最新大一数学导数概念教学课件.ppt

《最新大一数学导数概念教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新大一数学导数概念教学课件.ppt（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、大一数学导数概念大一数学导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 例例1. 求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函数)()(Nnxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(

2、x)(21 x2121 xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh)1(lnxh例例4. 求函数xxfln)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhx

3、elnx1x1则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可导在即xx例例6. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线)(xfy 在点),(00yx的切

4、线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyO0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0时 xfxyO)(xfy CT0 xMxy0 xOxyO1111例例7. 问曲线3xy 哪一点有铅直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x

5、令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有铅直切线处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续，但在该点连续，但在该点未必可导未必可导.反例反例:xy xy 在 x = 0 处连

6、续 , 但不可导.即xyO在点0 x的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(f定义定义2 . 设函数有定义,存在,xyOxy 定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定

7、理3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限

8、;切线的斜率;思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设0)0(f0)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f5

9、. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解: 显然该函数在 x = 0 连续 .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x作业作业 P86 2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20 第二节 牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1

10、671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .莱布尼茨莱布尼茨 (1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .备用题备用题 解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f 0(1)(1)1lim2xffxx 所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx) 1 (21f )(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.2. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故