和等于_（即勾股定理） 。6直角三角形的判定：有一个角是 _的三角形是直角三角形；有两个角_的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_的三角形是直角三角形。7直角三角形全等的判定：斜边和 _ 对应相等的两个直角三角形全等。8角平分线的性质：在角内部到角两边_在这个角的平分线上。三、重点解析（易错点）1学习 特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定 ，而根据图形形状得到边角关系那就是性质 ；2等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有

3、等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形 斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边 ，不要一看到字母“c”就认定是斜边，一看到直角三角形两边长为3 和 4 就认为另一边一定是5；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载勾股定理的证明已知：在

4、 ABC中， C=90， A、 B、 C的对边为a、b、c。求证：222abc证明： 4S+S小正 = S 大正 = 根据的等量关系：由此我们得出：勾股定理的内容是： . 5 “HL ”是 仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS ” 、 “SAS ” 、 “ASA ” 、 “AAS ”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。四、典题例析例 1如图，在 ABC 中， AD BC于 D. 请你再添加一个条件，就可以确定ABC 是等腰三角形，你添加的条件是 _。例 2已知如图， RtABC中， AB

5、=BC ，在 RtADE中， AD=DE ，连结 EC ，取 EC中点 M ，连结 DM和 BM ，若点D在边 AC上，点 E在边 AB上且与点B不重合，试说明BM=DM 成立的理由。例 3如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A、C、 D 三点在同一直线上，连结BD 、AE，并延长AE 交 BD 于 F试说明ACEBCD的理由。cbaDCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 4：已知：如图，B=D=90， A=60， AB=4 ，CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。例 5如图，等腰三角形

6、ABC中， AB=AC ，一腰上的中线BD? 将这个等腰三角形周长分成15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长例 6已知：在RtABC中， C=90， CD BC于 D， A=60， CD=3，求线段AB的长。例 7甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米早晨8：00 甲先出发，他以6 千米 / 时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以5 千米 / 时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？例 8将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的

7、天气里，彩旗自然下垂，如右图 . 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h. 彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm） . O A B BACDABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 9已知0)10(862zyx , 则由此zyx,为三边的三角形是三角形 . 例 10已知：如图，在ABC中， CD是 AB边上的高，且CD2=AD BD 。求证： ABC是直角三角形。例 11如图，在 ABD 中， A 是直角， AB=3 ， AD=4 ， BC=12，DC=13，DBC 是直角三角形吗？【

8、巩固练习】A组 基础训练1如图 1，在 ABC中， AB=AC ， A=50， BD为 ABC的平分线，则BDC=_ （1）2如图 2，在等腰直角ABC中， B=90，将 ABC绕顶点 A 逆时针方向旋转60后得到 AB C，则BAC 等于 _120 90 BACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）（3）3. ABC 中，若A=21 B=31 C， AC=10 cm，则 A= 度， B= 度 , C= 度， BC= ，SABC= 。4 ABC 中， C=90， AB=4 ， BC=32，CD

9、AB 于 D，则AC= ， CD= ， BD= ，AD= ,SABC= 。5如图 3，沿 AC方向开山修渠，为了加快施工进度，?要在小山的另一边同时施工从AC上的一点B 取ABD=135 ， BD=520米， D=45，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E 离 D的距离约为 _米（精确到1 米） 6等腰 ABC的底边 BC=8cm ，腰长 AB=5cm ，一动点P在底边上从点B开始向点C以 0.25cm/ 秒的速度运动，当点 P运动到 PA与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为_7如图 4，在 ABC中， AB=AC ， BAD=20? ，且 AE=?AD ，则 CDE=_ （4）（5）（

10、6）9如图 5，在等腰三角形ABC中， AB=AC ， A=44， CD AB于 D，则 DCB等于（） A44 B68 C46 D2210如图 6，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，?使拉线和地面成60 角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（）AL1BL2C L3D L4 11如图 7，在 ABC中， AB=AC ，D为 AC边上一点，且BD=BC=AD?则 A等于（）A30 B36 C45 D72（7）（8）12同学们都玩过跷跷板的游戏如图8 所示， ?是一跷跷板的示意图，

11、立柱OC与地面垂直，OA=OB 当跷精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载S3S2S1CBA跷板的一头A着地时， OAC=25 ， ?则当跷跷板的另一头B着地时， AOA 等于（）A25 B50 C60 D13013. 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5 ，高为12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 ，问吸管要做_？14、已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是_ 15、如图所示，以ABCRt的三边向外作正方形，其面积分别为123,S SS, 且1234,8,

12、SSS则；B组 能力提升1如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和 15cm两部分，求它的底边长2已知如图 ABC是等边三角形，BD是 AC边上的高，延长BC到 E使 CE=CD ?试判断 DB与 DE之间的大小关系，并说明理由3如图， ABC中， D、E分别是 AC 、AB上的点， BD与 CE交于点 O，?给出下列三个条件：EBO= DCO ； BEO= CDO ； BE=CD （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（ 1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形C组 应用与探究1如图， ABC是等边三角形，点D 、

13、E、F 分别是线段AB 、BC、?CA上的点（1）若 AD=BE=CF ，问 DEF是等边三角形吗？试证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）若 DEF是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论2.某地附近有河流L1，公路 L2 和铁路 L3，分布如图所示，现要选一个工厂，使得到L1，L2，L3 的距离相等，请你运用数学知识帮助选择一个厂址课后作业：（基础练习）1、有三枝木棒其中两枝的长分别是5cm ，13cm ，已知这三枝木棒首尾相连，能组成一个直角三角形，则第三枝木棒的

14、长可以是（）cm. A、3 B、8 C、12 D、 13 2、已知在 ABC中， A=B C ，则 ABC为（） A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、以上都有可能3、在 ABC中， A的相邻外角是110，要使 ABC为等腰三角形，则底角B的度数是（）A、70 B、 55C、70或 55D、604、下列判断正确的是（）A、 顶角相等的的两个等腰三角形全等B、 腰相等的两个等腰三角形全等C、 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D、 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（）A、中线上B、角平分线上 C、高线上 D 、不

15、能确定6、已知如图，折叠长方形的一边AD ，使点 D落在 BC边的点 F 处，已知 AB=8cm ，BC=10cm ，则 EC=( ) A、3 B、4 C、5 D、6 7. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF ） ，左边滑梯的高度AC? 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABC+ DFE 的度数为。l1l3l2EADBCF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载8. 在直线l上依次摆放着七个正方形( 如图所示 ) 。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是

16、S1、S2、S3、 S4，则 S1S2S3S4等于 . 9、在 ABC中, A120， B30， AB 4cm，则 AC _。10、如图， 在 ABC 中，C 90，AD 平分 BAC ，BC=12cm，BD=8 ，则 D 点到 AB 的距离为 _11、如图 , 已知在 ABC中,BC3， ACB和 ABC的两条角平分线相交于点O ，OE AB ，OF AC ，则 OEF的周长是 _12、等腰 ABC 中， AB AC 5，BC6，AD BC ， CEA B。则 EC=_ 13、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位。（1）请你在图1 中画出两条平行线，要求每条直线至少经过两个格

17、点（网格的交点），但是又不与网格线重合；（2）请你在图2 中画一个以格点为顶点，面积为6 个平方单位的等腰三角形。（3）请你在图3 中画一个以格点为顶点，三边都不与网格线重合的直角三角形（4）请你在图4 中画一条以格点为端点，长度为10的线段。A B C D E l321S4S3S2S1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载图 1 图 2 图 3 图 414、如图所示：已知BA=EA ， BC=ED， B=E，1）请判断 ACD是什么三角形，并说明理由？2）若点 F 是 CD 的中点，则AF 平分 CA

18、D ，请说明理由？15、已知点D 是等腰 ABC 底边 BC 上的一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE、DF，若 DE=DF ，则点 D 是 BC 的中点。请说明理由。16、如图， ADBC 中， A=B=90 度， E是 AB上一点，且AE=BC ， 1=2 1）RtADE与 Rt BEC全等吗？请说明理由；2）AB AD BC 3） CDE是不 是直角三角形？请说明理由。ABFCDE21EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载17、如图 1，D 是边长为4 的等边 ABC 的边 AB

19、 上的一点， DQ AB交边 BC于点 Q，RQ BC交边 AC于点R，RP AC交边 AB于点 E，交 QD的延长线于点P。、请说明PQR是等边三角形的理由；图 1、若 BD=1.3 ，则 AE= （填空）、如图2，当点 E 恰好与点D 重合时，求出BD 的长度。练习1、等边三角形的边长为2，则它的面积是2、如下图， MNP 中，P=60 ，MN=NP ，MQ PN，垂足为 Q，延长 MN 至 G，取 NG=NQ ，若 MNP的周长为12，MQ=a，则 MGQ 周长是（）A8+2a B8+a C6+a D6+2a 3、如图， CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高，将 BCD 沿 CD

20、折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则A= 度4、如图， ABC 是 Rt， BC 是斜边， P 是三角形内一点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，如果AP=3，那么 PP的长等于。EPRQCABDERQCABDP Q M N G A B C P P第 2 题图第 3 题图第 4 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载图图图CBADE5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A6 B 7 C 8 D9 6、如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合 ,则 CD 的长是cm。BA第 5 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页