第二章点、直线、平面的投影.ppt

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1、第一节第一节 投影法的基本知识投影法的基本知识 第二节第二节 点的投影点的投影第三节第三节 直线的投影直线的投影第四节第四节 平面的投影平面的投影第五节第五节 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影一、投影的概念一、投影的概念 投影空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。 投影法在投影面上作出物体投影的方法称为投影法。2-1 投影法的基本知识1、中心投影法：、中心投影法：全部投影线都 从一点投射出。H特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。二、投影法的分类二、投影法的分类投射中心投射线S

2、投影面ABCabc2、平行投影法、平行投影法：所有投影线都相互平行。1）、正投影法：（主要学习此种投影方法）投射线互相平行且垂直于投影面特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。投射方向P投影面2）、斜投影法：投影线倾斜于投影面投射线互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。投射方向三、正投影法的主要特性三、正投影法的主要特性 1、点的投影、点的投影：AHa 点的投影 仍是一点。2、直线的投影、直线的投影 ： 直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下聚为一点。1）、直线平形于投影面abABH在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=AB2）、直线C

3、D垂直于投影面在该面上的投影有积聚性，其投影为一点HCDc（d）3）直线EF倾斜于投影面 在该面上的投影长度变短，即：ef=EF cosEFefH3、平面的投影、平面的投影 平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。 1）平面平行于投影面ABCabcH投影abc反映空间平面ABC的真实形状。 真实性 2）、平面垂直于投影面DEFdefH在投影面上的投影积聚为直线。 积聚性 3）平面倾斜于投影面KLMKlmH投影klm面积变小。 类似性 四、投影的基本性质： 1、真实性 2、积聚性 3、类似性 一个视图不能完整地反映物体的空间形状五、物体的三面投影图五、物体的三面投影图1、三面

4、投影图的形成、三面投影图的形成三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成正立投影面简称正面。水平投影面 简称水平面。侧立投影面简称侧面。两投影面的交线称为投影轴OX、OY、OZ。VHWXYZO2、物体在三投影面体系中的投影、物体在三投影面体系中的投影 正面投影由前向后投影； 水平面投影 由上向下投影； 侧面投影由左向右投影。3、三投影面的展开、三投影面的展开VHWOXYHZYW侧面W绕 OZ轴向右旋转90。水平面H绕OX轴向下旋转90。规定：正面V保持不动。VHWXYZO俯俯长长主主高高上上前前后后下下上上左左右右下下前前后后右右左左4、位置关系和投影关系：、位置关系和投影关系：5 5、方位关系

5、、方位关系俯视图在主视图的下方左视图在主视图的右方主、俯视图长对正（等长）主、左视图高平齐（等高）俯、左视图宽相等（等宽）主视图反映物体的上下和左右俯视图反映物体的前后和左右左视图反映物体的前后和上下注注：俯、左视图靠近主视图的一边，表示物体的后表面；远离主视图的一边，表示物体的前表面。左左宽宽主左俯2-2 点的投影一、点在两投影面体系中的投影一、点在两投影面体系中的投影 过A作垂直于V、H面的投射线A a、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a，a、 a即为点A的两面投影。VHOXAaaVVHOX实际作图时不画投影面边框。aaaxaaOXHOXAaaVaxax（1）、点的两面投影连线垂直于相应

6、的投影轴，即 aaox；（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即： aax=Aa aax=Aa二、点在三投二、点在三投影面体系中的影面体系中的投影投影aVHWOXYHYW ZaaXYHYWZOaaa规定：规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。VHWXYZOaaaAaxazay点的三面投影规律：点的三面投影规律：（1）、点的投影连线垂直于投影轴。 即：aaox，aaoz （2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标，也就是该点到相应投影面的距离。三、点的三面投影与直角坐标的关系三、点的三面投影与直角坐标的关系： 将投影面

7、体系当作空间直角坐标系，把V、H、 W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标 轴，o 作为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。点A的x坐标值=oax =aay=aaz=Aa反映点A到W面的距离。 Y坐标值=oay=aax=aaz=Aa反映点A 到V面的距离。 Z坐标值=oaz=aax=aay=Aa反映点A到H面的距离。OaaywXYHYWZaaaxazayhxyz a 由点A的x、y值确定，a由点A 的x、Z确定，a由点A的y、z值确定。VHWXYZOaaaAaxazay例1、已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。解：（1）

8、量取坐 标值；XOYHYWZaaabbb（2）作点的 投影。102010例2、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。abc点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。bbc cxyHywzoaaz四、两点的相对位置和重影点四、两点的相对位置和重影点： 1、两点的相对位置、两点的相对位置 要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这这两两点在每个的面投影关系和坐标差点在每个的面投影关系和坐标差来确定。例：由投影图判断A、B两点的空间位置。aabbXOYHYWZab（1）由A、B两点V、H面投影可

9、确定点A在点B左方。（2）由A、B的H、W面投影可确定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可确定A在B下方。因此点点A位于点位于点B左、前、下方左、前、下方。2、 重影点重影点重影点重影点空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点重影点。 如图：C、D两点的水平投影证明影为一点。OXc（d）cd又因点C在点D的正上方，C点可见，D点被遮盖。 作图时不可见点加括号。结论结论：如果两个点的某面如果两个点的某面投影重合时，则对该投影投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。见，小者为不可见。例：已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的

10、三面投影，并判别其投影的可见性。解：由已知条件知：XC=XD ZC=ZD YC-YD=15mm点C、D在V面上的投影重影。c cc又YC YDC的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。YH dOXYWZdd( )YWZVHXOAaaaBbbVHWXYZbBAbbaaaWVHXYOZABabab(b)aXYWYHZaabbcccab1、点A在V面上，故 YA=02、点B在X轴上，故ZB= YB =03、点C在原点上，故 Zc= Yc = Xc =0XYWOYHZaabbabXYWOYHZaabba （b）点A在点B的上方（ZAZB)点A在点B的右方（XAXB)点A在点B的前方（YAYB)点

11、A在点B的正前方(XA=XBZA=ZB, YAYB )点A和点B称为V面上的重影点。2-3 直线的投影直线的投影一、直线的投影：一、直线的投影： 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。例：已知直线AB端点坐标为 A（20，15，5）, B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaaabbb二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性1、一般位置直线、一般位置直线YWOXYHZaaabbb直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。VHWXYZABababab2、投影面平行线、投影面平行线OXYHYWZaaabbb1

12、）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜水平投影ab=AB正面投影abOX，侧面投影abOYwab与OX、OYH的夹角、等于AB对V、W面的倾角。VHWXYZbAbbaaaB2）、正平线：平行于V，对H、W倾斜OXYHYWZcdcdcd正面投影cd=CD水平投影cdOX侧面投影cdOZcd与OX、OZ的夹角、等于CD对H、W面的倾角。YWZVHXcDdcdcd3）、侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜侧面投影ef=EF水平投影efOYH，正面投影efOZ。ef与OYW、OZ的夹角、等于EF对V、H面的倾角。OXYHYWZefef efWVHXYOZFEfefeef1、ab=AB=实长2、abOX轴

13、 , a b OZ轴3、=0、反映实际大小 1、ab=AB=实长2、 ab OX轴 , a b OYW轴3、 =0 、反映实际大小 YWZVHXaABbabab正平线正平线VHWXYZbAbbaaaB水平线水平线XYWYHZaabbabOXYWOYHZaabbabWVHXYOZABababba侧平线侧平线XYWOYHZaabbab1、 a b =AB=实长2、 ab OZ轴 , ab OYH轴3、 =0 、 反映实际大小 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的投影面上的投影反映直、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。线的实际长度。2、直线在另外两个投影面上的

14、投影平行于、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面相应的轴（所平行投影面上的坐标轴）。3、投影面垂直线、投影面垂直线1）、铅垂线：直线H面，V、W面。OXYHYWZa（b）abab水平投影积聚为一点。ab=ab=ABab OX， ab OYW2）、正垂线：直线V面，H、W面。OXYHYWZcdc (d)cd正面投影积聚为一点。cd=cd=CD cdOX， cdOZ3）、侧垂线：直线W面，H、V面。OXYHYWZefef e （f ）侧面投影积聚为一点。ef=ef =EFefOYH，efOZ。1、V面投影积聚为一点。2、 a b =ab=AB=实长3、abOX轴 , a b O

15、Z 轴 =90、=0XYWYHZaabbOab( )VHWXYZAbbaaB铅垂线铅垂线a(b)1、H面投影积聚为一点。2、 a b = ab =AB=实长3、 ab OX轴 , a b OY W 轴 =90 、=0 XYWOYHZababa(b)XYWOYHZababa(b)WVHXYZABabba侧垂线侧垂线a(b)1、w面投影积聚为一点。2、 ab =ab=AB=实长3、abOYH轴 , ab OZ 轴 =90、 =0YWZVHXaABbab正垂线正垂线ABab( )投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点

16、。一点。2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于、直线在另外两个投影面上的投影垂直于相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且反映实际长度。反映实际长度。三、直线上的点三、直线上的点1、从属性、从属性： 点在直线上，点的各面投影必定在该直线的点的各面投影必定在该直线的同面投影上；同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该 点必在此直线上。点必在此直线上。OXYHYWZaaabbbkkk2、定比性：、定比性： 直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。OXYHYWZaaabbbkkk即：AK: KB=ak: kb=ak: kb=ak: kb例1、试在

17、直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。解：分点C的投影必在AB的同面投影上。 且 ac:cb =ac: cb =1:2OXabab123cc例2、已知直线CD及点M的两面投影，判断 M是否在CD上。解1、OXcdcdmm作侧平线CD和点M的侧面投影，由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以M不在CD上。cdmzYHYW解2、在H面作任一直线cE，使cE=cd。并截取cM1=cmEM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdcdmm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上。四、两直线相对位置四、两直线相对位置 空间两直线的相对位置分为 平行平行、相交相交、交叉交叉 1、平行

18、两直线、平行两直线：投影特性：投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。平行的两直线是共面的直线。2、相交两直线、相交两直线ab cdABCDKkK是两直线的共有点，K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交点K的三面投影符合点的投影规律。相交的两直线是共面的直线。OXZYHYWabcdkabcdkabcdk3、交叉两直线、交叉两直线 在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直交叉两直线线。 同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。 如图示aabbccddAB两面投影的交点连线不OX轴，为交叉

19、两直线。交叉的两直线是异面的直线。aabbccdd 投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断坐标值大者为可见点，小者为不可见点。11223344( )( )例1、判断两直线的相对位置OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccdd交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。ab与cd在一直线上，而abcd，两直线平行。CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。Emk例2、过C点作水平线CD与AB相交。dd先作CD的正面投影kkaabbcc例

20、3、已知：两直线AB、CD的投影及点M的水 平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。aabbccddmOXnnm作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作nmcd，求得m。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比定比定理。 小小 结结2-4 2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用几何元素表示平面不在同一直线上的三点。aabbccaabbcc一直线和线外一点。ccaabb相交两直线。bbaaccdd平行两直线。bbaacc任意平面形。二、各种位置平面的投影二、各种位置平面

21、的投影铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面 侧平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面、投影面垂直面 垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。 垂直的投影面上投影有积聚性其余两投影面的投影为类似形OXZYHYWaaabbbccc1、V面投影积聚成一条直线，且反映、的真实大小。 =902、H、W投影均为原平面的类似形YWZVHXaABbab正垂面正垂面CDcda(d)b(c)cd1、H面投影积聚成一条直线，且反映 、的真实大小。 =902、V、W投影均为原平面的类似形XYWYHZaabbOcdca(d

22、)b(c)dVHWXYZAbbaa(c)aB铅垂面铅垂面b(d)CDcdYWXOYHZa(c)ababcdcdb(d)WVHXYZABabba侧垂面侧垂面dCDccda(c)b(d)1、W面投影积聚成一条直线，且反映 、 的真实大小。 =902、V、H投影均为原平面的类似形XYWOYHZababcdcdb(d)a(c) 投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚积聚 为直线； 其余两投影面仍为原形的类似形， 但比实形小； 平面具有积聚性的投影与投影轴的 夹 角，分别反映平面与相应投影面的倾角。2、投影面平行面、投影面平行面 平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂

23、直于其余两个投影面。OXZYHYWaaabbbccc在所平行的投影面上的投影反映实形积聚为直线，并平行于相应的投影轴 V面投影反映实形，H、 W投影积聚成一条直线，且分别平行与OX轴、OZ轴YWXYWYHZab(c)bOabca(c)VHWXYZAbaaB水平面水平面bCca(c)db(c)cb(c)XOYHZabadba(c) H面投影反映实形，V、 W投影积聚成一条直线，且分别平行与OYW轴、OX轴YWZVHXABbab(c)正平面正平面Cdabcda(c)Cca(c)WVHXYZABab侧平面侧平面Cabb(c)cXYWOYHZabbab(c)a(c)c W面投影反映实形，V、 H投影积

24、聚成一条直线，且分别平行与OYH轴、OZ轴投投 影影 特特 性性 平面在所平行平行的投影面上的投影反映 实形实形； 其余两投影积聚为直线积聚为直线，并分别平 行于相应的投影轴。3、一般位置平面、一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面。其特性为：其特性为： 1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。 2、不直接反映该平面与投影面的倾角。OXYWYHZaaabbbccc三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线1、平面上的点和直线、平面上的点和直线 定理一定理一： 若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。 定理二定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。 定

25、理三定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。例1、已知ABC平面内点K的V面投影k，求作K的H面投影。解1OXaabbccOXaabbcc解2ddkkkmmk例2、已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H 面投影。解1OXaabbccddeeOXaabbccd解2eed2、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线 凡在平面上且平行于某一投影面平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。 平面内的水平线直线在平面内，又平行于水平面的直线。 平面内的正平线直线在平面内，又平行于正面的直线。 平面内的侧平线直线在平面内，又平行于侧面的直线。 例3、作ABC平面内

26、的正平线，它距V面为8mm。OXaabbcc因为正平线的水平投影平行于OX，先作34OX，使其距V面8mm，再求出34。34834 例4、在ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H 面12mm。OXaabbcc解：12812213344kk四、特殊位置圆的投影四、特殊位置圆的投影1、与投影面平行的圆、与投影面平行的圆 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。OXYHYWZ2、与投影面垂直的圆、与投影面垂直的圆 当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。XOaabbccdd2-5 直

27、线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面 之间的相对位置之间的相对位置一、一、 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 1、 直线与平面平行直线与平面平行定理定理：直线平行于平面上的某一条直线。直线平行于平面上的某一条直线。 即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。例1、过点M作直线MN平行于平面ABC。解：aabbccmm有多少解？nn无数解例2、过点M作直线MN平行于V面和ABC。解：正平线abcmmabc ABC为正垂面，直线MN的正面投影mn必定平行于abc。又MN为正平线，mn平行于OX轴。nn有唯一解有多少解？ 当直线与垂直于投影面的

28、平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行平行于平面有积聚性的同面投影。2、平面与平面平行、平面与平面平行几何条件几何条件：1）、若一个平面上平面上的两相交直线的两相交直线分别平行于另一平面上平行于另一平面上的两相交直线，的两相交直线，则两平面相互平行。2）、若两投影面垂直垂直面相互平行面相互平行，则它们具有积聚性的那组投具有积聚性的那组投影影必相互平行。caabbcddeeff gg例3、过点K作平面平行于ABC解：aabbcckk分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KLAB， KHBC。llhh例4、判别如图所示

29、的两平面是否平行。解：112(2)334(4)aabbcc因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。二、直线与平面、平面与平面相交二、直线与平面、平面与平面相交1、直线与平面相交、直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点； （2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。1）、一般位置直线与特殊位置平面相交例1、求直线AB与铅垂面DEF的交点K，并判别可见性。分析：因DEF的水平投影def有积聚性，交点K是DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必

30、在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k。aabbddeef fkk11(2)2例2、求直线AB与水平面的交点K，并判别 可见性。aabbkk由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k，再求出H面投影k。由于ak在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交 例3、求铅垂线DE与ABC的交点K，并判别可见性。aabbccde(e)d(k)借助于辅助线的方法求出交点。nn判别可见性：由V面的bc与de的重影点1(2)求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以dk可见，ke被遮住部分不可

31、见。k1(2 )12例4、求直线MN与平面ABC的交点。aabbccnm(m)nkddk作图：连ck与ab交于d，由d求出d，连cd交mn于k。k为所求。判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H 面的重影点，求出1、2；因1的Z坐标大，所以kn可见。11(2)22、平面与平面相交平面与平面相交 两平面相交，其交线为直线直线，交线是两平面的共有线共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A、求两平面的交线（方法） 1）、确定两平面的两个共有点； 2）、确定一个共有点及交线的方向。 B、判别可见性。 只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。分析：ABC与DEF交

32、线的正面投影为mn DEF的DE、EF的正面投影df 、ef 与ABC的正面投影的交点，由mn求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。判别可见性：V面mnf 在abc的上方，mnf 可见，demn被ABC遮挡部分为不可见。mmnnaabbccddeeff 例5、平面ABC为投影面平行面与一般位置平面DEF相交，求交线并判别可见性。例6、求平面ABC与铅垂面DEF的交线KL ，并判别可见性。aabbccddeeff kl分析：DEF是铅垂面，其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k、l，交线是可见与不可见的分界线。kl小小 结结掌握： 1、平面投影特性，尤其是特殊位特殊位置平面置平面的投影特性； 2、如何在平面上确定直线和点直线和点； 3、两平面平行的条件平行的条件； 4、直线与平面 、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性