2022年第十二讲二次函数 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 12 讲二次函数考纲要求命题趋势1理解二次函数的有关概念2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题5 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查. 知识梳理一、二次函数的概

2、念一般地，形如y_( a，b，c 是常数， a0)的函数，叫做二次函数二次函数的两种形式：(1) 一般形式： _ ；(2) 顶点式： ya(xh)2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是_ 二、二次函数的图象及性质二次函数y ax2bxc(a，b，c 为常数， a0) 图象(a0)(a0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线 xb2a( 直线二字一定要写）直线 xb2a顶点坐标b2a，4acb24ab2a，4acb24a增减性当 xb2a时， y 随 x的增大而减小；当xb2a时， y 随 x 的增大而增大当 xb2a时， y 随 x的增大而增大；当xb2a时，y 随 x 的增大而减小最值当 x

3、b2a时，y 有最_值4acb24a当 xb2a时，y 有最_值4acb24a三、二次函数图象的特征与a，b，c 及 b24ac 的符号之间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载四、二次函数图象的平移抛物线 yax2与 ya(xh)2，yax2k，ya(x h)2k 中|a|相同，则图象的_和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1设一般式： yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出 a，b，c

4、的值2设交点式： ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标，则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式3设顶点式： ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a 0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载六、二次函数与一元二次方程的关系1二次函数yax2 bxc(a0)，当 y0 时，就变成

5、了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a 0)的解是抛物线与x 轴交点的 _3当 b24ac0 时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当 b24ac 0 时，抛物线与x 轴有一个交点；当 b2 4ac0 时，抛物线与x 轴没有交点4设抛物线yax2 bxc 与 x 轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1x2_，x1 x2_. 自主测试1下列二次函数中，图象以直线x2 为对称轴，且经过点(0,1)的是 () Ay(x2)21 By(x2)2 1 Cy (x 2)23 Dy(x2)2 3 2如图所示的二次函数y ax2bxc 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b

6、24ac0；(2) c1；(3)2ab0；(4)a bc0.你认为其中错误的有() A2 个B3 个C4 个D1 个3当 m_ 时，函数y(m3)xm274 是二次函数4将抛物线yx2的图象向上平移1 个单位，则平移后的抛物线的解析式为_ 5写出一个开口向下的二次函数的表达式：_. 考点一、二次函数的图象及性质【例 1】(1) 二次函数y 3x26x5 的图象的顶点坐标是() A( 1,8) B(1,8) C(1,2) D(1， 4) (2) 已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点 (1，y1)，(2，y2)，试比较 y1和 y2的大小： y1_y2.(填“ ”“ ” 或

7、“” ) 解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求b2a 62 31，4acb24a4 3 5 624 38，二次函数y 3x26x5 的图象的顶点坐标是(1,8)故选 A. (2) 点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0， y3)，抛物线对称轴为直线x1，点 (0， y3)与点 (2，y2)关于直线x1 对称 y3y2. a 0，当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小y1y3.y1y2. 答案： (1)A(2)方法总结1将抛物线

8、解析式写成ya(x h)2 k 的形式，则顶点坐标为(h， k)，对称轴为直线 x h，也可应用对称轴公式xb2a，顶点坐标b2a，4acb24a来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大小的方法：(1) 直接代入自变量求值法；(2) 当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3) 当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断触类旁通1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载Aa0 B当 x1 时， y

9、 随 x 的增大而增大Cc 0 D3 是方程 ax2bxc0 的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c 的符号【例 2】如图，是二次函数yax2bxc(a0)的图象的一部分，给出下列命题：abc0； b2a； ax2bx c 0 的两根分别为3 和 1； a 2bc 0.其中正确的命题是_ (只要求填写正确命题的序号) 解析： 由图象可知过(1,0)，代入得到abc 0；根据 b2a1，推出 b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是 (3,0)，(1,0) ；由 a2bc a2b ab3b0，根据结论判断即可答案： 方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中

10、的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a，b 共同决定， b24ac 决定抛物线与x 轴的交点情况当x1 时，决定a bc 的符号，当 x1 时，决定 abc 的符号在此基础上， 还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷触类旁通2 小明从如图的二次函数yax2bxc 的图象中， 观察得出了下面五个结论：c0； abc0； abc0； 2a3b0； c4b0，你认为其中正确的结论有() A2 个B3 个C4 个D5 个考点三、二次函数图象的平移【例 3】 二次函数y 2x24x1 的图象怎样平

11、移得到y 2x2的图象 () A向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位B向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位C向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位D向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位解析： 首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载2(x1)2 3， 将该函数图象向左平移1 个单位， 再向下平移3 个单位就得到y 2x2的图象答案： C 方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶

12、点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减” 的规律进行操作触类旁通3 将二次函数yx2的图象向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数解析式是() Ay (x1)22 By(x1)2 2 Cy(x 1)22 Dy(x1)2 2 考点四、确定二次函数的解析式【例 4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是 (0，3)，以点 C 为顶点的抛物线y ax2bxc 恰好经过x 轴上 A，B 两点(1) 求 A，B，C 三点的坐标；(2) 求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式解： (1) 由抛物线的对称性可知AEBE. AOD BEC. OAEB EA. 设菱形的边长为

13、2m，在 RtAOD 中，m2(3)2(2m)2，解得 m1. DC2， OA 1，OB3. A，B， C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)(2) 解法一：设抛物线的解析式为y a(x2)23，代入 A 的坐标 (1,0)，得 a3. 抛物线的解析式为y 3(x2)23. 解法二：设这个抛物线的解析式为y ax2 bxc，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，3)三点，得a bc 0，9a3bc0，4a2bc3，解这个方程组，得a3，b43，c 33.抛物线的解析式为y 3x243x33. 方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若

14、已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小 )值，可设顶点式触类旁通4 已知抛物线y12x2 (6m2)xm3 与 x 轴有 A， B 两个交点，且A， B 两点关于 y 轴对称(1)求 m 的值；(2) 写出抛物线的关系式及顶点坐标考点五、二次函数的实际应用【例5】 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为： 每投入 x万元，可获得利润P1100(x60)241(万元 ) 当地政府拟在“十二 五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最

15、多可投入100 万元的销售投资， 在实施规划5 年的前两年中，每年都从100 万元中拨出50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q99100(100 x)22945(100 x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载160(万元 )(1) 若不进行开发，求5 年所获利润的最大值是多少；(2) 若按规划实施，求5 年所获利润 (扣除修路后 )的最大值是多少；(3) 根据 (1)、

16、(2)，该方案是否具有实施价值？解： (1) 当 x60 时， P 最大且为41 万元，故五年获利最大值是415205(万元 )(2) 前两年： 0 x50，此时因为 P 随 x 的增大而增大，所以 x50 时，P 值最大且为40 万元，所以这两年获利最大为40280(万元 )后三年：设每年获利为y 万元，当地投资额为x 万元，则外地投资额为(100 x)万元，所以yPQ1100 x6024199100 x22945x160 x260 x165 (x30)2 1 065，表明 x30 时， y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 06533 195(万元 )，故五年获利最大值为 803

17、1955023 175(万元 )(3) 有极大的实施价值方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1列出二次函数的关系式，列关系式时， 要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10 元/件，出厂价为12 元/件，年销售量为2 万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年

18、销售量增加x 倍(本题中 0 x 11)(1) 用含 x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_元；(2) 求今年这种玩具的每件利润y(元)与 x 之间的函数关系式；(3) 设今年这种玩具的年销售利润为w 万元， 求当 x 为何值时， 今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润(每件玩具的出厂价每件玩具的成本)年销售量1 (2012 四川乐山 )二次函数yax2bx1(a0)的图象的顶点在第一象限，且过点 (1,0) 设tab1，则 t 值的变化范围是() A0t1 B0t2 C1t2 D 1t1 2(2012 山东菏泽 )已知

19、二次函数yax2bxc 的图象如图所示，那么一次函数ybxc和反比例函数yax在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 3(2012 上海 )将抛物线yx2x 向下平移2 个单位，所得新抛物线的表达式是_4(2012 山东枣庄 )二次函数yx2 2x3 的图象如图所示当y0 时，自变量x 的取值范围是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载(第 4 题图 ) 5(2012 广东珠海 )如图，二次函数y(x2)2m 的图象与y 轴交于点C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数

20、ykxb 的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点 B. (第 5 题图 ) (1) 求二次函数与一次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kxb(x2)2 m 的 x 的取值范围6(2012 湖南益阳 )已知：如图，抛物线ya(x1)2c 与 x 轴交于点A(13，0)和点 B，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点 P(1,3) 处(1) 求原抛物线的解析式；(2) 学校举行班徽设计比赛，九年级5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P 作 x 轴的平行线交抛物 线于 C，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W ”型的班徽， “5”的拼音开头字母为W

21、，“W ” 图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个 “W ” 图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比512(约等于 0.618) 请你计算这个“ W ”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：5 2.236，62.449，结果可保留根号) 1抛物线 yx26x5 的顶点坐标为() A(3， 4) B(3,4) C(3， 4) D(3,4) 2由二次函数y2(x3)21，可知 () A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x 3 C其最小值为1 D当 x3 时， y 随 x 的增大而增大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

22、-第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载3已知函数y(k3)x22x1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是() Ak4 Bk 4 Ck 4 且 k3 Dk4 且 k3 4如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是() (第 4 题图 ) Amn，khBmn，khCmn， khDmn，kh5如图，已知二次函数yx2 bxc 的图象经过点A(1,0)，B(1， 2)，该图象与x 轴的另一交点为C，则 AC 长为 _ (第 5 题图 ) 6抛物线 yax2bx c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x 21012y 04664从上表可知，下列说法中正确的

23、是_(填写序号 ) 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)；函数 yax2bxc 的最大值为6；抛物线的对称轴是直线x12；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大7抛物线y x2bxc 的图象如图所示，若将其向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的解析式为_ 820XX 年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载(1) 分别求 y

24、1和 y2的函数解析式；(2) 有一农户同时对型、型两种设备共投资10 万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额9如图，已知二次函数L1：y x2 4x3 与 x 轴交于 A，B 两点 (点 A 在点 B 的左边 )，与 y轴交于点C. (1) 写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) 研究二次函数L2：ykx24kx3k(k0)写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y8k 与抛物线L2交于 E，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由参考答案导学必备知识自主测试1

25、C 2D抛物线与x 轴有两个交点，b24ac0；与 y 轴交点在 (0,0)与(0,1)之间， 0c1， (2)错；b2a 1，b2a 1， a 0， 2ab， 2ab0；当 x1 时， yab c0，故选 D. 33由题意，得m272 且 m30，解得 m3. 4yx21 5y x22x1(答案不唯一 ) 探究考点方法触类旁通1 D 触类旁通2 C抛物线开口向上，a0；抛物线与y 轴交于负半轴，c0；对称轴在y 轴右侧， a，b 异号，故b0， abc 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载由题

26、图知当x 1 时， y0，即 abc0.对称轴是直线x13，b2a13，即 2a3b0；由abc0，2a3b0，得 c52b 0. 又 b0， c4b 0.正确的结论有4 个触类旁通3 A因为将二次函数yx2向右平移1 个单位，得y(x1)2，再向上平移2 个单位后，得y (x1)22，故选 A. 触类旁通4解： (1)抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，抛物线的对称轴即为y 轴6m22120.m 6. 又抛物线开口向下，m3 0，即 m3. m6. (2) m6，抛物线的关系式为y 12x2 3，顶点坐标为(0,3)触类旁通5 解： (1)(10 7x)(126x) (2) y(126x

27、)(107x)2x. (3) w2(1x)(2x)2x22x4，w2(x0.5)24.5. 20,0 x11，当 x 0.5 时， w最大4.5(万元 )答：当 x 为 0.5 时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5 万元品鉴经典考题1B二次函数yax2bx 1 的顶点在第一象限，且经过点 (1,0)，ab 1 0，a 0，b0. 由 ab10 得到 b1，结合上面b0， 0b1；由 ba10 得到 a 1，结合上面a0，1a0. 由得 1ab1，且 c1，得到 0ab 12，0 t2. 2C二次函数图象开口向下，a 0. 对称轴xb2a 0， b0. 二次函数图象经过坐标原点，c0

28、. 一次函数ybxc 过第二、四象限且经过原点，反比例函数yax位于第二、四象限，故选 C. 3yx2x2因为抛物线向下平移2 个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y x2x2. 41 x3因为二次函数的图象与x 轴两个交点的坐标分别是( 1,0)， (3,0)，由图象可知，当 y0 时，自变量x 的取值范围是1x3. 5解： (1)由题意，得(12)2 m0，解得 m 1， y(x2)21. 当 x0 时， y(02)213， C(0,3)点 B 与 C 关于直线x 2 对称， B(4,3)于是有0kb，34kb，解得k1，b 1.yx1. 精选学习资料 - - - -

29、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2) x 的取值范围是1x4. 6解： (1)P 与 P (1,3) 关于 x 轴对称，P 点坐标为 (1， 3)抛物线ya(x1)2c 过点 A(13，0)，顶点是 P(1，3)，a 1312c0，a 112c 3，解得a1，c 3.则抛物线的解析式为y (x1)23，即 yx22x2. (2) CD 平行于 x 轴， P (1,3)在 CD 上，C，D 两点纵坐标为3，由(x1)233，得 x1 16， x216，C，D 两点的坐标分别为(16，3)，(16，3)，CD26， “ W”

30、 图案的高与宽(CD)的比32664(或约等于0.612 4)研习预测试题1A2C 3D由题意，得22 4(k3)0，且 k 30，解得 k4 且 k3，故选 D. 4A 53把 A(1,0)，B(1，2)代入 yx2 bxc 得1bc0，1bc 2，解得b 1，c 2，yx2x2，解 x2 x20 得 x11，x2 2， C 点坐标为 (2,0)， AC3. 6由图表可知当x0 时，y6；当 x1 时，y 6，抛物线的对称轴是直线x12，正确；抛物线与x 轴的一个交点为(2,0)，对称轴是直线x12，抛物线与x 轴的另一个交点为 (3,0)，正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随 x 增大而

31、增大，正确；当x12时， y 取得最大值，错误7y x22x由题中图象可知，对称轴为直线x1，所以 b 2 1，即 b2.把点 (3,0)代入 y x22xc，得 c3.故原图象的解析式为yx22x3，即 y(x1)24，然后向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，得y(x12)2 43，即 yx22x. 8解： (1)由题意，得5k2， k25， y125x；4a2b2.4，16a4b3.2，a15，b85，y215x285x. (2) 设该农户投资t 万元购型设备，投资(10t)万元购型设备，共获补贴Q 万元y125(10t)425t， y215t285t. Qy1y2425t15t28

32、5t15t265t415(t3)2295.当 t3 时， Q最大295.10t7. 即投资 7 万元购型设备，投资3 万元购型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8 万元9解： (1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x2，顶点坐标 (2，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2) 二次函数L2与 L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x 2 或顶点的横坐标为2；都经过 A(1,0) ，B(3,0)两点线段 EF 的长度不会发生变化直线 y 8k 与抛物线L2交于 E，F 两点，kx24kx3k8k，k0， x2 4x38，解得 x11，x25. EFx2x1 6，线段EF 的长度不会发生变化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页