2022年公务员考试数学基础知识 .pdf

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1、一、整除及余数判定基本法则（1）2、4、 8 整除及余数判定基本法则一个数能被2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或 5）整除。一个数能被4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或 25）整除。一个数能被8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或 125）整除。一个数被2（或 5）除得的余数，就是其末一位数被2（或 5）除得的余数。一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数被4（或 25）除得的余数。一个数被8（或 125）除得的余数，就是其末三位数被8（或 125）除得的余数。(2) 3、9整除及余数判定基本法则一个数能被3 整除，当且仅当其各位数字之和能被3 整

2、除。一个数能被9 整除，当且仅当其各位数字之和能被9 整除。一个数被3 除得的余数，就是其各位数字之和被3 除得的余数。一个数被9 除得的余数，就是其各位数字之和被9 除得的余数。(3) 7 整除判定基本原则一个数是7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7 的倍数。如 362,483。一个数是7 的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为7 的倍数。如12047,23015。(4) 11 整除判定基本原则一个数是11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11 的倍数。一个数是11 的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为11 的倍数。(5) 13 整除判定基本法则一个数

3、是13 的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为13 的倍数。二、比例倍数若 ab=m n，则说明 a 占 m份，是 m的倍数； b 占 n 份，是 n 的倍数； a+b占 m+n份，是 m+n的倍数； a-b 占 m-n份，是 m-n的倍数。三、十字交叉法Aa+Bb= （A+B ）r A/B=(r-b)/(a-r) A：a r-b r B：b a-r 四、极值求解法1、均值不等式法：),(2Rbaabba2)2(baab当且仅当 a=b时等号成立。),(33Rcbaabccba3)3(cbaabc当且仅当a=b=c 时等号成立推广：),(2121321Rxxxxxxnnxxxxnnnn2、一

4、阶导为零法：连续可导函数，在其内部取到最大或最小值时，其导数为零。五、代数工具一元二次方程 ax2bxc=0（a0） ， 当 b24ac0 时有 x=242bbaca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页二次函数 y=ax2bxc（a0），当 x=2ba时该函数有最大值或最小值平方差公式： a2b2=(ab) (ab) 完全平方公式： (ab) 2= a22abb2(ab) 2= a22abb2完全立方公式： (ab) 3= a33a2b3ab2 +b3(ab)3= a33a2b3ab2b3立方和差公式： a3b3=(

5、ab)(a2abb2) a3b3=(ab)(a2abb2) 幂次运算： aman=am+n （am）n=am n （ab）m=ambm六、乘方尾数口诀1、底数留个位；2、指数末两位除以 4 留余数（余数为 0 则看作 4） 37424998224 32020341 七、 “除以 7”乘方余数核心口诀1、底数除以 7 留余数2、指数除以 6 留余数（余数为 0 则看作 6） 93766除以 7 余数是（） 9376624162八、数列公式等差数列：平均数 =中位数 =（首数 +尾数） 2 求和公式： Sn=n（a1an）/2=平均数项数 =中位数项数项数公式： n=（an-a1）/d 1 级差公

6、式： anam=（nm ） d 对称公式： anamaiaj，其中 m ni j 等比数列：对称公式： anamaiaj，其中 m ni j 求和公式： Snqqan1)1(1（1q）nS= 1na（q = 1）平方数列：求和公式：nS=122232n2n（n1） （2n1）/6 立方数列：求和公式：nS=132333n3n（n1）/22九、容斥原理1、满足条件1 的个数满足条件2 的个数两者都满足的条件总个数两者都不满足的个数2、 AB C A B C AB BC AC ABC3、在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A 、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W ，其中：

7、满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，则W xyz A BCx1y2z 3 十、排列组合之错位排列问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页有 N封信和 N个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作 Dn ，则 D10，D21，D32，D49，D544，D6=265，n 个人围成一圈，不同的排列方法有（n-1） ！种。十一、概率1、总体概率满足条件的各种情况概率之和2、分步概率满足条件的每个步骤概率之积3、某条件成立概率 1该条件不成立的概率4、几何概率：满足

8、条件的概率满足条件的几何区域面积总几何面积5、条件概率： “A成立”时“ B成立”的概率A、B同时成立的概率A成立的概率6、概率期望：各个实现值乘各自的概率，最后再相加7、最不利原则：考虑对需要满足的条件“最不利”的情形，最后“1”即可。8、如果在 1 次试验中，事件 A发生的概率为 P，则在 n次独立重复试验中，事件 A发生 K次的概率 P（K）=CknPk（1-P）n-k 十二、溶液问题：1、溶液溶质溶剂溶质浓度；浓度溶质溶液；溶质溶液浓度2、浓度分别为a% 、b% 的溶液，质量分别为M 、N，交换质量L 后浓度都变成c% ，则 c%（a% M b% N）/ （M N）（M L）/L L/

9、 （N L）LMN/ （M N）3、混合稀释型溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶剂，则浓度变为原来的（1a）溶液加入比例为a 的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变为原来的1/(1 a）十三、牛吃草问题核心公式： y（NX） T y原有存量（如原有草量） N促使原有存量减少的变量（如牛数） X存量的自然增长速度（如草长速度） T存量完全消失所耗用的时间如果草场有面积区别，如“M头牛吃 W亩草”时， N用“M/W ”代入，此时 N代表单位面积上的牛数。十四、调和平均数公式：a2a1a2/(a1a2) 等距离平均速度核心公式：V2V1V2/ （V1V2）若物体前一半路程以速度V1运动，后一半路程

10、以速度V2运动，则全程的平均速度为 2V1V2/ （V1V2） 。若物体前一半时间以速度V1运动，后一半时间以速度V2运动，则全程的平均速度为（ V1V2）/2 。等价格平均价格核心公式：P2P1P2/ （P1P2）等溶质增减溶剂核心公式：r22r1r3/（r1r3） （ r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）十五、钟表问题1、 设钟表一圈分成了12 格，则时针每小时转1 格，分针每小时转12 格。2、 时针一昼夜转2 圈， 1 小时转 1/12 圈；分针一昼夜转24 圈，一小时转1 圈。3、 钟面上每两格之间30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。十六、三位数的页码数公式页码数数

11、字数 336 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页十七、余数同余口诀核心知识“余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期”1、 余同： “一个数除以4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1” ，则取 1，表示为 60n1 2、 和同： “一个数除以4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1” ，则取 7，表示为 60n7 3、 差同： “一个数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3， ”则取 -3 ，表示为60n-3 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。注意

12、： n 的取值范围为整数，即可以取负值，也可以取零值。十八、星期日期问题1、 当条件中出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时，这些日期本质上都是等差数列，可以通过计算其“平均数”来定位这些日期的“中位数”，从而完成答题。2、 当题目要求我们推断某日式星期几的时候，如果条件日期与提问日期相差若干年时，我们一般采用以下办法：如果所有的年都不是闰年，那么每年都是365 天，而 3657521，那么问“365天之后（即1 年之后）星期几”就等同于问“1 天之后是星期几” ，问“N年之后星期几”就等同于问“N天之后星期几” 。中间有几个闰年，再加几天就是了。十九、匀加速问题 VtV0a

13、t SV0t at2/2 (V0Vt)t/2 二十、相对速度问题1、相遇追及型相遇问题：相遇距离（大速度小速度）相遇时间追及问题：追及距离（大速度小速度）追及时间背离问题；背离距离（大速度小速度）背离时间2、环形运动型反向运动：环形周长（大速度小速度）相遇时间同向运动：环形周长（大速度小速度）相遇时间3、流水行船型顺流路程顺流速度顺流时间（船速水速）顺流时间逆流路程逆流速度逆流时间（船速水速）逆流时间船速（顺流速度逆流速度）2 水速（顺流速度逆流速度）2 4、扶梯上下型扶梯总长人走的阶数（1V梯/V人） ，顺行用加法，逆行用减法5、队伍行进型队头队尾：队伍长度（人速队伍速度）时间队尾队头：队伍

14、长度（人速队伍速度）时间6、往返相遇型两个人从两端出发，相向而行，到达对面终点后立即返回，如此往复，那么：两人第 1,2,3,4次迎面相遇时，两人的路程之和分别为1，3,5,7 个全程。两人第 1,2,3,4次追上相遇时，两人的路程之差分别为1，3,5,7 个全程。两人从同一端出发，到达终点后立即返回，如此往复，那么：两人第 1,2,3,4次迎面相遇时，两人的路程之和分别为2,4,6,8个全程。两人第 1,2,3,4次追上相遇时，两人的路程之差分别为2,4,6,8个全程。7、等间距同向反向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

15、11 页间距相等的情况下，同方向运动时间与反方向运动时间之比：t同/t反=v1+v2/v1-v2 8、无动力顺水漂流：漂流所需时间 =2t逆t顺/t逆-t顺（其中 t逆和 t顺分别代表船逆流和顺流所需时间）9、 火车问题火车过桥总路程桥长车长错车总路程两车速度和错车时间即 S1S2（v1v2）t二十一、几何公式1、 几何周长核心公式正方形 C正方形4a；长方形 C长方形2（a+b） ；圆形 C圆2 r ；扇形 C扇形=n/36 02 r2、 几何面积核心公式正方形 S正方形a2；长方形 S长方形ab；圆形 S圆 r2三角形 S三角形1/2 ah=1/2absinC=1/2acsinB=1/2b

16、csinA；平行四边形 S平行四边形ah；梯形 S梯形1/2 （a+b）h；扇形 S扇形=n/360 r2正方体表面积 =6a2； 长方体表面积 =2 （ab+bc+ac ） ； 球表面积 =4 r2 d23、 几何体积核心公式正方体体积 =a3； 长方体体积 =abc； 球体积 =4/3 r2 圆柱体体积 = r2h；圆锥体体积 =1/3 r2h=1/3Sh4、 勾股定理N 边形内角和为（ N2）180二十二、几何特性法1、 等比放缩型一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则 所有对应角度不发生改变 所有对应长度变为原来的m 倍 所有对应面积变为原来的m2倍 所有对应体积变为原来的m3倍2

17、、 几何最值型 平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小 立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大 立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小3、 三边关系型三边长均为整数且最大边长为n 的三角形共有多少个？答案：n+（n2）+（n4）+这个加和一直加完所有的正整数，如果n 为奇数，那就加到 1；如果 n 为偶数，那就加到2. 4、相似图形面积比是相似比平方，体积比是相似比立方。5、正四面体常用参数：常见勾股数直角边3 6 9 12 15 5 10 7 8 直角边4 8 12 16 20 12 24 24 15 斜边5 10 15 2

18、0 25 13 26 25 17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页二十三、几何边端问题1、植树型单边线型植树公式：棵树总长间隔1；总长（棵树 1）间隔单边环型植树公式：棵树总长间隔；总长棵树间隔单边楼间植树公式：棵树总长间隔1；总长（棵树 1）间隔2、排队型队伍共有N人， A排在第 M位，则 N前面有（ M 1）人，后面有（NM ）人。3、爬楼型从地面爬到第N层楼，要爬（N1）层；从第M层爬到第 N层，要爬（ M N）层。4、截管型将钢管截为 N段，需要截（ N1）次。 5 、减绳计数绳子对折 n 次从中间剪开得

19、 2n1 段绳子。6、方阵型 相邻两层数量相差8，特例：最外层每边人数是奇数，从内到外的人数为 1、8、16，相差 7 实心方阵人数最外层每边人数2 空心方阵人数利用等差数列公式求和公式计算：首项是最外层人数，公差是 -8. 方阵每层总人数每边人数44 二十四、趣味杂题模块1、比赛问题N支队伍进行循环赛， 每支队伍需要和其他任意队伍进行一场比赛，所以每支队伍需要进行（ N1）场比赛；由于每场比赛都是两个队伍共同进精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页行，所以总场次应该是N（N 1）/2 场。2、拆数求积问题将一个正整数

20、（ 2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个3 和少量 2（0 个 2，1 个 2，或 2 个 2）之和即可。3、空瓶换酒问题“M个空瓶换 N瓶酒”相当于“（M N）个空瓶换 N个（无瓶）酒”4、过河爬井问题M个人过河，船上能载N个人，若需要n 人划船，则共需过河（M n）/ （Nn）次井深 M米，每天爬N米，下滑n 米，则共需（ M n）/（ Nn）天。二十五、 基础数列两两做差之后得到“1,2,2,4”或者其倍数形式，如“2,4,4,8 ” “3,6,6,12 ”等等，说明原数列很可能与质数数列有关。二十六、常用幂次数平方数底数1 2

21、3 4 5 6 7 8 9 10 11 平方1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 底数12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平方144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 底数23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 平方529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 立方数底数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 立方1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 多次方数次方数1 2

22、3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 3 3 9 27 81 243 729 4 4 16 64 256 1024 5 5 25 125 625 3125 6 6 36 216 1296 7776 二十七、 100 以内平方、立方表x x2x31 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

23、 7 页，共 11 页11 121 1331 12 144 1728 13 169 2197 14 196 2744 15 225 3375 16 256 4096 17 289 4913 18 324 5832 19 361 6859 20 400 8000 21 441 9261 22 484 10648 23 529 12167 24 576 13824 25 625 15625 26 676 17576 27 729 19683 28 784 21952 29 841 24389 30 900 27000 31 916 29791 32 1024 32768 33 1089 35937

24、 34 1156 39304 35 1225 42875 36 1296 46656 37 1369 50653 38 1444 54872 39 1521 59319 40 1600 64000 41 1681 68921 42 1764 74088 43 1849 79507 44 1936 85184 45 2025 91125 46 2116 97336 47 2209 103823 48 2304 110592 49 2401 117649 50 2500 125000 51 2601 132651 52 2704 140608 53 2809 148877 精选学习资料 - - -

25、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页54 2916 157464 55 3025 166375 56 3136 175616 57 3249 185193 58 3364 195112 59 3481 205379 60 3600 216000 61 3721 226981 62 3844 238328 63 3969 250047 64 4096 262144 65 4225 274625 66 4356 287496 67 4489 300763 68 4624 314432 69 4761 328509 70 4900 343000

26、71 5041 357911 72 5184 373248 73 5329 389017 74 5476 405224 75 5625 421875 76 5776 438976 77 5929 456533 78 6084 474552 79 6241 493039 80 6400 512000 81 6561 531441 82 6724 551368 83 6889 571787 84 7056 592704 85 7225 614125 86 7396 636056 87 7569 658503 88 7744 681472 89 7921 704969 90 8100 729000

27、91 8281 753571 92 8464 778688 93 8649 804357 94 8836 830584 95 9025 857375 96 9216 884736 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页97 9409 912673 98 9604 941192 99 9801 970299 100 10000 1000000 二十八、数字特性掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数 奇数 = 偶数；偶数 偶数 = 偶数；偶数 奇数

28、 = 奇数；奇数 偶数 = 奇数。【推论】1任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。2任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。（二）整除判定基本法则1能被 2、4、8、5、25 、125 整除的数的数字特性能被 2（或 5）整除的数，末一位数字能被2（或 5）整除；能被 4（或25 ）整除的数，末两位数字能被4（或25 ）整除；能被 8（或 125 ）整除的数，末三位数字能被8（或 125 ）整除一个数被 2（或 5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或 5）除得的余数；一个数被 4（或25 ）除得的余数，就是其末两位数字被4（或

29、25 ）除得的余数；一个数被 8（或 125 ）除得的余数，就是其末三位数字被8（或 125 ）除得的余数。2能被 3、9 整除的数的数字特性能被 3（或 9）整除的数，各位数字和能被3（或 9）整除。一个数被 3（或 9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或 9）除得的余数。3能被 11 整除的数的数字特性能被 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。（三）倍数关系核心判定特征如果 ab=m n（m ，n 互质），则 a 是 m 的倍数； b 是 n 的倍数。如果 xmny （m ，n 互质） ，则 x 是 m 的倍数； y 是 n 的倍数。如果 ab=m n（m ，n

30、互质），则 ab 应该是 m n 的倍数。乘法与因式分解公式正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c； （又叫 “ 提取公因式法 ” ）平方差： a2-b2=(a-b)(a+b)；完全平方和 / 差： (ab)2=a22ab+b2；立方和： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方和 / 差： (ab)3=a33a2b+3ab2b3 ；等比数列求和公式：S=a1 （1-qn）/(1- q) (q 1) ；等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或 Sn=n(a1+an)/2。精

31、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页三角不等式丨 a+b丨丨 a 丨+ 丨 b 丨；丨 a-b 丨丨 a 丨+ 丨 b 丨；丨 a-b 丨丨 a 丨-丨 b 丨；-丨 a 丨 a丨 a 丨；丨 a 丨b- bab 。某些数列的前n 项和1+2+3+ +n=n(n+1)/2；1+3+5+ +(2n-1)=n2；2+4+6+ +(2n)=n(n+1)；12+32+52+(2n-1)2=n(4n2-1)/3 13+23+33+n3=(n+1)2*n2/413+33+53+(2n-1)3=n2(2n2-1) 12+23+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页