2022年八年级数学下册-平面几何经典难题训练-沪科版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C 、E是圆上的两点，CD AB ，EFAB ，EG CO 求证： CD GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD 内一点， PAD PDA 150求证： PBC是正三角形3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、 C2、 D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，M 、N分别是 AB 、CD的中点， AD 、BC的延长线交 MN于 E、F求证： DEN FA P C D B A F G C E B O D D

2、2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载P C G F B Q A D E （二）1、已知： ABC中， H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM BC于 M （ 1）求证： AH 2OM ；（ 2）若 BAC 600，求证： AHAO （初二）2、设 MN是圆 O外一直线， 过 O作 OA MN于 A ，自 A引圆的两条直线，交圆于 B、C及 D、E，直线 EB及 CD分别交 MN 于 P、 Q 求证： A

3、PAQ （初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A任作两弦 BC、DE ，设 CD 、EB分别交 MN于 P、Q求证： AP AQ （初二）4、如图，分别以ABC的 AC和 BC为一边，在 ABC的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点 P是 EF的中点求证：点P到边 AB的距离等于AB的一半（初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1

4、5 页学习必备欢迎下载（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，AE AC，AE与 CD相交于 F求证： CECF （初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，且 CE CA ，直线 EC交 DA延长线于F求证： AE AF （初二）3、设 P是正方形ABCD 一边 BC上的任一点，PF AP ，CF平分 DCE 求证： PA PF （初二）4、如图，PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE 、AF与直线 PO相交于 B 、D求证： AB DC ，BCAD （初三）D A F D E C B E D A C B F F E P C B A

5、O D B F A E C P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载（四）1、已知： ABC是正三角形， P是三角形内一点，PA 3， PB 4， PC 5求： APB的度数（初二）2、设 P是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD ADBC AC BD （初三）4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC 、AB上的一点， AE与 CF相交于 P，且AE CF 求证： DPA DPC （初二）A

6、P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载（五）1、设 P是边长为1 的正 ABC内任一点， LPA PB PC，求证：L22、已知： P是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC的最小值3、P为正方形ABCD 内的一点，并且PA a，PB 2a，PC 3a，求正方形的边长4、如图， ABC中， ABC ACB 800，D、E分别是 AB 、AC上的点， DCA 300， EBA200，求 BED的度数APCBACB

7、PDEDCBAACBPD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载经典难题解答: 经典难题（一）1. 如下图做GH AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE, 可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP全等，可得PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG 150 所以 DCP=300 ，从而得出 PBC是正三角形3. 如下图连接BC1和 AB

8、1分别找其中点F,E. 连接 C2F 与 A2E并延长相交于Q点，连接 EB2并延长交C2Q于 H点，连接 FB2并延长交A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又 GFQ+ Q=900和 GEB2+Q=900, 所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+ HB2F=900和 GFQ= EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。精选学习资料 - - - - - - - - -

9、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载4. 如下图连接AC并取其中点Q ，连接 QN和 QM ，所以可得 QMF= F， QNM= DEN和 QMN= QNM ，从而得出 DEN F。经典难题（二）1.(1)延长 AD到 F连 BF，做 OG AF, 又 F=ACB= BHD ，可得 BH=BF,从而可得HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2) 连接 OB ，OC,既得 BOC=1200，从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载3. 作 OF CD ，OG BE ，连接 OP ，OA ，OF ， AF ，OG ，AG ，OQ 。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。又因为 PFOA与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP和 AGE= AOQ ， AOP= AOQ ，从而可得AP=AQ 。4. 过 E,C,F 点分别作AB所在直线的高EG ，CI，FH。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA AIC，可得 EG=AI，由 BFH CBI，可得 FH=BI。从而可

11、得PQ= 2AIBI+= 2AB，从而得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载经典难题（三）1. 顺时针旋转ADE ，到 ABG ，连接 CG. 由于 ABG= ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC，可得 AGC为等边三角形。 AGB=300，既得 EAC=300，从而可得 A EC=750。又 EFC= DFA=450+300=750. 可证： CE=CF 。2. 连接 BD作 CH DE ，可得四边形CGDH 是正方形

12、。由 AC=CE=2GC=2CH，可得 CEH=300，所以 CAE= CEA= AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载3. 作 FG CD ，FEBE ，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF

13、，得到 PA PF ，得证。经典难题（四）1.顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ是正三角形。可得 PQC 是直角三角形。所以 APB=1500。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BEPC. 可以得出 ABP= ADP= AEP ，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP= BCP ，得证。3. 在 BD取一点 E，使 BCE= ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BEBC=ADAC，即 AD

14、 ?BC=BE ?AC ，又 ACB= DCE ，可得 ABC DEC ，既得ABAC=DEDC，即 AB ?CD=DE ?AC ，由 +可得 : AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ，得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载4. 过 D作 AQ AE ，AG CF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC （角平分线逆定理） 。经典难题（五）1. （ 1）顺时针旋转BPC 600，

15、可得 PBE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ， PE ，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=（2）过 P点作 BC的平行线交AB,AC与点 D，F。由于 APD ATP= ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L2 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载2. 顺时针旋转BPC 600，可得 PBE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP

16、 ， PE ，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得 AF=213(1)42+ = 23+= 42 32+ = 2( 31)2+ = 2( 31)2+ = 622+。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载3. 顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a+ = 52 2 a+。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载4. 在 AB上找一点F，使 BCF=600，连接 EF ，DG ，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=100 , FCE=200 , 推出 ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE为等边三角形，可得 AFE=800，既得： DFG=400又 BD=BC=BG ，既得 BGD=800，既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得：FED= BED=300。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页